Для розв’язання цих завдань вам варто переглянути теорію по відсотках.

У завданнях з відсотками використовують правило пропорції:

/a/b = /n %/m %

Де «a», «b» - числові значення, «n», «m» - відсотковий міст значень «a», «b» відповідно. Одне з чисел «a» чи «b» беруть за основу, тоді «n» чи «m» відповідно (якщо «a», то «n»; якщо «b», то «m») беруть як «100 %». Будемо за основу брати число «b» і «m» як «100 %». За основу обирається число відносно якого будемо шукати вміст іншого числа. Підчас розв’язання ми будемо використовувати ці позначення.

Припустиму, що нам необхідно знайти число «а», тому візьмемо його як «х» («а = х»); в такому випадку «n» у нас буде «52 %» («n = 52 %»); «b» беремо за основу і воно буде рівне «960» («b = 960»), і «m» буде як «100 %» («m = 100 %»). Отже, основна пропорція:

/a/b = /n %/m %

Буде мати такий вигляд:

/x/960 = /52/100

Звідси ми можемо знайти значення «х» за правилом метелика:

x = /52 ∙ 960/100

x = 499,2

Отже:

a = 499,2

Відповідь: 499,2.

За основу ми візьмемо число «96» і позначимо його через «b» («b = 96»), тоді «m» буде як «100%» («m = 100 %»). Число «9» у нас буде як «а», а «n» позначимо як «х» («n = х»). Отже, основна пропорція:

/a/b = /n %/m %

Буде мати такий вигляд:

/9/96 = /x/100

Знайдемо звідси «х» за правилом метелика:

x = /9 ∙ 100/96 = 9,375

Отже:

a = 9,375 %

Відповідь: 9,375 %.

У задачах на відсотки, коли йде мова про прибуток (або втрати) за певний період часу використовують формулу складних відсотків:

A_n = A₀∙(1 + /p/100)ⁿ

Де «A_n» - кінцева сума яку отримаємо через «n» часу; «A₀» - початкова сума (початковий вклад); «p» - відсоток за одиницю часу (наприклад за один рік); «n» - період часу який пройде.

У нашому випадку ми знаємо, що відсоток за рік часу є «8» («р = 8%»); термін на який кладуться гроші це «1» рік (час який пройде) («n = 1»); початкова сума нам не відома, тому позначимо її як «х» («A₀ = x»); кінцева сума нам також не відома, але відомо, що ми матимемо «60» грн прибутку, тому кінцева сума буде як «початкова сума + 60», тобто «х + 60» («A_n = x + 60»).

Підставимо все у нашу формулу:

x + 60 = x(1 + /8/100)¹

x + 60 = x ∙ 1,08

x - 1,08x = -60

-0,08x = -60 |∶(-0,08)

x = 750

Отже, початкова сума вкладу буде:

A₀ = 750

Відповідь: 750.

У задачах на відсотки, коли йде мова про прибуток (або втрати) за певний період часу використовують формулу складних відсотків:

A_n = A₀∙(1 + /p/100)ⁿ

Де «A_n» - кінцева сума яку отримаємо через «n» часу; «A₀» - початкова сума (початковий вклад); «p» - відсоток за одиницю часу (наприклад за один рік); «n» - період часу який пройде.

В нашій задачі ми маємо: початковий внесок був «2000» грн («A₀ = 2000»); кінцева сума яку отримаємо буде «2160» грн («A_n = 2160»); час який пройде «1» рік («n = 1»); необхідно знайти відсоток «р» який позначимо через «х» («р = х»).

Отже, наша формула набуде такого вигляду:

2160 = 2000∙(1 + /x/100)¹

Розв’яжемо отримане рівняння. В першу чергу варто підняти дужки до степеня. Оскільки, будь-яке число у першому степені буде тим же числом, то у нас ні чого не зміниться.

2160 = 2000∙(1 + /x/100)

Тепер варто розв’язати рівняння як лінійне. Детальніше читайте тут.

2160 = 2000 + 2000 ∙ /x/100

2160 - 2000 = 20x

160 = 20x

Пам’ятаємо, якщо повністю поміняти частини місцями, то нічого не зміниться:

20x = 160

x = /160/20

x = 8

Тобто ми будемо мати:

р = 8 %

Відповідь: 8 %.

Для того щоб дізнатися на скільки відсотків «250» за «200» нам необхідно дізнатися їх відсоткове співвідношення. Для цього скористаємося основною пропорцією:

/a/b = /n %/m %

За основу візьмемо число «200» і позначимо його як «b» («b = 200»); тоді «m» буде як «100 %»; число «250» позначимо через «а»; відсотковий уміст «250» є невідомим, тому він буде як «х» і позначимо його через «n».

В такому випадку наша основна пропорція буде мати такий вигляд:

/250/200 = /x/100

Знайдемо «х» за правилом метелика:

x = /250 ∙ 100/200

x = 125

Тобто, матимемо:

n = 125 %

Для того щоб дізнатися на скільки відсотків число «250» є більшим за «200» нам необхідно відняти їх відсоткові вмісти:

n - m = 125 - 100 = 25

Тобто, число «250» на «25%» більше за число «200».

Відповідь: 25 %.

Враховуючи, що нам необхідно знайти уміст олова якого є «50» г, то ми можемо його позначити через «а» («а = 50»); тоді відсоткове значення буде «х» і позначимо його через «n» («n = x»); сплав складається з олова та міді, тому його маса буде сумою мас цих компонентів «50 + 200 = 250», цю масу візьмемо за основу і позначимо як «b» («b = 250»); тоді «m» буде як «100 %» («m = 100 %»).

Скористаємося основною пропорцією:

/a/b = /n %/m %

Підставимо наші значення в основну пропорцію та отримаємо:

/50/250 = /x/100

Знайдемо значення «х» за правилом метелика:

x = /50 ∙ 100/250

x = 20

Тобто вміст олова у сплаві буде:

n = 20 %

Відповідь: 20 %.

Візьмемо початкову вартість товару як «b₀» і позначимо її «b» («b = b₀»); тоді відсоткове відношення «m» буде «100 %» («m = 100»); нову вартість (після підвищення) візьмемо як «a₀» і позначимо «a» («a = a₀»); відсоткове відношення нової вартості після підвищення буде «100 % + 25 % = 125 %» і позначимо як «n» («n = 125»).

Скориставшись основною пропорцією:

/a/b = /n %/m %

Підставимо всі значення, після чого отримаємо:

a₀b₀ = /125/100

Звідси знайдемо нову вартість товару («a₀»):

a₀ = 125b₀100

Тепер нам необхідно знайти на скільки відсотків потрібно зменшити нову ціну щоб отримати стару. Тепер за основу ми беремо нову ціну («а») яка рівна «125b₀100» («a = 125b₀100»), відповідно тепер у нас «n» буде як «100 %» («n = 100%»), а ціна до якої нам необхідно є початковою ціною, тому замість «b» ми маємо «b₀» («b = b₀») і її відсотковий зміст нам необхідно знайти, тому через матимемо «m = x».

Скориставшись основною пропорцією матимемо:

125b₀100 ∶ b₀ = /100/x

125b₀100 · 1b₀ = /100/x

/125/100 = /100/x

x = /100 ∙ 100/125

x = 80

Отже, початкова ціна буде як «80 %» від ціни після підвищення. Виходить щоб дізнатися на скільки відсотків необхідно знизити вартість після підняття щоб отримати початкову потрібно: відняти від «100 %» відсоткове відношення початкової ціни до ціни після підняття.

100 % - 80 % = 20 %

Відповідь: 20 %.

Отже, у свіжих грибів вміст (відсоток) самих грибів буде:

100 % - 90 % = 10 %

А вміст грибів у сухих грибах буде:

100 % - 15 % = 85 %

Знайдемо масу самих грибів («b») виключивши вміст води із сухих:

b = /17 ∙ 10/100 = 1,7

За основу візьмемо масу свіжих грибів без вмісту води «1,7» і позначимо її як «a» («a = 1,7»); їх відсотковий вміст буде «85 %» позначимо через «n» («n = 85»); маса сухих грибів буде «х» і позначимо «b» («b = x»); їх відсотковий вміст буде «100 %» позначимо через «m» («m = 100»).

Скориставшись основною пропорцією:

/a/b = /n %/m %

Підставимо всі значення, після чого отримаємо:

/1,7/x = /85/100

Знайдемо значення «х» скориставшись правилом метелика:

x = /1,7 ∙ 100/85

Отже, маса сухих грибів буде «2» кг.

Відповідь: 2.

Знайдемо скільки відсотків шляху випало на третій день. Весь шлях це «100 %» і щоб знайти відсотковий вміст третього дня варто відняти відсотки шляху за перші два дня. Матимемо:

100 % - 30 % - 25 % = 45 %

Отже, на третій день припадає «45 %» шляху. Візьмемо за основу весь шлях «300» км і позначимо його як «b» («b = 300»); весь шлях відповідно буде «100 %» і позначимо його як «m» («m = 100»); шлях який проїде автомобіль за третій день буде «х» і позначимо його як «а» («а = х»); відсотковий вміст третього дня буде «45 %» позначимо як «n» («n = 45»).

Скориставшись основною пропорцією:

/a/b = /n %/m %

Підставимо всі значення, після чого отримаємо:

/x/300 = /45/100

Знайдемо значення «х» скориставшись метеликом:

x = /45 ∙ 300/100

x = 135

Отже, за третій день автомобіль проїде «135» км.

Відповідь: 135.

Тут дуже часта помилка, коли додають відсотки («40 % + 25 %») і вважають, що це є правильна відповідь. На справді це не так. Нам необхідно знайти на скільки відсотків знизилася вартість відносно початкової. А друге пониження (у нашому випадку на «25 %») це пониження відносно зниженої ціни за перший раз.

Дізнаємося яка буде вартість після першого зниження.

Візьмемо початкову вартість як «b₀» і позначимо її як «b» («b = b₀»); початкова вартість буде у нас як «100 %» і позначимо як «m» («m = 100»); нова вартість буде «a₀» і позначимо її як «a» («a = a₀»); відсотковий вміст нової вартості буде «100 % - 40 % = 60 %» (від початкової вартості відняли знижку) і позначимо її як «n» («n = 60»).

Скориставшись основною пропорцією:

/a/b = /n %/m %

Підставимо всі значення, після чого отримаємо:

a₀b₀ = /60/100

Звідси знайдемо нову вартість «a₀»:

a₀ = 60b₀100

Тепер варто дізнатися вартість після другого зниження ціни. При цьому вартість яка стала після першого зниження вже буде як основна і позначимо її через «b» («b = a₀ = 60b₀100»); її відсотковий вміст вже буде «100 %» і позначимо як «m» («m = 100»); нову вартість (після другого зниження) візьмемо «a₁» і позначимо «a» («a = a₁»); її відсотковий вміст буде «100 % - 25 % = 75 %» і позначимо «n» («n = 75»).

Підставимо значення в основну пропорцію і отримаємо:

a₁ ∶ 60b₀100 = /75/100

Звідси знайдемо нову вартість «a₁»:

a₁ = /75/100 ∙ 60b₀100

Остаточна вартість після зниження буде такою (позначимо її як «а»):

a = a₁

Повернемося до основної пропорції, де: «b = b₀» - початкова вартість; «m = 100» - відсотковий вміст початкової вартості; «a = a₁» - вартість після зниження; «n = x» - відсотковий вміст вартості після зниження. Отримаємо:

a₁ ∶ b₀ = /x/100

/75/100 ∙ 60b₀100 ∶ b₀ = /x/100

/75/100 ∙ 60b₀100 ∙ 1b₀ = /x/100

/75 ∙ 60/100 ∙ 100 = /x/100

x = /75 ∙ 60/100

x = 45

Виходить, що відсотковий вміст нової ціни буде «45 %», тому вартість була знижена на:

100 % - 45 % = 55 %

Відповідь: 55 %.

Маса міді в сплаві буде «х» і позначимо її через «а»; її (міді) відсотковий вміст є «40 %» позначимо як «n» («n = 40»); маса сплаву буде «2» (маса міді + маса олова) позначимо як «b» («b = 2»); його відсотковий вміст відповідно буде «100 %» і позначимо як «m» («m»). Знайдемо масу міді скориставшись загальною формулою пропорції:

/a/b = /n/m

Підставимо значення:

/x/2 = /40/100

Та знайдемо «х»:

x = /40 ∙ 2/100

x = 0,8

Знаючи масу міді («a = 0,8») та її кінцевий відсотковий вміст («n = 16») у сплаві ми можемо знайти кількість олова яку необхідно додати. Позначимо цю масу як «у». Тоді вся маса сплаву буде такою: «2 + у» і позначимо її через «b».

Отже, тепер наша пропорція буде такою:

/0,8/2 + y = /16/100

Отримали раціональне рівняння. Знайдемо «у».

16(2 + y) = 0,8 ∙ 100

32 + 16y = 80

16y = 80 - 32

16y = 48

y = /48/16

y = 3

Отже, нам необхідно додати «3» кілограми олова.

Відповідь: 3.