Дуже часто доводиться розкладати багаточлени на множники. В цьому вам можуть допомогти правила знаходження найбільшого спільного дільника, правила степеня та формули скороченого множення.

Розкласти багаточлен на множники можна декількома способами:

Це є базові методи. Дуже часто при розкладанні доводиться використовувати декілька з них. Але пройдемося по кожному з них окремо.

За допомогою формул скороченого множення це є найпростішим варіантом. Єдина проблема даного методу це те, що необхідно в першу чергу помітити цю формулу. Відповідно, якщо ви їх не знаєте, то й помітити їх не вдасться.

Коли ви намагаєтесь знайти формулу скороченого множення, то в першу чергу варто подивитися на кількість чисел, Адже, це перше чим дані формули можуть відрізнятися. Далі слід звернути увагу на степені. Якщо степенів не має, то спробуйте записати свої числа за допомогою степеня.

Коли ви числа напишете через степінь, то це дасть можливість перевірити чи вираз збігається з формулою.

Наприклад, у виразі «x² - 16» ми бачимо два числа які є не в дужках. Два числа, що є не в дужках можна помітити у формулах різниці квадратів («a² - b²»), суми кубів («a³ + b³») та різниці кубів («a³ - b³»). Далі звернемо свою увагу на степені в нашому виразі. Оскільки, «х» є в другому степені, то скоріше за все будемо мати формулу різниці квадратів («a² - b²»). Для цієї формули нам ще потрібно мати друге число в другому степені. Зауважимо, що «16 = 4²». Тому, наший вираз «x² - 16» можна записати як «x² - 4²», а цей запис чітко підходить під нашу формулу «a² - b²».

Отже, вираз «x² - 4²» ми можемо розкласти на множники. І отримаємо:

x² - 4² = (x - 4)(x + 4)

Розглянемо ще один приклад «x³ - 12x² + 48x - 64». Ми маємо чотири числа. Чотири числа можна отримати у формулах куб суми («(a + b)³») та куб різниці («(a - b)³»). Для гарантії нам варто спробувати записати вираз у вигляді однієї з даних формул. Давайте напишемо з першу наші формули щоб бачити на, що варто орієнтуватися:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Як помітно, в першій формулі ми маємо всі числа зі знаком «+», а в нашому прикладі є два числа зі знаком «-». Тому, скоріше за все нам доведеться використати другу формулу.

Спробуємо подати наш вираз в такому ж вигляді як записана формула. Першим у нас є «a³». Ми можемо вважати, що це є «x³». Тобто, «a = x». Далі, у формулі, ми маємо «-3a²b», а у виразі «-12x²». Зауважимо, що «а = х», тому «a² = x²». Знаки є однаковими. А, «12» ми можемо записати як «3 ∙ 4». Тобто, «-3a²b = -3∙x²∙4». Тобто, ми можемо вважати, що «b = 4». Далі, матимемо: «3ab² = 48x = 3∙x∙16 = 3∙x∙4²». І «-b³ = -64 = -4³».

Тобто, наший вираз «x³ - 12x² + 48x - 64» ми можемо записати у вигляді «x³ - 3∙x²∙4 + 3∙x∙4² - 4³», що цілком відповідатиме нашій формулі. Тому, ми будемо мати:

x³ - 3∙x²∙4 + 3∙x∙4² - 4³ = (x - 4)³

Перевірка на правильність запису (що наший вираз можна записати у вигляді формули) є дуже важливою. Адже, навіть одна не відповідність означатиме, що ви не зможете скористатися формулою скороченого множення.

Другим методом розкладання багаточлена на множники є винесення спільного множника за дужки. Тут, вам на допомогу, приходять правила знаходження НСД та властивості степеня.

Сама назва даного методу говорить за його суть. Коли у вас є додавання/віднімання чисел (одночленів) і у них є щось спільне, то ви можете забрати це спільне написавши його по переду. Далі в душках потрібно написати все що залишиться.

Для прикладу візьмемо багаточлен «2a³ - 4ab + a». Як ви вже помітили, то у кожному доданку (одночленові) є «a». Коли ми винесемо за дужки, то наший вираз виглядатиме так:

2a³ - 4ab + a = a(2a² - 4b + 1)

Давайте розберемося, що тут відбулось. Ми мали одночлен «2a³». За правилом степеня нам відомо, що степінь вказує скільки разів число множиться саме на себе. Тобто, одночлен «2a³» можна записати так: «2a³ = 2∙a∙a∙a». Відповідно, коли ми заберемо одне «а», то у нас залишиться «2∙a∙a». Відповідно, отримаємо «2∙a∙a = 2a²». З виразу «-4ab» ми просто забрали «a» відповідно і залишилося «-4b». І третій доданок у нас був «a». Його можна записати як «1∙a». Відповідно, коли ми забрали «a», то у нас залишилась «1».

Це була приблизна логіка як виносяться множники за дужки. В реальності ж ви маєте поділити всі свої числа (одночлени) на вираз (множник) який виносите за дужки. Тобто, в реальності попередня ситуація виглядатиме так:

2a³ - 4ab + a = a(2a³a -/4ab/a +/a/a) = a(2a² - 4b + 1)

Даний запис може бути складнішим в розумінні але саме його вам варто запам’ятати. Винести за дужки означає поділити!

Тому, виносити за дужки можна по факту навіть ті речі яких у вас в принципі не було:

3a - b = c(/3a/c -/b/c)

Звісно так робити можна але толку з цього буде не багато. Винесення спільного множника за дужки вважається «вдалим», якщо в кінцевому варіанті у вас не залишилося дробів. В деяких моментах це буває необхідністю, но це скоріше виключення з правил.

Трішки халяви. Якщо у вас є якісь букви (або числа) в степені у кожному доданку, то варто виносити найменший степінь:

a⁶ - 2a⁴ + 3a³ = a³(a⁶3a³ - 2a⁴3a³ + a³3a³) = a³(a³ - 2a + 3)

Коли ви маєте числові вирази, то необхідно виносити НСД.

12a + 18b - 24c = 6(/12a/6 +/18b/6 -/24c/6)= 6(2a + 3b - 4c)

Крім чисел та букв ви можете виносити знак мінус («-») за дужки (знак «+» не має сенсу виносити). При винесенні «-» за дужки знаки чисел змінюються на протилежні. Мінус («-») можна виносити як самого так і на пару з числами/буквами.

2a - b = -(-2a + b) = -(b - 2a)

Дана ситуація доволі часто зустрічається у прикладах. Особливо в дробово-раціональних. Часто бувають моменти, коли є однакові знаменники але із протилежними знаками.

/7/a - b + /4/b - a = /7/a - b + /4/-(a - b) = /7/a - b -/4/a - b = /7 - 4/a - b = /3/a - b

Метод групування дуже часто використовує попередні методи (формули скороченого множення та винесення спільного множника за дужки). По факту, ми використовуємо такі ж самі методи але не з усіма доданками (одночленами) відразу, а лише з частиною. Ми розбиваємо наші доданки на окремі групи і вже ці групи розкладаємо на множники. Головна ціль цього розкладання це зробити так, щоб, в групах з’явилися однакові множники які можна буде винести за дужки.

Розглянемо на прикладі: «a³ - a² - 3a + 3».

Як помітно. Це не є формулою скороченого множення. Також, ми не можемо винести спільний множник з УСІХ доданків. Спробуємо розбити на групи. Візьмемо перші два доданки в якості першої групи та два останні в якості другої. Це можна записати так:

a³ - a² - 3a + 3 = (a³ - a²) + (-3a + 3)

Ви повинні розуміти, що таких «груп» можна придумати доволі багато. Ви можете спробувати взяти перший та третій доданок і другий та четвертий. Або взяти перші три доданки як одну групу, а четвертий як іншу. Не має чіткого методу як це все робити. Вам доведеться виконувати дані дії методом спроб та помилок. Але пам’ятайте! Головне завдання щоб в кожній групі утворилися однакові множники!

З першої групи ми можемо винести «a²», з другої «-3». Після чого отримаємо:

(a³ - a²) + (-3a + 3) = a²(a - 1) - 3(a - 1)

Як бачите нам пощастило з першої спроби. В кожній групі з’явився один і той же множник «(a - 1)». Винесемо його за дужки:

a²(a - 1) - 3(a - 1) = (a - 1)(a² - 3)

Як помітно, ми не маємо додавання/віднімання за межами дужок. Тому, ми розклали даний вираз на множники. Доволі часто після таких дій можна його ще більше спростити, но у нас більше такого не вийде. Отже, матимемо:

a³ - a² - 3a + 3 = (a - 1)(a² - 3)

Дуже часто в таких ситуаціях вам доведеться виконувати тотожне перетворення своїх одночленів (доданки). Наприклад, розглянемо даний вираз: «a³ - 3a - 2».

В лоб нам не вдасться розкласти його на множники. Але, якщо ми тотожно перетворимо «-3a» в «-a - 2a», то можемо спробувати щось придумати.

a³ - 3a - 2 = a³ - a - 2a - 2

Спробуємо створити групу з перших двох та двох останніх доданків.

a³ - a - 2a - 2 = (a³ - a) + (-2a - 2)

Зауважимо, що запис через дужки є не обов’язковим. Зараз так записуємо лише для візуального ефекту. Винесемо з перших дужок спільний множник «a», а з других для зручності «-2»:

(a³ - a) + (-2a - 2) = a(a² - 1) - 2(a + 1)

Як помітно, у нас не утворилося однакових множників. Але, перші дужки є формулою скороченого множення. Розкладемо її:

a(a² - 1) - 2(a + 1) = a(a - 1)(a + 1) - 2(a + 1)

Тепер, в нас є однаковий множник «(a + 1)». Винесемо його за дужки:

a(a - 1)(a + 1) - 2(a + 1) = (a + 1)[a(a - 1) - 2]

Ми використали квадратні дужки лише для того, щоб простіше розрізняти та читати запис. У квадратних дужках ми можемо виконати спрощення відкривши круглі дужки:

(a + 1)[a(a - 1) - 2] = (a + 1)[a² - a - 2]

Отже, маємо:

a³ - 3a - 2 = (a + 1)[a² - a - 2]

Методи розкладання багаточленів на множники є доволі популярними та необхідними під час розв’язування рівнянь. Вміння з ними працювати дуже допоможе в подальшому вивченні математики.