Ми звикли записувати числа як вони є. Тобто, «2000», «560000», «37,4» тощо. Але, в математиці, фізиці та хімії є поняття стандартний вигляд числа.

Кажуть, що число записане в стандартному вигляді, коли в нього є лише одна єдина цифра перед комою. Тобто:

a,…

Де «1 ≤ a ≤ 9» (для тих хто не розуміє ці записи, то «a» може бути будь-якою цифрою крім нуля, тобто «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9»).

Можливо у вас виникне питання «у мене було число «560000», а просто так взяло і стало «5,6»?». Звісно, що ні. При пересуванні коми в якусь сторону в нас буде з’являтися (якщо, його не було) «10ⁿ». Тому, остаточний вигляд числа в стандартному вигляді є таким:

a,… ∙10ⁿ

Переведення числа в стандартний вигляд

Отже, що потрібно запам’ятати:

Також, вам варто пам’ятати властивості степеня. Тому, обов’язково повторіть їх.

Розгляньмо це на практиці. Візьмемо число «8235,43». Зауважимо, що в нас не має числа «10ⁿ». Зважаючи на це ми будемо мати «10⁰». Тобто, ми маємо: «8235,43 ∙ 10⁰».

Тепер, нам необхідно зрозуміти куди зміщувати кому. Ми бачимо, що перед комою (з лівої сторони від коми) є більше чим одна цифра. Тому, зміщувати потрібно ліворуч на три цифри. Отже, і до степеня «10» варто додати «3». Отримаємо:

8235,43 => 8235,43 ∙ 10⁰ => 8,23543 ∙ 10^{0 + 3} => 8,23543 ∙ 10³

Повністю розписали, щоб ви побачили всі дії, які в нас відбувалися. І давайте для практики розглянемо ще декілька прикладів.

Приклади:

0,00000432 ∙ 10¹⁸

Щоб в нас перед комою була одна цифра, то потрібно змістити кому праворуч на «6» цифр. Отже, нам необхідно від степеня «10» відняти «6». Будемо мати:

0,00000432 ∙ 10¹⁸ = 4,32 ∙ 10^{18 - 6} = 4,32 ∙ 10¹²

Приклад 2:

0,00034 ∙ 10^-2

Бачимо, що потрібно змістити кому на «4» цифри праворуч. Тому, потрібно відняти від степеня «4»:

0,00034 ∙ 10^-2 = 3,4 ∙10^{-2 - 4} = 3,4 ∙ 10^-6

Приклад 3:

6532

Як бачите, в нас взагалі не має коми. А, це означає, що вона знаходиться в правому краю. Тобто, ось так «6532,» (по правильному «6532,0»). Щоб була єдина цифра перед комою, то кому потрібно змістити праворуч на три цифри. Також, зауважимо, що в нас не має «10ⁿ», тому ми вважаємо, що там є «10⁰». Не забуваємо, що за кожне зміщення ліворуч ми маємо додати «1» до степеня.

6532 => 6532,0 ∙ 10⁰ => 6,532 ∙ 10^{0 + 3} => 6,532 ∙ 10³

Переведення числа зі стандартного вигляду

Звісно ж ви можете переводити число зі стандартного вигляду в необхідний вам. Для цього потрібно робити все навпаки:

Наприклад, перевести число зі стандартного вигляду.

4,67 ∙10⁴

Ми можемо позбутися від «10⁴». Оскільки нам потрібно зробити «10⁰» (бо «10⁰ = 1» і ми зможемо ним знехтувати), то це означає, що потрібно виконувати дію віднімання. Через те, що степінь зменшується. А, якщо ми віднімаємо від степеня, то кому потрібно змістити праворуч. Степінь «4», отже на «4» цифри ми маємо змістити кому праворуч.

4,67 ∙ 10⁴ = 4,67000 ∙ 10⁴ => 46700,0 ∙ 10^{4 - 4} = 46700 ∙ 10⁰ = 46700 ∙ 1 = 46700

Звісно ж вам не обов’язково повністю позбуватися від «10ⁿ». Ви виконуєте зміщення за потреби.

Додавання/віднімання чисел в стандартному вигляді

Ви можете виконувати додавання/віднімання чисел лише тоді, коли множник «10ⁿ» буде однаковим для обох чисел. В таких випадках ми можемо винести даний множник за дужки, а самі числа додати/відняти між собою.

Це працює так:

2,43 ∙ 10⁴ + 37,1 ∙ 10⁴

Навіть не зважаючи, що ми не маємо чисел в стандартному вигляді нам це не важливо. Головне, що множник «10⁴» для обох чисел є спільним. Тому, ми можемо винести його за дужки та виконати дію з числами.

2,43 ∙ 10⁴ + 37,1 ∙ 10⁴ = (2,43 + 37,1) ∙ 10⁴ = 39,53 ∙ 10⁴

Якщо ж ми маємо множники «10ⁿ» з різним степенем, то потрібно звести їх до одного степеня.

8,91 ∙ 10⁵ - 0,0712 ∙ 10⁷

Ми бачимо, що їх степені є різними. Тому, потрібно зробити їх однаковими. Можна з «10⁵» зробити «10⁷» або навпаки. Також, як варіант, можна звести степені по середині (чи біля середини). В нашому випадку це «10⁶».

Давайте зведемо до «10⁶». Для цього нам необхідно до «10⁵» додати а від «10⁷» навпаки відняти «1». Пам’ятайте, що при додаванні до степеня ми маємо зміщувати кому ліворуч, а при відніманні від степеня, то зміщуємо кому праворуч. Отже, матимемо:

8,91 ∙ 10⁵ - 0,0712 ∙ 10⁷ => 0,891 ∙ 10^{5 + 1} - 0,712 ∙ 10^{7 - 1} => 0,891 ∙ 10⁶ - 0,712 ∙ 10⁶

Маючи однакові степені ми можемо винести його як спільний множник та виконати дії між числами

0,891 ∙ 10⁶ - 0,712 ∙ 10⁶ => (0,891 - 0,712) ∙ 10⁶ = 0,179 ∙ 10⁶

Тепер, ми можемо зробити число в стандартному вигляді. Для цього потрібно змістити кому праворуч на одну цифру. А, отже, маємо відняти «1» від степеня.

0,179 ∙ 10⁶ => 1,79 ∙ 10^{6 - 1} = 1,79 ∙10⁵

Множення/ділення чисел в стандартному вигляді

Якщо ми маємо множення/ділення чисел в стандартному вигляді, то можна скористатися правилом «подібне до подібного». Тому, ми будемо множити/ділити числа між собою, а «10ⁿ» множимо/ділимо між собою. При цьому результати завжди множаться.

Наприклад:

3,2 ∙ 10³ ∶ 8 ∙ 10^-2

Скористаємося правилом «подібне до подібного». Для кращого візуального ефекту напишемо це в дужках. Пам’ятаємо, що результати завжди множаться. Тому, між дужками буде дія множення.

3,2 ∙ 10³ ∶ 8 ∙ 10^-2 => (3,2 ∶ 8)∙(10³ ∶ 10^-2) => 0,4 ∙ 10^{3 - (-2)} => 0,4 ∙ 10⁵

Можна звісно ж перевести дане число в стандартний вигляд. Для цього потрібно перенести кому в праву сторону на одну цифру і при цьому пам’ятаємо, що від степеня необхідно відняти «1».

0,4 ∙ 10⁵ => 4 ∙ 10⁴

Порівняння чисел в стандартному вигляді

Якщо нам доводиться порівнювати числа в стандартному вигляді, то ви можете:

Наприклад, порівняти числа:

9,46 ∙ 10⁵ і 0,765 ∙ 10⁷

Як бачимо, ми маємо різні варіанти запису. Скористаємося першим способом. Зробимо по одній цифрі перед комою. Тому, в числі «0,765» перенесемо кому на одну цифру праворуч і пам’ятаємо, що в такому випадку потрібно відняти «1» від степеня. Отже, матимемо:

9,46 ∙ 10⁵ і 7,65 ∙ 10⁶

Враховуючи, що числа мають однаковий запис (по одній цифрі перед комою), тому порівнюємо лише степені. Не зважаючи на самі числа.

В нашому випадку ми маємо:

9,46 > 7,65

Але, не зважаючи на це степінь в правого числа є більшим:

10⁵ і 10⁶

5 < 6

Отже:

9,46 ∙ 10⁵ < 0,765 ∙ 10⁷

Розглянемо другий спосіб.

4,92 ∙ 10⁸ і 0,713 ∙ 10¹⁰

Зробимо однакові степені. З «10¹⁰» зробимо «10⁸». Для цього нам доведеться відняти «2» від степеня. А, отже, маємо перенести кому на дві цифри праворуч.

4,92 ∙ 10⁸ і 71,3 ∙ 10⁸

Враховуючи, що множник «10⁸» є однаковим, то ми можемо ним знехтувати.

4,92 < 71,3

Отже:

4,92 ∙ 10⁸ < 0,713 ∙ 10¹⁰