Поняття про arcsin (арксинус), arccos (арккосинус), arctg (арктангенс) і arcctg (арккотангенс) числа.

Відразу варто зауважити головний сенс у «arc… х». Ця функція перетворює число у радіальну (градусну міру). Вона просто запитує при яких радіанах (градусах) дана функція (тригонометрична функція) буде рівна числу «х».

Розглянемо все детально, але не варто це сильно завчати. В кінці виділимо необхідне. Також варто прочитати, що таке тригонометричні функції.

arcsin (арксинус) числа «а», де «|a| ≤ 1», називають таке число (кут) з проміжку, [-/π/2; /π/2] синус якого дорівнює «а».

Позначають арксинус числа «а» так: Отже будемо мати:

arcsin a = φ, тоді коли: 1) sin⁡ φ = a; 2) φ ∈ [-/π/2; /π/2]

Наприклад:

У випадках, коли є від’ємний кут, тоді будемо мати:

arcsin⁡ (-α) = - arcsin ⁡α

Наприклад:

arccos (арккосинус) числа «а», де «|a| ≤ 1», називають таке число (кут) з проміжку, [0; π] косинус якого дорівнює «а».

Позначають арккосинус числа «а» так: «arccos a». Отже будемо мати:

arccos a = φ, тоді коли: 1) cos⁡ φ = a; 2) φ ∈ [0; π]

Наприклад:

У випадках, коли є від’ємний кут, тоді будемо мати:

arccos⁡ (-α) = π - arccos ⁡α

Наприклад:

Якщо є сума арксинуса та арккосинуса однакового кута то їх результат буде «/π/2».

arcsin x + arccos x = /π/2

arctg (арктангенс) числа «а», називають таке число (кут) з проміжку, (-/π/2; /π/2) тангенс якого дорівнює «а».

Позначають арктангенс числа «а» так: «arctg a». Отже будемо мати:

arctg a = φ, тоді коли: 1) tg⁡ φ = a; 2) φ ∈ (-/π/2; /π/2)

Наприклад:

У випадках, коли є від’ємний кут, тоді будемо мати:

arctg (-α) = - arctg ⁡α

Наприклад:

arcctg (арккотангенс) числа «а», називають таке число (кут) з проміжку, (0; π) арккотангенс якого дорівнює «а».

Позначають арккотангенсом числа «а» так: «arcctg a». Отже будемо мати:

arcctg a = φ, тоді коли: 1) arcctg⁡ φ = a; 2) φ ∈ (0; π)

Наприклад:

У випадках, коли є від’ємний кут, тоді будемо мати:

arcctg⁡ (-α) = π - arcctg ⁡α

Наприклад:

«arcctg⁡ (-1) = π - arcctg ⁡1 = π - /π/4 = /3π/4» бо «π - arcctg⁡1 = /3π/4» і «/3π/4 ∈ (0; π)»

Якщо є сума арктангенса та арккотангенса однакового кута то їх результат буде «/π/2».

arctg x + arcctg x = /π/2

Отже. Після того як ми розібралися з «arc…» тригонометричних функцій залишилося зрозуміти навіщо він нам необхідний.

Для цього розглянемо графіки тригонометричних функцій.

sin x (зауважте, ця функція не виходить за межі [-1; 1]):

cos x (зауважте, ця функція не виходить за межі [-1; 1]):

tg x:

ctg x:

Коли ми маємо тригонометричне рівняння вигляду: «sin⁡ x = a», «cos ⁡x = a», «tg x = a», «ctg x = a». То це означає, що ми маємо горизонтальну пряму (вона є паралельною до осі «х») яка проходить через точку «а».

Наприклад, тригонометричне рівняння «sin x = a».

Отже, коли у нас є тригонометрична функція яка рівна якомусь числу, то такий запис називається «тригонометричним рівнянням».

Наприклад:

«sin x = 0», «cos x = /1/2», «tg x = 3», «ctg x = /√3/3 »

Розв’язати тригонометричне рівняння, означає «знайти усі точки перетину прямої та графіку тригонометричної функції».

На прикладі точки перетину функції «sin x» та прямої «a» виділені червоним кольором.

Оскільки, кожна з функцій є безмежна та періодична та пряма «а» є безмежною, то таких точок буде безліч. Щоб не перераховувати кожну з цих точок є виведені спеціальні формули де застосовується «arc…».

Тригонометричне рівняння, типу «sin x = a».

Відразу зауважимо, що у випадках, коли «a < -1» або «a > 1», то рівняння розв’язків не має.

Є три варіанти стандартного розв’язання такого рівняння.

Якщо, «sin x = -1» (а = -1), то розв'язок буде таким:

x = -/π/2 + 2πn, n ∈ Z

Якщо, «sin x = 0» (а = 0), то розв'язок буде таким:

x = πn, n ∈ Z

Якщо, «sin x = 1» (а = 1), то розв'язок буде таким:

x = /π/2 + 2πn, n ∈ Z

У випадках, коли «0 < a < 1», будемо мати такий розв’язок:

x = (-1)ⁿ arcsin ⁡a + πn, n ∈ Z

У випадках, коли «-1 < a < 0», будемо мати такий розв’язок:

x = (-1)^{n + 1} arcsin |⁡a| + πn, n ∈ Z

Наприклад:

Тригонометричне рівняння, типу «cos x = a».

Відразу зауважимо, що у випадках, коли «a < -1» або «a > 1», то рівняння розв’язків не має.

Є три варіанти стандартного розв’язання такого рівняння.

Якщо, «cos x = -1» (а = -1), то розв'язок буде таким:

x = π + 2πn, n ∈ Z

Якщо, «cos x = 0» (а = 0), то розв'язок буде таким:

x = /π/2 + πn, n ∈ Z

Якщо, «cos x = 1» (а = 1), то розв'язок буде таким:

x = 2πn, n ∈ Z

У випадках, коли «0 < a < 1», будемо мати такий розв’язок:

x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z

У випадках, коли «-1 < a < 0», будемо мати такий розв’язок:

x = ±(π - arccos⁡ |a|) + 2πn, n ∈ Z

Наприклад:

Тригонометричне рівняння, типу «tg x = a».

Якщо, «tg x = 0» (а = 0), то розв'язок буде таким:

x = πn, n ∈ Z

У випадках, коли «a > 0» будемо мати:

x = arctg a + πn, n ∈ Z

У випадках, коли «a < 0» будемо мати:

x = -arctg |a| + πn, n ∈ Z

Наприклад:

Тригонометричне рівняння, типу «ctg x = a».

Якщо, «ctg x = 0» (а = 0), то розв'язок буде таким:

x = /π/2 + πn, n ∈ Z

У випадках, коли «a > 0» будемо мати:

x = arcctg a + πn, n ∈ Z

У випадках, коли «a < 0» будемо мати:

x = π - arcctg |a| + πn, n ∈ Z

Часто доводиться зустрічати приклади, коли «х» є не сам. Тобто може бути такий вигляд: «sin(ax + b)», «cos(ax + b)», «tg(ax + b)», «ctg(ax + b)». В таких випадках «ax + b» вважають одним цілим і просто записують замість «х» як в попередніх прикладах. Після чого необхідно знайти «х».

Варто зауважити. У випадках коли до «х» щось додається або віднімається, то при перенесені в протилежну сторону (коли шукаємо «х») не потрібно нічого додавати/віднімати.

Наприклад: 2sin⁡(/x/4 - /π/3) - √3 = 0

Приклад: tg (/π/4 - /x/2) = -1