Ламаною «A₁, A₂, …, A_n» називається фігура, яка складається з точок «A₁, A₂, …, A_n» та з’єднуючих їх відрізків «A₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1A_n». Точки «A₁, A₂, …, A_n» називаються вершинами ламаної, а відрізки «A₁A₂, A₂A₃, …, A_n-1A_n» - ланками ламаної.

Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів.

Ламана називається замкнутою, якщо у неї кінці співпадають.

Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок.

Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій. Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а ланки ламаної – сторонами багатокутника.

«A₁, A₂, …, A_n» - багатокутник.

Дві сторони багатокутника називають сусідніми, якщо вони мають спільну вершину. «A₁A_n» та «A₁A₂» сусідні, оскільки у них є спільна вершина «A₁».

Якщо ж сторони багатокутника не мають спільної вершини, їх називають не сусідніми. «A₁A_n» та «A₂A₃» не сусідні, оскільки у них не має спільної вершини.

Відрізки, які з’єднують не сусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями. «A₁ A₃», «A₁ A_n-1», «A₂A_n-1», …, - діагоналі багатокутника.

Кількість діагоналей n-кутника можна знайти за формулою:

/n(n - 3)/2

Суму довжин усіх сторін багатокутника називають периметром багатокутника.

Найменше число сторін (а також вершин) багатокутника – три. У такому випадку маємо трикутник. Багатокутник з n–вершинами, тобто з n–сторонами, називається n–кутником.

Кути, що утворюються при сусідніх сторонах, називаються кутами багатокутника (внутрішніми). «a», «b», «c» - кути багатокутника (внутрішні).

Багатокутник у якого всі кути є менші за розгорнутий (менші за «180» градусів), називається опуклим.

Якщо хоча б один кут багатокутника є більшим за розгорнутий (за «180» градусів), то такий багатокутник, називають неопуклим або випуклим.

Суму кутів (внутрішніх) опуклого n-кутника можна знайти так:

180°(n - 2)

Кути які є суміжними до кутів багатокутника (до внутрішніх кутів) називаються зовнішніми кутами багатокутника. «a», «b» - внутрішні кути; «c», «d» - зовнішні кути.

Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює «360» градусів (завжди).

Правильним багатокутником називають опуклий багатокутник, у якого всі сторони рівні та всі кути рівні.

Позначимо через «α_n» - внутрішній кут правильного n–кутника.

У такому випадку щоб знайти градусну міру внутрішнього кута правильного n–кутника можна скористатися формулою:

α_n = /180°(n - 2)/n

Цю формулу запам’ятати доволі просто. У чисельнику знаходиться формула суми всіх кутів багатокутника, а у знаменнику їх кількість.

Багатокутник називається вписаним, якщо усі його вершини лежать на колі. При цьому кажуть, що коло є описаним навколо багатокутника.

Багатокутник називається описаним, якщо усі його сторони є дотичними до кола. При цьому кажуть, що коло є вписаним у багатокутник.

Якщо багатокутник правильний, то у нього можна вписати коло та навколо нього можна описати коло. При цьому центри вписаного та описаного кола збігаються.

Коло, вписане у правильний багатокутник дотикається до його сторін по середині.

У багатокутниках є формули, що пов’язують між собою сторону багатокутника та радіус вписаного/описаного кола. Розглянемо їх.

Будемо використовувати наступні позначення: «a_n» - сторона правильного n-кутника; «r» - радіус вписаного кола у правильний n-кутник; «R» - радіус описаного кола навколо правильного n-кутника.

Сторону правильно n-кутника («a_n») можна знайти використавши радіус вписаного кола («r») за допомогою формули:

a_n = 2r ∙ tg/180/n

З цієї формули радіус вписаного кола можна знайти так:

r = a_n2tg/180/n

Також сторону правильно n-кутника («a_n») можна знайти використавши радіус описаного кола («R») за допомогою формули:

a_n = 2R ∙ sin⁡/180/n

З цієї формули радіус описаного кола можна знайти так:

R = a_n2sin⁡/180/n

Також ми можемо знайти радіус вписаного кола маючи при цьому радіус описаного кола:

r = R · cos⁡/180/n

Та навпаки:

R = rcos/180/n

Застосуємо теорію на практиці. Розберемо декілька прикладів:

Задача 1: Скільки всього діагоналей має десятикутник?

Кількість діагоналей n-кутника можна знайти за формулою:

/n(n - 3)/2

Де «n» кількість вершин. Оскільки, ми маємо десятикутник, то «n = 10». В такому випадку будемо мати:

/10(10 - 3)/2 = 35

Отже, у десятикутника буде «35» діагоналей.

Відповідь: 35.

Задача 2: Чому дорівнює сума внутрішніх кутів опуклого дванадцятикутника?

Суму внутрішніх кутів n-кутника можна знайти за формулою:

180°(n - 2)

Де «n» кількість вершин. Оскільки, ми маємо дванадцятикутник, то «n = 12». В такому випадку будемо мати:

180°(12 - 2) = 1800°

Отже, сума внутрішніх кутів дванадцятикутника буде рівна «1800» градусів.

Відповідь: 1800°.

Задача 3: Скільки вершин має опуклий багатокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює «900» градусів?

Позначимо суму внутрішніх кутів n-кутника як «a_n», тоді матимемо «a_n = 900».

А суму внутрішніх кутів n-кутника можна знайти за формулою:

180°(n - 2)

Тобто, ми будемо мати такий запис:

180°(n - 2) = a_n

Звідси, врахувавши «a_n = 900°», матимемо:

180(n - 2) = 900

Отже, отримали лінійне рівняння зі змінною «n». Розв’яжемо його:

180(n - 2) = 900 |∶180

n - 2 = 5

n = 5 + 2

n = 7

Отже, наший багатокутник буде мати «7» вершин (кутів).

Відповідь: 7.

Задача 4: Чому дорівнює внутрішній кут правильного восьмикутника?

Позначимо через «n» кількість кутів. За умовою задачі ми маємо восьмикутник, тому матимемо: «n = 8».

Градусну міру внутрішнього кута позначимо як «а».

Для того щоб знайти градусну міру внутрішнього кута n-кутника ми можемо скористатися формулою:

a_n = /180(n - 2)/n

Отже, будемо мати:

a₈ = /180(8 - 2)/8

a₈ = 135

Отже, внутрішній кут восьмикутника буде «135» градусів.

Відповідь: 135.

Задача 5: Скільки сторін має правильний багатокутник, якщо його внутрішній кут дорівнює «156» градусів?

Позначимо через «n» кількість кутів. А через «a_n» градусну міру внутрішнього кута багатокутника, матимемо: «a_n = 156».

Для того щоб кількість кутів багатокутника ми можемо скористатися формулою:

a_n = /180(n - 2)/n

Отже, будемо мати:

156 = /180(n - 2)/n

Ми маємо раціональне рівняння відносно змінної «n». Детальніше читайте тут.

156 = /180(n - 2)/n |∙n

156n = 180(n - 2); n ≠ 0

156n = 180n - 360

156n - 180n = -360

-24n = -360 |∶(-24)

n = 15

Отже, багатокутник має «15» вершин.

Відповідь: 15.

Задача 6: Скільки сторін має правильний багатокутник, якщо його зовнішній кут дорівнює «20» градусів?

Враховуючи, що зовнішній кут має «20» градусів, то позначимо його як «b» і матимемо «b = 20».

Для того щоб знайти кількість сторін багатокутника нам варто знайти внутрішній кут багатокутника. Позначимо внутрішній кут як «а».

Враховуючи, що внутрішній та зовнішній кут багатокутника є суміжними, то ми можемо скористатися властивістю, що сума суміжних кутів рівна «180» градусів. Отже, матимемо:

a + b = 180

Підставимо значення та отримаємо лінійне рівняння відносно змінної «а».

a + 20 = 180

a = 180 - 20

a = 160

Позначимо через «n» кількість кутів багатокутника.

Для того щоб кількість кутів багатокутника ми можемо скористатися формулою:

a_n = /180(n - 2)/n

Отже, будемо мати:

160 = /180(n-2)/n

Ми маємо раціональне рівняння відносно змінної «n». Детальніше читайте тут.

160n = 180(n - 2); n ≠ 0

160n = 180n - 360

160n - 180n = - 360

-20n = -360 |∶(-20)

n = 18

Отже, багатокутник має «18» вершин.

Відповідь: 18.

Задача 7: Кути п’ятикутника пропорційні до чисел «3, 5, 5, 6, 8». Знайти ці кути.

Враховуючи, що ми маємо відношення п’яти чисел, то це означає, що ми матимемо п’ять вершин («n = 5»). Використаємо такі позначення для цих кутів: «a₁», «a₂», «a₃», «a₄», «a₅».

Тому ми будемо мати таке співвідношення:

a₁∶a₂∶a₃∶a₄∶a₅ = 3∶5∶5∶6∶8

Отже, ми будемо мати такі значення наших кутів:

a₁ = 3x

a₂ = 5x

a₃ = 5x

a₄ = 6x

a₅ = 8x

Для того щоб знайти ці кути нам варто знайти суму всіх кутів. Скористаємося формулою:

180(n-2)

Матимемо:

180(5 - 2) = 540

Отже, сума всіх кутів багатокутника є рівною «540» градусів. Після чого ми матимемо:

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 540

Підставимо значення та отримаємо:

3x + 5x + 5x + 6x + 8x = 540

Розв’яжемо отримане рівняння:

27x = 540 |∶27

x = 20

Тепер знайдемо наші кути:

a₁ = 3∙20 = 60

a₂ = 5∙20 = 100

a₃ = 5∙20 = 100

a₄ = 6∙20 = 120

a₅ = 8∙20 = 160

Відповідь: 60; 100; 100; 120; 160.

Задача 8: Сторона правильного шестикутника дорівнює «10» см. Знайти його найбільшу діагональ.

Намалюємо правильний шестикутник «ABCDEF» («n» - кількість сторін, «n = 6»). Проведемо у ньому діагоналі «BD» і «AD». Також намалюємо описане коло навколо цього багатокутника.

Як помітно у нас утворився прямокутний трикутник «ABD». З гіпотенузою «AD». З властивості кола ми знаємо, що гіпотенуза прямокутного трикутника який вписаний у коло є одночасно діаметром і центр кола знаходиться по середині гіпотенузи.

Отже, щоб знайти довжину відрізка «AD», то нам необхідно знайти радіус описаного кола. Радіус описаного кола позначимо через «R» врахувавши, що у нас є правильний шестикутник, то радіус зможемо знайти використавши формулу:

R = a_n2sin⁡/180/n

Матимемо:

R = 102sin⁡/180/6

R = 102sin 30

R = 10

Враховуючи, що сторона «AD» є діаметром, то нам необхідно помножити радіус на «2».

AD = 2R

AD = 2 · 10 = 20

Відповідь: 20.

Задача 9: Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює «8√3» см. Знайти периметр шестикутника.

Нам необхідно знайти периметр. Оскільки, периметр це сума всіх сторін, а шестикутник («n = 6») у нас є правильним (тобто всі сторони рівні), то нам необхідно знайти будь-яку сторону.

Враховуючи, що ми маємо радіус вписаного кола (позначимо через «r», «r = 8√3»), то щоб знайти сторону (позначимо як «а») можна скористатися формулою:

a_n = 2r ∙ tg/180/n

Отже, матимемо:

a = 2∙8√3∙tg/180/6

a = 16√3 ∙ tg 30

a = 16

Враховуючи, що шестикутник є правильним, то щоб знайти периметр можна помножити кількість сторін на довжину однієї. Матимемо:

P = 6a

P = 6 ∙ 16

P = 96

Відповідь: 96.

Задача 10: Скільки сторін має опуклий багатокутник, у якого сума внутрішніх кутів дорівнює сумі його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині?

Враховуючи, що сума зовнішніх кутів багатокутника взятих по одному при кожній вершині завжди рівна «360» градусів, то це означає, що сума внутрішніх кутів теж рівна «360» градусів.

Оскільки, сума внутрішніх кутів чотирикутника рівна «360» градусів, то відповідно наший багатокутник має «4» сторони.

Відповідь: 4.

Задача 11: Скільки сторін має опуклий багатокутник, якщо сума всіх його внутрішніх кутів і всіх зовнішніх дорівнює «2520» градусів.

Для того щоб знайти кількість вершин n-кутника можна скористатися формулою суми внутрішніх кутів:

180(n - 2)

Але на справді цю формулу можна сприймати як: «сума всіх кутів відняти суму зовнішніх кутів» («180n – 360»). Враховуючи цю умову ми можемо сказати, що суму всіх кутів (внутрішні + зовнішні) можна знайти так: «180n». Оскільки, нам ця сума є відома, то кількість кутів n-кутника можна знайти так:

180n = 2520 |∶180

n = 14

Другий варіант розв’язання заключається в тому, що ми від загальної суми віднімаємо суму зовнішніх кутів, а потім застосовуємо формулу суми внутрішніх кутів багатокутника.

Відповідь: 14.

Задача 12: Скільки вершин має правильний багатокутник, у якого внутрішній кут у «8» разів більший від зовнішнього?

Враховуючи, що ми маємо правильний багатокутник, то у нього всі внутрішні кути рівні між собою та зовнішні між собою. Позначимо зовнішній кут як «b», а внутрішній як «a».

У нашому випадку градусна міра зовнішнього кута є невідомою, тому позначимо її через «х»:

b = x

А внутрішній кут є у «8» разів більший за зовнішній, тому матимемо:

a = 8b = 8x

Врахуємо, що зовнішній та внутрішній кут при одній вершині суміжними. Тому ми можемо скористатися властивістю, що сума суміжних кутів рівна «180» градусів.

a + b = 180

Матимемо:

8x + x = 180

9x = 180 |∶9

x = 20

Отже, наші кути будуть:

a = 160

b = 20

Скористаємося формулою знаходження внутрішнього кута n-кутника:

a_n = /180(n - 2)/n

Матимемо:

160 = /180(n - 2)/n |·n

160n = 180(n - 2); n ≠ 0

160n = 180n - 360

160n - 180n = -360

-20n = -360 |∶(-20)

n = 18

Відповідь: 18.

Задача 13: Три кути багатокутника прямі, а решта дорівнюють по «150» градусів. Скільки вершин має багатокутник?

В даному прикладі варто орієнтувати на суму зовнішніх кутів багатокутника. Оскільки вона завжди рівна «360» градусів, то нам варто з’ясувати скільки необхідно кутів щоб отримати цю суму.

Врахуємо, що ми маємо три кути по «90» градусів, тому ми маємо і три зовнішні кути теж «90» градусів (бо зовнішній та внутрішній кут при одній вершині є суміжними, а сума суміжних кутів рівна «180» градусів).

Тому, ми маємо: «90 + 90 + 90 = 270» градусів зайнятих.

Отже, залишилося ще «360 – 270 = 90» градусів.

Оскільки, інші внутрішні кути є по «150» градусів, то зовнішній кут при цій вершині буде «30» градусів («180 – 150 = 30»). Вийде, що нам необхідно ще три таких кути, бо «30 + 30 + 30 = 90».

Отже, ми маємо три внутрішні кути по «90» та три внутрішні кути по «150» градусів. Звідси слідує, що ми маємо шестикутник.

Відповідь: 6.