Для того щоб розв’язувати дані приклади варто ознайомитися з властивостями степеня та вивчити формули скороченого множення. Це можна зробити тут.

1. Обчислити: «(6³⁡⁡)⁵⁡⁡ ∙ 6⁴⁡⁡6¹⁸».

Враховуючи, що ми маємо однакові основи які між собою множаться/діляться (мається на увазі «6»), то ми можемо перейти відразу до обчислення виразу.

Для того щоб обчислити значення цього виразу ми спростимо його. Знаменник вже є спрощеним, тому залишилося спростити чисельник («(6³⁡⁡)⁵⁡⁡ ∙ 6⁴⁡⁡»).

Варто в першу чергу розібратися з виразом «(6³⁡⁡)⁵⁡⁡». Тут ми маємо число в степені яке піднімається до степеня, тобто маємо вираз «(aⁿ⁡⁡)^m⁡⁡» у таких випадках степені перемножаться. Тобто:

(aⁿ⁡⁡)^m ⁡⁡= a^{n · m}⁡⁡

Отже:

(6³⁡⁡)⁵ ⁡= 6^3∙5⁡⁡ = 6¹⁵⁡⁡

Тепер наший чисельник має вигляд: «6¹⁵⁡⁡ ∙ 6⁴⁡⁡». Оскільки, у нас є множення однакових чисел («aⁿ⁡⁡ ∙ a^m⁡⁡»), то їх степені мають додаватися:

aⁿ⁡⁡ ∙ a^m ⁡⁡= a^{n + m}⁡⁡

Отже:

6¹⁵⁡⁡ ∙ 6⁴⁡⁡ = 6¹⁵⁺⁴⁡⁡ = 6¹⁹⁡⁡

Чисельник ми спростили. Після чого наший вираз став виглядати так: «6¹⁹6¹⁸⁡⁡⁡⁡». Ми маємо ділення однакових чисел («aⁿa^m⁡⁡⁡⁡»), а у такому випадку нам необхідно виконати віднімання степенів (від чисельника віднімаємо знаменник):

aⁿa^m⁡⁡⁡⁡ = a^{n - m}⁡⁡

Отже:

6¹⁹⁡⁡6¹⁸⁡⁡ = 6^19-18⁡⁡ = 6¹⁡⁡

Оскільки, будь-яке число в першому степені є тим же числом («a¹ ⁡⁡= a»), то ми матимемо:

6¹ ⁡= 6

Відповідь: 6.

2. Обчислити: «9⁵⁡⁡ ∙ 4³27⁴⁡⁡ ∙ 2⁵⁡⁡».

Враховуючи, що ми маємо різні основи («2», «4», «9», «27»), то в першу чергу спробуємо звести наші вирази до однакових основ.

Наприклад, ми можемо записати «4» як «2²⁡⁡». Також можна записати «9» та «27» як «3» у якомусь степені, тобто: «9 = 3²⁡⁡», «27 = 3³⁡⁡».

Після чого наший вираз буде виглядати так:

9⁵⁡⁡ ∙ 4³27⁴⁡⁡ ∙ 2⁵⁡⁡ = (3²⁡⁡)⁵⁡⁡ ∙ (2²⁡⁡)³⁡⁡(3³⁡⁡)⁴⁡⁡ ∙ 2⁵⁡⁡

Спростимо наші вирази «(3²⁡⁡)⁵⁡⁡», «(2²⁡⁡)³⁡⁡», «(3³⁡⁡)⁴⁡⁡». Враховуючи, що ми маємо число в степені яке піднімається до степеня («(aⁿ⁡⁡)^m⁡⁡»), то це означає, що необхідно буде перемножити степені:

(aⁿ⁡⁡)^m ⁡⁡= a^{n · m}⁡⁡

Матимемо:

(3²⁡⁡)⁵⁡⁡ = 3^{2 ∙ 5}⁡⁡ = 3¹⁰⁡⁡

(2²⁡⁡)³⁡⁡ = 2^{2 ∙ 3}⁡⁡ = 2⁶⁡⁡

(3³⁡⁡)⁴⁡⁡ = 3^{3 ∙ 4}⁡⁡ = 3¹²⁡⁡

Тепер наший вираз виглядає так:

(3²⁡⁡)⁵⁡⁡ ∙ (2²⁡⁡)³⁡⁡(3³⁡⁡)⁴⁡⁡ ∙ 2⁵⁡⁡ = 3¹⁰⁡⁡ ∙ 2⁶⁡⁡3¹²⁡⁡ ∙ 2⁵

Тепер для нашої зручності ми можемо роз’єднати на окремі дроби в яких будуть однакові основи:

3¹⁰⁡⁡ ∙ 2⁶⁡⁡3¹²⁡⁡ ∙ 2⁵ = 3¹⁰⁡⁡3¹²⁡⁡ · 2⁶⁡⁡2⁵⁡⁡

Ми маємо ділення однакових чисел («aⁿa^m⁡⁡⁡⁡»), а у такому випадку нам необхідно виконати віднімання степенів (від чисельника віднімаємо знаменник):

aⁿa^m⁡⁡⁡⁡ = a^{n - m}⁡⁡

Отже:

3¹⁰⁡⁡3¹²⁡⁡ · 2⁶⁡⁡2⁵ =⁡⁡ 3^{10 - 12}⁡⁡ ∙ 2^{6 - 5}⁡⁡ = 3^-2⁡⁡ ∙ 2¹⁡⁡

Після чого скористаємося властивостями:

a^-n ⁡⁡= 1aⁿ

a¹⁡⁡ = a

Отримаємо:

3^-2⁡⁡ ∙ 2¹ ⁡⁡= 2¹3²⁡⁡ = /2/9

Відповідь: /2/9.

3. Обчислити: «4 ∙ 3³²⁡⁡ + 9 ∙ 3³⁰9¹⁶⁡⁡⁡⁡».

У чисельнику та знаменнику ми маємо число «9» напишемо його через «3» у якомусь степені:

9 = 3²⁡⁡

Після чого наший вираз буде виглядати так:

4 ∙ 3³² ⁡⁡+ 9 ∙ 3³⁰9¹⁶⁡⁡ = 4 ∙ 3³²⁡⁡ + 3² ∙ 3³⁰(3²)¹⁶⁡⁡

У чисельниках є множення однакових чисел («3²⁡⁡ ∙ 3³⁰⁡⁡»), то у такому випадку наші степені додаються:

aⁿ⁡⁡ ∙ a^m⁡⁡ = a^{n + m}⁡⁡

Отже:

3²⁡⁡ ∙ 3³⁰⁡⁡ = 3^{2 + 30}⁡⁡ = 3³²⁡⁡

А у знаменнику ми маємо число у степені до степеня («(3²⁡⁡)¹⁶⁡⁡») у такому випадку наші степені перемножуються:

(aⁿ⁡⁡)^m ⁡⁡= a^{n · m}⁡⁡

Отже:

(3²⁡⁡)¹⁶ ⁡⁡= 3^{2 ∙ 16}⁡⁡ = 3³²⁡⁡

Після чого наший вираз виглядатиме так:

4 ∙ 3³²⁡⁡ + 3² ∙ 3³⁰(3²)¹⁶⁡⁡ = 4 ∙ 3³²⁡⁡ + 3³²3³²⁡⁡⁡⁡

Як помітно в чисельнику є «3³²⁡⁡» який ми можемо винести за дужки. Отримаємо:

4 ∙ 3³²⁡⁡ + 3³²3³²⁡⁡ = 3³²(4⁡⁡ + 1)3³²⁡⁡ = 3³² · 53³²⁡⁡

Тепер ми можемо скоротити «3³²⁡⁡» у чисельнику та знаменнику:

3³² · 53³²⁡⁡ = 5

Відповідь: 5.

4. Знайти «(a - b)²⁡⁡», якщо «(a + b)²⁡⁡ = 36», «a²⁡⁡ - b²⁡⁡ = 24».

Нам необхідно знайти значення виразу «(a - b)²⁡⁡». Тут важливий момент, що нам не обов’язково знаходити значення «a» та «b».

Скористаємося формулою скороченого множення і у виразі «a²⁡⁡ - b²⁡⁡ = 24» розпишемо «a²⁡⁡ - b²⁡⁡».

a² ⁡⁡- b²⁡⁡ = (a - b)(a + b)

Матимемо:

(a - b)(a + b) = 24

Звідси знайдемо значення «a + b»:

a + b = /24/a - b

Тепер ми можемо підставити замість «a + b» вираз «/24/a - b» у «(a + b)²⁡⁡ = 36». Матимемо:

(/24/a - b)²⁡⁡ = 36

Скористаємося властивістю:

(/a/b)ⁿ⁡⁡ = aⁿbⁿ⁡⁡⁡⁡

Матимемо:

24²⁡⁡(a - b)²⁡⁡ = 36

576(a - b)²⁡⁡ = 36

Після чого ми можемо скористатися метеликом та знайти значення виразу «(a - b)²⁡⁡»:

576(a - b)²⁡⁡ = /36/1

36(a - b)²⁡ ⁡= 576

(a - b)²⁡⁡ = /576/36

(a - b)²⁡⁡ = 16

Відповідь: 16.

5. Якою цифрою закінчується вираз: «11⁶⁡⁡ + 14⁶⁡⁡ - 13 ³⁡⁡».

Враховуючи, що нам необхідно знайти лише останню цифру, тому нам необхідно буде лише перемножити останні цифри.

Оскільки, остання цифра числа «11» є «1», то ми будемо мати таке:

1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1

Отже, остання цифра числа «11⁶⁡⁡» буде «1».

Остання цифра числа «14» є «4», матимемо:

4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 16 ∙ 16 ∙ 16

Зауважимо, що не потрібно множити саме «16» на «16», а достатньо перемножити «6» на «6» (останні цифри), бо нам необхідно знати лише останню цифру результату. Матимемо:

6 ∙ 6 ∙ 6 = 36 ∙ 6

Аналогічно множимо останні цифри:

6 ∙ 6 = 36

Отже, остання цифра числа «14⁶⁡⁡» буде «6».

Знайдемо останню цифру числа «13³⁡⁡»:

3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 ∙ 3

7 ∙ 3 = 21

Отже, остання цифра числа «13³⁡⁡» буде «1».

Тепер нам необхідно порахувати значення яке вийде з останніми цифрами:

1 + 6 - 1 = 6

Останнім числом виразу буде «6».

Відповідь: 6.

6. Знайти значення виразу: «2²¹ ⁡⁡∙ 27³⁡⁡ + 15 ∙ 4¹⁰⁡ ⁡∙ 9⁴6⁹ ⁡⁡∙ 2¹⁰⁡⁡ + 12¹⁰⁡⁡».

В даній ситуації варто максимально спростити чисельник та знаменник. Для цього необхідно розкласти на множники вирази та подати їх з однаковими основами.

Наприклад, у чисельнику ми можемо: переписати «27» як «3» в степені; «15» розкласти на множники «3» та «5»; «4» переписати як «2» у степені; «9» переписати як «3» у степені. А у знаменнику ми можемо: «6» розкласти на множники «2» та «3»; «12» розкласти на множники як «3» та «4» при цьому «4» можна відразу переписати як «2» у степені. Отримаємо:

2²¹⁡⁡ ∙ 27³⁡⁡ + 15 ∙ 4¹⁰ ⁡⁡∙ 9⁴6⁹⁡⁡ ∙ 2¹⁰⁡⁡ + 12¹⁰⁡⁡ = 2²¹ ⁡⁡∙ (3³⁡⁡)³⁡⁡ + 3 ∙ 5 ∙ (2²⁡⁡)¹⁰⁡⁡ ∙ (3²⁡⁡)⁴⁡⁡(2 ∙ 3)⁹⁡⁡ ∙ 2¹⁰⁡⁡ + (3 ∙ 2²⁡⁡)¹⁰⁡⁡

Ми отримали вирази: «число у степені піднімається до степеня» та «множення декількох чисел результат яких піднімається до степеня». Тому можемо скористатися такими властивостями:

(aⁿ⁡⁡)^m ⁡⁡= a^{n · m}⁡⁡

(a ∙ b)ⁿ ⁡⁡= aⁿ⁡⁡ ∙ bⁿ⁡⁡

Отже, отримаємо:

2²¹ ⁡⁡∙ (3³⁡⁡)³⁡⁡ + 3 ∙ 5 ∙ (2²⁡⁡)¹⁰ ⁡⁡∙ (3²⁡⁡)⁴⁡⁡(2 ∙ 3)⁹⁡⁡ ∙ 2¹⁰⁡⁡ + (3 ∙ 2²⁡⁡)¹⁰⁡⁡ = 2²¹⁡⁡ ∙ 3⁹⁡⁡ + 3 ∙ 5 ∙ 2²⁰ ⁡⁡∙ 3⁸2⁹⁡⁡ ∙ 3⁹⁡ ⁡∙ 2¹⁰⁡⁡ + 3¹⁰⁡ ⁡∙ (2²⁡⁡)¹⁰⁡⁡

У чисельнику також маємо множення однакових чисел «3 ∙ 3⁸⁡⁡» у такому випадку користуємося властивістю:

aⁿ⁡⁡ ∙ a^m ⁡⁡= a^{n + m}⁡⁡

Також у знаменнику ще раз скористаємося попередніми формулами, отримаємо:

2²¹ ⁡⁡∙ 3⁹⁡⁡ + 3 ∙ 5 ∙ 2²⁰⁡⁡ ∙ 3⁸2⁹⁡⁡ ∙ 3⁹ ⁡⁡∙ 2¹⁰⁡⁡ + 3¹⁰ ⁡⁡∙ (2²⁡⁡)¹⁰⁡⁡ = 2²¹ ⁡⁡∙ 3⁹⁡⁡ + 5 ∙ 2²⁰⁡ ⁡∙ 3⁹2⁹⁡⁡ ∙ 3⁹ ⁡⁡∙ 2¹⁰⁡⁡ + 3¹⁰⁡⁡ ∙ 2²⁰⁡⁡⁡⁡

Як помітно у чисельнику та у знаменнику є однакові множники. Винесемо їх орієнтуючись по найменшому степені (тобто «3⁹⁡⁡» та «2¹⁹⁡⁡»):

2²¹⁡⁡ ∙ 3⁹⁡⁡ + 5 ∙ 2²⁰⁡ ⁡∙ 3⁹2⁹⁡⁡ ∙ 3⁹ ⁡⁡∙ 2¹⁰⁡⁡ + 3¹⁰⁡⁡ ∙ 2²⁰⁡⁡⁡⁡ = 2¹⁹ ⁡⁡∙ 3⁹⁡⁡(2²⁡⁡ + 5 ∙ 2)2¹⁹ ⁡⁡∙ 3⁹⁡⁡(1 + 3 ∙ 2) = 2¹⁹⁡⁡ ∙ 3⁹ ⁡⁡∙ 142¹⁹⁡⁡ ∙ 3⁹⁡⁡ ∙ 7

Тепер ми можемо скоротити «2¹⁹⁡⁡ ∙ 3⁹⁡⁡»:

2¹⁹⁡⁡ ∙ 3⁹ ⁡⁡∙ 142¹⁹ ⁡⁡∙ 3⁹⁡⁡ ∙ 7 = /14/7 = 2

Відповідь: 2.

7. Розкласти вираз на множники: «4(x - y)²⁡⁡ - 9y²⁡⁡».

В даному прикладі не варто розкривати дужки. Краще за все це записати «4» як «2» у степені та «9» як «3» у степені. Матимемо:

4 = 2²⁡⁡

9 = 3²⁡⁡

Тепер наший вираз виглядатиме так:

4(x - y)² ⁡⁡- 9y² ⁡⁡= 2²⁡⁡(x - y)²⁡ ⁡- 3²⁡⁡ y²⁡⁡

Як бачите ми маємо множення чисел з однаковими степенями («2²⁡⁡(x - y)²⁡⁡», «3²⁡⁡y²⁡⁡»). Ми можемо скористатися властивістю:

aⁿ⁡⁡ ∙ bⁿ⁡⁡ = (ab)ⁿ⁡⁡

Матимемо:

2²⁡⁡(x - y)²⁡⁡ - 3²⁡⁡y²⁡⁡ = (2(x - y))²⁡⁡ - (3y)²⁡⁡

Тепер можна скористатися формулою скороченого множення:

a² ⁡⁡- b² ⁡⁡= (a - b)(a + b)

Матимемо:

(2(x - y))² ⁡⁡- (3y)² ⁡⁡= (2(x - y) - 3y)(2(x - y) + 3y) = (2x - 2y - 3y)(2x - 2y + 3y) = (2x - 5y)(2x + y)

Відповідь: (2x - 5y)(2x + y).

8. Розкласти вираз на множники: «x³ ⁡⁡- 3x + 2».

В даному прикладі ми не можемо відразу скористатися будь-якою відомою формулою скороченого множення. Тому спробуємо їх створити в ручну. Наприклад, спробуємо розкласти «- 3х» на «- х – 2х». Тобто, отримаємо:

x³⁡⁡ - 3x + 2 = x³⁡⁡ - x - 2x + 2

Після чого ми можемо скористатися методом групування. Згрупуємо між собою перший-другий та третій-четвертий вираз (візьмемо їх у дужки між якими стоятиме знак «+». «+» стоїть бо нам не потрібно щоб знаки у дужках змінилися на протилежні):

x³ ⁡⁡- x - 2x + 2 = (x³⁡⁡ - x) + (-2x + 2)

Тепер з перших дужок ми можемо винести «х». Другі поки, що не зачіпаємо (щоб продемонструвати весь хід розв’язування):

(x³⁡⁡ - x) + (-2x + 2) = x(x²⁡⁡ - 1) + (-2x + 2)

Нам відомо, що «1» в будь-якому степені буде «1», тому ми можемо написати там «1²⁡⁡». Після чого отримаємо «x²⁡⁡ - 1²⁡⁡», помітно, що це є формула скороченого множення «a²⁡⁡ - b²⁡⁡». Скористаємося нею:

a² ⁡⁡- b²⁡⁡ = (a - b)(a + b)

x(x²⁡⁡ - 1²⁡⁡) + (-2x + 2) = x(x - 1)(x + 1) + (-2x + 2)

Ми максимально спростили перші дужки (розклали їх на множники). Тепер нам необхідно спростити другі дужки (розкласти на множники) так щоб вони мали хоча б один такий же самий множник як і у перших дужках. Спробуємо винести «2».

(-2x + 2) = 2(-x + 1)

Як помітно в дужках є однакові вирази (подібне до множнику «(х – 1)») але з протилежними знаками. Тому нам варто буде винести ще знак мінус («-»). При цьому не забуваємо змінити знаки у дужках на протилежні:

2(-x + 1) = -2(x - 1)

Отже, тепер наший вираз виглядає так:

x(x - 1)(x + 1) + (-2x + 2) = x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)

У нас з’явився однаковий множник «(х – 1)». Винесемо його за дужки:

x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = (x - 1)[x(x + 1) - 2]

Та розкриємо дужки «х(х + 1)»:

(x - 1)[x(x + 1) - 2] = (x - 1)[x²⁡⁡ + x - 2]

Відповідь: (x - 1)[x² ⁡⁡+ x - 2].