Відразу скажемо, що з матрицями можна робити всі класичні дії. Але по особливому :)

Ви можете матрицю помножити/поділити на довільне число крім нуля звісно (бо в цьому не має жодного сенсу). Для цього необхідно кожен елемент даної матриці помножити/поділити на це число.

k ∙ (#)#2#2#a₁₁#a₁₂#a₂₁#a₂₂ => (#)#2#2#k∙a₁₁#k∙a₁₂#k∙a₂₁#k∙a₂₂

Тобто, ми отримаємо нову матрицю з елементами:

b_ij = k ∙ a_ij

Наприклад. Обчислити «2A», якщо:

A = (#)#2#3#3#-7#9#-4#5#-1

Отже, матимемо:

2 ∙ (#)#2#3#3#-7#9#-4#5#-1 => (#)#2#3#2 ∙ 3#2 ∙ -7#2 ∙ 9#2 ∙ (-4)#2 ∙ 5#2 ∙ (-1) => (#)#2#3#6#-14#18#-8#10#-2

Матриці можна додавати та віднімати між собою. Додавання/віднімання матриць відбувається з їх відповідними елементами:

c_ij = a_ij ± b_ij

Приклад додавання матриць:

(#)#3#2#3#7#1#-5#2#4 + (#)#3#2#-1#-2#6#9#8#5 => (#)#3#2#3+(-1)#7+(-2)#1+6#-5+9#2+8#4+5 => (#)#3#2#2#5#7#4#10#9

Множення матриць це доволі складний та заплутаний процес. В першу чергу потрібно перевірити чи матриці є узгодженими. Тобто, що кількість стовпців першої матриці буде рівна кількості рядків другої матриці. Отже, їх розміри мають бути «n×m» та «m×n» (або «n×m» та «m×k»).

Приклад узгоджених матриць:

(#)#2#3#2#3#4#7#9#5 та (#)#3#2#1#5#6#7#-3#2

Дані матриці матимуть розміри «2×3» та «3×2», тому вони є узгодженими.

Важливо розуміти, що перестановка матриць при множенні дає (зазвичай) різні результати. Тому:

A ∙ B ≠ B ∙ A

Матриці в яких виконується мова «A ∙ B = B ∙ A» називаються комутативними або переставними.

Множення матриці «A» з елементами «a_ij» на матрицю «B» з елементами «b_ij» дає в результаті матриця «C» з елементами «c_ij», де:

c_ij = ∑#k = 1#n a_ik ∙ b_kj

Тобто:

c_ij = a_i1∙b_1j + a_i2∙b_2j + ⋯ + a_in∙b_nj

Уважно розгляньте приклади множення матриць. Зверніть свою увагу на індекси елементів.

(#)#2#3#a₁₁#a₁₂#a₁₃#a₂₁#a₂₂#a₂₃ ∙ (#)#3#2#b₁₁#b₁₂#b₂₁#b₂₂#b₃₁#b₃₂ => (#)#2#2#a₁₁∙b₁₁ + a₁₂∙b₂₁ + a₁₃∙b₃₁#a₁₁∙b₁₂ + a₁₂∙b₂₂ + a₁₃∙b₃₂#a₂₁∙b₁₁ + a₂₂∙b₂₁ + a₂₃∙b₃₁#a₂₁∙b₁₂ + a₂₂∙b₂₂ + a₂₃∙b₃₂

А, тепер погляньте на результат множення цих же матриць, якщо ми їх переставимо.

(#)#3#2#b₁₁#b₁₂#b₂₁#b₂₂#b₃₁#b₃₂ ∙ (#)#2#3#a₁₁#a₁₂#a₁₃#a₂₁#a₂₂#a₂₃ => (#)#3#3#b₁₁∙a₁₁ + b₁₂∙a₂₁#b₁₁∙a₁₂ + b₁₂∙a₂₂#b₁₁∙a₁₃ + b₁₂∙a₂₃#b₂₁∙a₁₁ + b₂₂∙a₂₁#b₂₁∙a₁₂ + b₂₂∙a₂₂#b₂₁∙a₁₃ + b₂₂∙a₂₃#b₃₁∙a₁₁ + b₃₂∙a₂₁#b₃₁∙a₁₂ + b₃₂∙a₂₂#b₃₁∙a₁₃ + b₃₂∙a₂₃

Перше, що варто зауважити це розмірність матриць результатів. В першому випадку ми мали матриці «2×3» та «3×2» і отримали матрицю «2×2». В другому випадку були матриці «3×2» та «2×3» і в результаті вийшла матриця «3×3».

Зауважте, що при множенні ми брали рядок з першої матриці та стовпець з другої матриці. Після чого множили їх відповідні елементи, а результати додавали. А, відповідь записували як елемент нової матриці який мав номер рядка та стовпця взятих при множенні. Тобто, якщо ми брали другий рядок і третій стовпець, то елемент буде з номером «2 3».

Приклад множення матриць:

(#)#2#3#2#3#4#5#-1#3 ∙ (#)#1#3#1#2#0 => (#)#2#1#2∙1 + 3∙2 + 4∙0#5∙1 + (-1)∙2 + 3∙0 => (#)#2#1#8#3

Зверніть увагу, що тут використовуються матриці розміром «2×3» і «3×1». Як бачите, головне, щоб кількість стовпців першої матриці збігалося з кількістю рядків другої, а решта вже не важливо.

Також, якщо ви маєте матрицю в степені, то варто пам’ятати властивість степеня.

A^k = A₁ ∙ A₂ ∙ … ∙ A_k

Тобто:

A² = A ∙ A

Розгляньте ще один приклад:

(#)#3#2#1#-2#3#0#5#2 ∙ (#)#2#3#4#2#-1#-3#0#7 => (#)#3#3#1∙4 - 2∙(-3)#1∙2 - 2∙0#1∙(-1) - 2∙7#3∙4 + 0∙(-3)#3∙2 + 0∙0#3∙(-1) + 0∙7#5∙4 + 2∙(-3)#5∙2 + 2∙0#5∙(-1) + 2∙7 => (#)#3#3#-2#2#-15#12#6#-3#14#10#9

Для довільних матриць «A», «B», «C» відповідних розмірів і для довільного числа «k» є правильним такі властивості:

Ви можете мати функції, які використовують матрицю як аргумент функції. На практиці це виглядає так:

Припустимо в нас є функція «f(x) = x² - 3x + 2» та якась матриця «A». При цьому матриця має бути квадратною. Необхідно обчислити «f(A)».

Для обчислення варто підставити замість «x» матрицю «A», а біля чистого числа (тобто, біля «2») варто записати одиничну матрицю (матрицю «E»).

Після чого, функція набуде вигляду:

f(A) = A² - 3A + 2E

Залишається лише виконати обчислення. Припустимо, що матриця «А» буде такою:

A = (#)#2#2#2#3#1#-2

То, будемо мати:

A² = A∙A = (#)#2#2#2#3#1#-2 ∙ (#)#2#2#2#3#1#-2 => (#)#2#2#2∙2 + 3∙1#2∙3 + 3∙(-2)#1∙2 - 2∙1#1∙1 - 2∙(-2) => (#)#2#2#7#0#0#5

-3A = -3 ∙ (#)#2#2#2#3#1#-2 => (#)#2#2#-3∙2#-3∙3#-3∙1#-3∙(-2) => (#)#2#2#-6#-9#-3#6

2E = 2 ∙ (#)#2#2#1#0#0#1 => (#)#2#2#2#0#0#2

Підставимо отримані результати в нашу функцію:

f(A) = (#)#2#2#7#0#0#5 + (#)#2#2#-6#-9#-3#6 + (#)#2#2#2#0#0#2 => (#)#2#2#7-6+2#0-9+0#0-3+0#5+6+2 => (#)#2#2#3#-9#-3#13

Зауважте, що ми не розглядали варіант ділення матриць. Це пов’язано з тим, що ділення матриць на багато складніше чим може здатися на перший погляд. Тому, ми розглянемо це окремим уроком.