Ділення багаточленів (многочленів, поліномів)

Ми вже розглянули дії додавання, віднімання та множення багаточленів. Розглянемо тепер ділення багаточленів.

На справді з діленням багаточленів ми вже мали справу. Ось декілька прикладів які допоможуть вам пригадати це:

x² - 2x + 1x² - 1; x³ - 8x² + 2x + 4

Раніше, щоб спростити данні вирази нам необхідно було розкласти чисельник та знаменник на множники після чого скоротити на спільний множник.

Отже, коли ми маємо ситуацію «/A(x)/B(x)», де «A(x)» та «B(x)» є багаточленами і при цьому максимальний степінь змінної у багаточленові «А(х)» є більшим або таким же як максимальний степінь змінної у багаточленові «В(х)», то це можна назвати діленням багаточленів. Тобто, максимальний степінь змінної у чисельнику має бути більшим або таким же за максимальний степінь змінної у знаменнику. Наприклад:

x⁴ + x + 1x² + x + 1; x² - 2x - 3x² + 1

Але коли у чисельнику максимальний степінь буде меншим, то це вже не буде ділення. Тоді, просто кажуть, що «багаточлен «А(х)» не можна поділити на багаточлен «В(х)»». Наприклад:

x + 1x² - 1

Хоча тут можна скоротити чисельник та знаменник на спільний множник але такі ситуації не вважають діленням багаточленів.

Також важливим моментом є те, що багаточлен «В(х)» не може бути тотожно рівним нулеві (не може бути постійно рівним нулеві).

Ділення багаточленів має багато спільного із діленням звичайних чисел. Коли ми маємо цілочисельне ділення, наприклад, «6 : 2», то отримаємо «3» (тобто «6 : 2 = 3»). При цьому ми можемо записати, що «6 = 2 ∙ 3». Аналогічно є у багаточленів. Якщо багаточлен «А(х)» ділиться націло на багаточлен «В(х)», то ми отримаємо в результаті багаточлен «С(х)».

/A(x)/B(x) = C(x)

Також, ми можемо це записати так:

A(x) = B(x) ∙ C(x)

Виходить, що за допомогою ділення багаточленів ми можемо розкладати їх на множники! На справді за допомогою цього можна розв’язувати рівняння, що ми пізніше і зробимо.

Тепер варто розібратися як відбувається сам процес ділення. Для цього вам обов’язково необхідно навчитися ділити у стовпчик звичайні числа (націло або перетворювати у правильний дріб) та знати формули роботи зі степенем.

Виконаємо ділення багаточленів:

2(x⁴ + x²) - x³ + 11 - x + x²

В першу чергу необхідно звести багаточлени до стандартного вигляду:

a_n xⁿ + a_{n - 1} x^{n - 1} + ⋯ + a₁ x¹ + a₀

Тобто, у чисельнику варто розкрити дужки. Також у чисельнику та у знаменнику необхідно поставити доданки по мірі спадання степеня у змінної.

Матимемо:

2x⁴ - x³ + 2x² + 1x² - x + 1

Отже, для того щоб поділити багаточлени ми можемо скористатися діленням у стовпчик. Де «2x⁴ - x³ + 2x² + 1» - ділене, «x² - x + 1» - дільник.

В даній ситуації нам важливі лише два числа. Це «2x⁴» з діленого («2x⁴ - x³ + 2x² + 1») та «x²» з дільника («x² - x + 1»). Нам необхідно помножити «x²» на таке число щоб в результаті отримати «2x⁴». Таким числом являється «2x²». У результат ми записуємо «+ 2x²», оскільки множимо на додатне число (якщо, множимо на від’ємне, то відповідно по переду буде знак «-»). Але враховуючи, що це перше число, то знак «+» можна не ставити.

Отже, нам необхідно знаходити такі числа, які при множенні на максимальний степінь дільника дадуть таке ж число як і у максимального степеня діленого.

Після чого нам варто помножити весь дільник на це число:

2x²(x² - x + 1) = 2x⁴ - 2x³ + 2x²

Матимемо:

Тепер нам необхідно виконати віднімання багаточленів:

2x⁴ - x³ + 2x² + 1 - (2x⁴ - 2x³ + 2x²)

Розкриємо дужки та отримаємо:

2x⁴ - x³ + 2x² + 1 - 2x⁴ + 2x³ - 2x²

Та виконаємо дії з подібними членами (додаємо/віднімемо числа біля яких стоїть змінна з однаковим степенем). Отримаємо:

x³ + 1

Тобто:

Тепер, знову ж таки нам важливі лише два числа. Максимальний степінь дільника («x² - x + 1»), це «x²» і максимальний степінь з діленого («x³ + 1»), це «x³». Отже, дільник «x²» нам необхідно помножити на «x» щоб отримати ділене «x³». Після чого «x» записуємо як «+ x» у результат.

Матимемо:

Помножимо весь дільник «x² - x + 1» на «x». Отримаємо:

x(x² - x + 1) = x³ - x² + x

Виконаємо віднімання багаточленів:

x³ + 1 -(x³ - x² + x)

Знову ж таки, відкриваємо дужки та виконуємо дії з подібними доданками:

x³ + 1 -(x³ - x² + x) = x³ + 1 - x³ + x² - x = x² - x + 1

Повторюємо ще раз наші дії. Як помітно числа з максимальним степенем у діленого та дільника є повністю ідентичними («x²»), тому нам необхідно помножити дільник на «1». Після чого, «1» записуємо як «+ 1» у результат.

Помножимо «1» на дільник і отримаємо:

1(x² - x + 1) = x² - x + 1

Віднімемо багаточлени:

x² - x + 1 -(x² - x + 1) = x² - x + 1 - x² + x - 1 = 0

Враховуючи, що ми отримали ділене «0», то ми припиняємо ділити. Це означає, що багаточлени діляться націло. Також ми припиняємо ділити, якщо максимальний степінь діленого є менший за максимальний степінь дільника. В такій ситуації ми маємо остачу.

Отже, матимемо такий результат:

2x⁴ - x³ + 2x² + 1x² - x + 1 = 2x² + x + 1

Або ще можемо записати так:

2x⁴ - x³ + 2x² + 1 = (x² - x + 1)(2x² + x + 1)

Для того щоб переконатися, що ділення було правильним ви можете розкрити дужки та спростити отриманий вираз:

(x² - x + 1)(2x² + x + 1)

Якщо під час ділення багаточлена «А(х)» на багаточлен «В(х)» отримали багаточлен «С(х)» та остачу «D(x)», то в такій ситуації ми маємо записати результат так:

/A(x)/B(x) = C(x) + /D(x)/B(x)

Або

A(x) = B(x)∙C(x) + D(x)

Розглянемо на практиці.

Поділимо багаточлен «x³ + 5x² - 6x - 6» на «x - 2».

x³ + 5x² - 6x - 6x - 2

Напишемо це стовпчиком.

Пройдемося ще раз по методу ділення. Нам необхідно з максимального степеня дільника (у нас максимальний степінь «x» у дільника «х – 2»), зробити таке ж число як і максимальний степінь діленого (у нас максимальний степінь на початку ділення це «x³» діленого «x³ + 5x² - 6x - 6»).

Отже, максимальний степінь дільника «х» нам необхідно помножити на «x²» і ми отримаємо такий же вираз як і максимальний степінь діленого «x³». Тому, пишемо в результат «x²».

Також помножимо «x²» на наший дільник:

x²(x - 2) = x³ - 2x²

Матимемо:

Тепер нам необхідно виконати віднімання багаточленів:

x³ + 5x² - 6x - 6 -(x³ - 2x²) = x³ + 5x² - 6x - 6 - x³ + 2x² = 7x² - 6x - 6

Тепер наший максимальний степінь діленого виглядає так «7x²». І щоб отримати такий же вираз у дільнику, нам необхідно помножити його на «7х». У результат відповідно пишемо «+ 7х».

Помножимо наший дільник на «7х».

7x(x - 2) = 7x² - 14x

Тепер необхідно виконати віднімання багаточленів.

7x² - 6x - 6 -(7x² - 14x) = 7x² - 6x - 6 - 7x² + 14x = 8x - 6

Помножимо дільник на «8», а в результат записуємо «+ 8».

Множимо дільник на «8».

8(x - 2) = 8x - 16

Виконаємо віднімання багаточленів.

8x - 6 - (8x - 16) = 8x - 6 - 8x + 16 = 10

Як помітно, максимальний степінь дільника (оскільки є лише «10», то це означає, що поруч стоїть «x⁰») є меншим за максимальний степінь діленого («x¹») («0 < 1»). Тому, ділення припиняється і «10» вже є остачею, а отриманий результат «x² + 7x + 8» називають не повною часткою.

Отже, отриманий результат ми можемо записати так:

x³ + 5x² - 6x - 6x - 2 = x² + 7x + 8 + /10/x - 2

Або

x³ + 5x² - 6x - 6 = (x - 2)(x² + 7x + 8) + 10

Застосування ділення багаточленів для розв’язування рівнянь

Коли ми вивчали розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних, то згадували метод дільників вільного члена.

Пригадаємо. Коли ми маємо рівняння, то вільним членом в ньому виступає число біля якого не має змінної. Наприклад, у рівнянні «2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0», вільним членом буде «2». Знайдемо усі дільники вільного члена. Це будуть числа «-2; -1; 1; 2». Нам необхідно підібрати хоча б одне число при якому рівняння буде правильним. Візьмемо «х = -1»:

2 ∙ (-1)³ + 7∙(-1)² + 7∙(-1) + 2 = -2 + 7 - 7 + 2 = 0

Отже, «-1» нам підходить як розв’язок. Для того щоб знайти наступні розв’язки рівняння ми можемо скористатися діленням багаточленів. У ролі дільника буде «2x³ + 7x² + 7x + 2», а у ролі діленого багаточлен вигляду «х – а», де «а» будь-який розв’язок рівняння «2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0». В нашій ситуації замість «а» буде «-1», бо як ми вже вияснили при «х = -1» рівняння буде рівне нулю. Отже, дільником буде «х – (-1)», тобто «х + 1».

Тепер нам необхідно виконати ділення багаточленів та переконатися, що воно буде цілочисельним (поділиться без остачі).

Як помітно остачі у нас не має і це чудово. Можемо записати:

2x³ + 7x² + 7x + 2x + 1 = 2x² + 5x + 2

Або

2x³ + 7x² + 7x + 2 = (x + 1)(2x² + 5x + 2)

Тобто, наше рівняння набуде такого вигляду:

(x + 1)(2x² + 5x + 2) = 0

А ми знаємо, якщо в результаті множення двох виразів виходить нуль, то таке можливо лише в тій ситуації, коли один з виразів є рівним нулеві. Тобто:

x + 1 = 0 або 2x² + 5x + 2 = 0

Після чого залишиться розв’язати отримані рівняння.

Також при потребі можна розкладати на множники декілька разів.