Для розв’язування лінійних нерівностей вам варто ознайомитися з теоретичним матеріалом як розв’язувати лінійні рівняння та лінійні нерівності.

Коли ви розв’язуєте нерівності, то дуже важливо чітко визначити її тип. Це необхідно для того, щоб використовувати легший метод для розв’язування нерівності. Але в загальному будь-яку нерівність можна розв’язати за допомогою методу інтервалів.

Розв’язуючи лінійні нерівності ми будемо користуватися тими ж самими методами, що і для розв’язування лінійних рівнянь.

1) Розв’язати нерівність: «2x + 9 > 4x - 7».

Уявимо, що в нас є лінійне рівняння. Для цього знак нерівності «>» варто замінити на знак рівності «=».

2x + 9 = 4x - 7

Якщо вам так буде зручно, то можете розв’язувати дане рівняння і паралельно виконувати такі ж дії й для нерівності. Ми ж будемо відразу вчитися розв’язувати відносно нерівності.

Варто перенести числа «з Х» в одну частину, а числа «без Х» в іншу. Не забувайте, що при цьому потрібно поміняти знак чисел на протилежний:

2x - 4x > -7 - 9

-2x > -16

Тепер, потрібно позбутися від числа, що написаний біля «Х». Щоб позбутися від «-2», що стоїть біля «Х» нам необхідно всю нерівність поділити на дане число. Але, враховуючи, що воно є від’ємним, то знак нерівності поміняється на протилежний.

-2x > -16 | ∶ (-2)

x < 8

Для зручного визначення розв’язків нерівності ви можете скористатися координатну пряму. Оскільки «х» є меншим за «8», то потрібно обрати лівий проміжок відносно «8»:

Отже, розв’язком нерівності буде:

x ∈ (-∞; 8)

2) Розв’язати нерівність: «0,2(3-2x) > 0,5-0,4x».

В першу чергу розкриємо дужки:

0,6 - 0,4x > 0,5 - 0,4x

Враховуючи, що ми не можемо виконати додавання/віднімання подібних чисел, то, перенесемо числа «з Х» в одну частину нерівності, а числа «без Х» в іншу. Не забуваємо при цьому поміняти знак на протилежний.

-0,4x + 0,4x > 0,5 - 0,6

Виконаємо додавання/віднімання:

0 > -0,1

Зауважте, що «х» зник, а нерівність залишилася правильною, оскільки «0» є більшим за «-0,1». Це означає, що дана нерівність має розв’язком всю числову множину:

x ∈ (-∞; +∞)

Або:

x ∈ R

Якщо «х» зникає, а нерівність залишається не правильною, то це означає, що дана нерівність розв’язків не має.

3) Розв’язати нерівність: «5 - 2(x - 1) ≥ 4 - x».

В першу чергу розкриємо дужки:

5 - 2x + 2 ≥ 4 - x

Тепер, можна виконати додавання/віднімання подібних чисел:

7 - 2x ≥ 4 - x

Перенесемо числа «з Х» в одну частину, а числа «без Х» в іншу. Не забувайте поміняти знак чисел на протилежний.

-2x + x ≥ 4 - 7

-x ≥ -3

Позбудемося від «-» біля «x». Для цього помножимо дану нерівність на «-1»:

-x ≥ -3 | ∙ (-1)

x ≤ 3

Для зручного визначення розв’язків нерівності ви можете скористатися координатну пряму. Оскільки «х» є меншим за «3», то потрібно обрати лівий проміжок відносно «3»:

Отже, розв’язком нерівності буде:

x ∈ (-∞; 3]

4) Розв’язати нерівність: «0,2(7 - 2y) ≤ 2,3 - 0,3(y - 6)».

Розкриємо дужки в нашій нерівності:

1,4 - 0,4y ≤ 2,3 - 0,3y + 1,8

Виконаємо додавання/віднімання подібних чисел:

1,4 - 0,4y ≤ 4,1 - 0,3y

Перенесемо числа «з У» в одну частину, а «без У» в іншу. Не забувайте поміняти знак чисел на протилежний:

-0,4y + 0,3y ≤ 4,1 - 1,4

-0,1y ≤ 2,7

Поділимо нашу нерівність на «-0,1»:

-0,1y ≤ 2,7 | ∶ (-0,1)

y ≥ -27

Оскільки «y» є більшим за «-27», то потрібно обрати правий проміжок відносно «-27»:

Отже, розв’язком нерівності буде:

y ∈ [-27; +∞)

5) Розв’язати нерівність: «/x + 14/6 - /x - 12/8 ≤ 3».

Оскільки, ми маємо декілька дробів, то можна звести їх до спільного знаменника. Враховуючи, що в знаменнику ми маємо лише числа, то ми можемо всю нерівність помножити на наш спільний знаменник. Тобто, на «24»:

/x + 14/6 - /x - 12/8 ≤ 3 | ∙ 24

/24(x + 14)/6 - /24(x - 12)/8 ≤ 3 ∙ 24

Тепер, можна скоротити наші дроби:

4(x + 14) - 3(x - 12) ≤ 72

Розкриємо дужки:

4x + 56 - 3x + 36 ≤ 72

Виконаємо додавання/віднімання подібних чисел:

x + 92 ≤ 72

Перенесемо числа «з Х» в одну частину, а числа «без Х» в іншу. Не забувайте поміняти знак чисел на протилежний.

x ≤ 72 - 92

x ≤ -20

Оскільки «х» є меншим за «-20», то потрібно обрати лівий проміжок відносно «-20»:

Отже, розв’язком нерівності буде:

x ∈ (-∞; -20]