Для того щоб успішно розв’язувати практичні завдання вам варто ознайомитися з теоретичним матеріалом. Це можна зробити тут.

1. x - 2 = -2

Оскільки змінна «х» знаходиться лише під коренем, то ми маємо рівняння вигляду: «n/f(x) = a». Корінь є парного степеня (степінь «2»), то в такому випадку він (корінь) має дорівнювати додатному число. Але, оскільки наший корінь дорівнює від’ємному числу, то такий приклад розв’язків не має.

Відповідь: ∅.

2. x + 6 = 2

Змінна «х» знаходиться лише під коренем. Тому, ми маємо рівняння такого вигляду: «n/f(x) = a». Корінь є парного степеня (степінь «2») і корінь дорівнює додатному числу, тому розв’язати таке рівняння зможемо так:

f(x) = aⁿ

Отже:

x + 6 = 2²

x + 6 = 4

x = 4 - 6

x = -2

Відповідь: -2.

3. 5/-2x = -2

Змінна «х» знаходиться лише під коренем. Тому, ми маємо рівняння такого вигляду: «n/f(x) = a». Корінь є не парного степеня (степінь «5»), то такий приклад буде мати розв’язки завжди. Знайдемо розв’язки рівняння так:

f(x) = aⁿ

Отже:

-2x = (-2)⁵

-2x = -32

x = /-32/-2

x = 16

Відповідь: 16.

4. x² - 8x + 16 = 1

Змінна «х» знаходиться лише під коренем. Тому, ми маємо рівняння такого вигляду: «n/f(x) = a». Корінь є парного степеня (степінь «2») і корінь дорівнює додатному числу, тому розв’язати таке рівняння зможемо так:

f(x) = aⁿ

Отже:

x² - 8x + 16 = 1²

x² - 8x + 16 = 1

x² - 8x + 16 - 1 = 0

x² - 8x + 15 = 0

D = (-8)² - 4∙1∙15 = 64 - 60 = 4

x₁ = /-(-8) + √4/2 ∙ 1 = /8 + 2/2 = 5

x₂ = /-(-8) - √4/2 ∙ 1 = /8 - 2/2 = 3

Відповідь: 3; 5.

5. x²-2x = 3

Змінна «х» знаходиться лише під коренем. Тому, ми маємо рівняння такого вигляду: «n/f(x) = a». Корінь є парного степеня (степінь «2») і корінь дорівнює додатному числу, тому розв’язати таке рівняння зможемо так:

f(x) = aⁿ

Отже:

x² - 2x = (√3)²

x² - 2x = 3

x² - 2x - 3 = 0

D = (-2)² - 4∙1∙(-3) = 4 + 12 = 16

x₁ = /-(-2) + √16/2 ∙ 1 = /2 + 4/2 = 3

x₂ = /-(-2) - √16/2 ∙ 1 = /2 - 4/2 = -1

Відповідь: -1; 3.

6. 3 - x · 2 - x = √2

Наший приклад має два окремі корені парного степеня. Тому, коли ми знайдемо розв’язки даного рівняння, то необхідно перевірити чи наші підкореневі вирази стануть від’ємними.

Оскільки корені є однакового степеня та множаться між собою, то ми можемо зробити з них один степінь за правилом:

n/a ∙ n/b = n/ab

Отже, будемо мати:

(3 - x)(2 - x)= √2

Тепер ми маємо рівняння вигляду: «n/f(x) = a». Розв’язати його можна так:

f(x) = aⁿ

Отримаємо:

(3 - x)(2 - x) = (√2)²

(3 - x)(2 - x) = 2

6 - 2x - 3x + x² = 2

x² - 5x + 6 - 2 = 0

x² - 5x + 4 = 0

D = (-5)² - 4∙1∙4 = 25 - 16 = 9

x₁ = /-(-5) + √9/2 ∙ 1 = /5 + 3/2 = 4

x₂ = /-(-5) - √9/2 ∙ 1 = /5 - 3/2 = 1

Підставимо наші розв’язки замість «х» у підкореневі вирази «3 - х», «2 - х».

При «х = 4»: «3 – х = 3 – 4 = -1» - результат від’ємний, тому розв’язок «х = 4» нам не підходить.

При «х = 1»: «3 – х = 3 – 1 = 2»; «2 – х = 2 – 1 = 1» - обидва результати додатні, тому розв’язок «х = 1» підходить.

Відповідь: 1.

7. x² + 2x + 10 = 2x - 1

Оскільки, змінна «х» є як під коренем так і за його межами, то це рівняння є вигляду: «n/f(x) = g(x)». Такі приклади доводиться розв’язувати. Але оскільки ми маємо корінь парного степеня (степінь «2»), то це означає, що в кінці необхідно буде перевірити розв’язки підставивши у вираз, що є за межами кореня «2х - 1». І залишити лише ті розв’язки при яких результат після підстановки вийде додатним або рівним нулеві.

Такий вид прикладів розв’язуємо так:

f(x) = [g(x)]ⁿ

Матимемо:

x² + 2x + 10 = (2x - 1)²

x² + 2x + 10 = 4x² - 4x + 1

4x² - 4x + 1 - x² - 2x - 10 = 0

3x² - 6x - 9 = 0 |∶3

x² - 2x - 3 = 0

D = (-2)² - 4∙1∙(-3) = 4 + 12 = 16

x₁ = /-(-2) + √16/2 ∙ 1 = /2 + 4/2 = 3

x₂ = /-(-2) - √16/2 ∙ 1 = /2 - 4/2 = -1

Залишається підставити отримані розв’язки замість «х» у «2х – 1» та залишити лише ті при яких результат вийде додатним або рівним нулеві.

При «х = 3»: «2 · 3 – 1 = 5» - результат додатний, тому розв’язок «х = 3» підходить.

При «х = -1»: «2 · (-1) – 1 = -3» - результат від’ємний, тому розв’язок «х = -1» не підходить.

Відповідь: 3.

8. x - 5√x + 4 = 0

В даному прикладі ми маємо змінну «х» як під коренем так і за його межами. Тому це є тип прикладів: «n/f(x) = g(x)». Але необхідно його ще звести до стандартного вигляду. Для цього достатньо розділити корінь та все інше по різних частинах. Перенесемо корінь в іншу частину. Одночасно позбудимося знаку мінус («-») біля кореня.

x + 4 = 5√x

Дуже добре було б позбутися ще «5» біля кореня поділивши на нього або занести його під знак кореня, але це не обов’язково. Достатньо щоб корінь був додатним. Тепер ми маємо розв’язати отримане рівняння таким чином:

f(x) = [g(x)]ⁿ

Важливо! Якщо ми не забрали число, що стоїть біля кореня (множиться або ділить корінь), то його також необхідно піднести до степеня!

Оскільки корінь є парного степеня, то після того як знайдемо розв’язки їх необхідно підставити у вираз якому дорівнює корінь «х + 4» і відкинути ті при яких цей вираз вийде від’ємним.

Будемо мати:

(x + 4)² = (5√x)²

(x + 4)² = 5²(√x)²

(x + 4)² = 5²x

x² + 8x + 16 = 25x

x² + 8x + 16 - 25x = 0

x² - 17x + 16 = 0

D = (-17)² - 4∙1∙16 = 289 - 64 = 225

x₁ = /-(-17) + √225/2 ∙ 1 = /17 + 15/2 = 16

x₂ = /-(-17) - √225/2 ∙ 1 = /17 - 15/2 = 1

Підставимо розв’язки замість «х» у «х + 4» щоб перевірити чи вони нам підходять.

При «х = 16»: «16 + 4 = 20» - результат додатний, тому «16» розв’язок початкового рівняння.

При «х = 1»: «1 + 4 = 1» - результат додатний, тому «1» розв’язок початкового рівняння.

Відповідь: 1; 16.

9. 5 + x - x + 7 = 0

Оскільки ми маємо лише два корені під якими є змінна «х» і не має додавання чи віднімання за межами коренів, то це є тип прикладу «n/f(x) = n/g(x)». Щоб переконатися в цьому остаточно перенесемо один з коренів у протилежну сторону. При перенесенні не забуваємо змінити знак, що знаходиться перед коренем на протилежний. Будемо мати:

5 + x = x + 7

Такий тип прикладу можна розв’язати так:

f(x) = g(x)

Але оскільки корінь є парного степеня, то в кінці необхідно виконати перевірку підставивши замість «х» розв’язки рівняння у вирази «5 + х» та «х + 7».

Отже, будемо мати:

5 + x = x + 7

x - x = 7 - 5

0 = 2

Оскільки «х» зник і рівняння залишилося не правильним, то це означає, що рівняння розв’язків не має: «x ∈ ∅».

Відповідь: ∅.

10. x² - 5x + 1 = x - 4

Оскільки ми маємо лише два корені під якими є змінна «х» і не має додавання чи віднімання за межами коренів, то це є тип прикладу «n/f(x) = n/g(x)». Такий тип прикладу можна розв’язати так:

f(x) = g(x)

Але оскільки корінь є парного степеня, то в кінці необхідно виконати перевірку підставивши замість «х» розв’язки рівняння у вирази «x² - 5x + 1» та «x - 4».

x² - 5x + 1 = x - 4

x² - 5x + 1 - x + 4 = 0

x² - 6x + 5 = 0

D = (-6)² - 4∙1∙5 = 36 - 20 = 16

x₁ = /-(-6) + √16/2 ∙ 1 = /6 + 4/2 = 5

x₂ = /-(-6) - √16/2 ∙ 1 = /6 - 4/2 = 1

Перевіримо наші розв’язки.

При «х = 1»: підставимо у «х – 4»: «1 – 4 = -3» число вийшло від’ємним, тому розв’язок не підходить.

При «х = 5»: підставимо у «х – 4»: «5 – 4 = 1» число вийшло додатним, тому розв’язок підходить. Підставимо у «x² - 5x + 1»: «5² - 5∙5 + 1 = 1» число вийшло додатним, тому розв’язок підходить.

Відповідь: 5.

11. x + 5 - √x = 1

Змінна «х» знаходиться лише під коренем але оскільки за межами коренів знаходяться ще числа, то це є складні тригонометричні рівняння. Оскільки корені є одного степеня, то такі приклади розв’язуються методом підняття обох частин рівняння до такого ж степеня як і корінь. Для зручності розділимо корені по окремих частинах. Тобто, перенесемо один з коренів в іншу сторону. Цей момент є важливим тим, що у нас не має знаку «-», тому жодна зі сторін не стане від’ємною і виконувати перевірку буде не обов’язково хоча, і бажано.

x + 5 = √x + 1

Піднімемо праву та ліву частину до квадрату (бо степінь кореня «2»).

(x + 5)² = (√x + 1)²

Розв’яжемо отриманий вираз:

x + 5 = (√x)² + 2√x + 1

x + 5 = x + 2√x + 1

У нас залишився лише один корінь. Це стандартна ситуація. Якщо залишили два корені з однієї сторони, то отримали б корінь помножений на корінь. Після, чого їх можна було б занести під один корінь.

Зараз є ситуація, коли є корінь та щось за межами кореня. Розділимо корінь від всього іншого.

x + 5 - x - 1 = 2√x

4 = 2√x

√x = /4/2

√x = 2

Виконавши всі дії для спрощення, отримали, що корінь рівний числу. Тобто, рівняння вигляду: «n/f(x) = a». Оскільки, корінь є парним, а число додатним, то ми будемо мати розв’язки. Знайдемо їх так:

f(x) = aⁿ

Отже:

x = 2²

x = 4

Щоб переконатися чи розв’язок підходить можна підставити його у початкове рівняння замість «х».

При «х = 4» буде: «х + 5 = 4 + 5 = 9», «х = 4» - обидва числа є додатними, тому розв’язок підходить.

Відповідь: 4.

12. x - 1 + 3x - 1= x + 1

Ми маємо змінну «х» під коренем. Всі корені мають однаковий степінь. Отже, таке рівняння розв’язується підняттям обох частин до степеня в якому є корінь.

Будемо мати:

(x - 1 + 3x - 1)² = (x + 1)²

(x - 1)² + 2x - 13x - 1 + (3x - 1)² = (x + 1)²

x - 1 + 2x - 1 · 3x - 1 + 3x - 1 = x + 1

2x - 13x - 1 + 4x - 2 = x + 1

Розділимо корінь і все, що є за його межами:

2x - 1 · 3x - 1 = x + 1 - 4x + 2

2x - 1 · 3x - 1 = 3 - 3x

2x - 1 · 3x - 1 = (3 - 3x)

Піднімемо обидві частини до квадрату:

(2x - 1 · 3x - 1)² = (3 - 3x)²

2²(x - 1)(3x - 1) = 9 - 18x + 9x²

12x² - 16x + 4 = 9 - 18x + 9x²

12x² - 16x + 4 - 9 + 18x - 9x² = 0

3x² + 2x - 5 = 0

D = 2² - 4∙3∙(-5) = 4 + 60 = 64

x₁ = /-2 + √64/2 ∙ 3 = /-2 + 8/6 = 1

x₂ = /-2 - √64/2 ∙ 3 = /-2 - 8/6 = -1/2/3

Для перевірки підставимо наші розв’язки замість «х» у кожен з під кореневих виразів.

При «х = 1»: «х – 1 = 1 – 1 = 0», «3х – 1 = 3·1 – 1 = 2», «х + 1 = 1 + 1 = 2» - усі числа додатні або рівні нулеві, тому розв’язок підходить.

При «х = -1/2/3»: «х – 1 = -1/2/3 – 1 = -2/2/3» - число від’ємне тому розв’язок не підходить.

Відповідь: 1.

13. 23/x + 1 - 6/x + 1 = 6

Змінна «х» є лише під коренем. Але ці корені є в різних степенях. Такі приклади частіше за все розв’язуються замінною змінної. Щоб вирішити такий приклад необхідно звести корені до одного степеня. Зведемо «3/x + 1» до «6» степеня. Для цього скористаємося властивістю:

a = (n/a)ⁿ

Отримаємо:

3/x + 1 = (3/x + 1)² = (6/x + 1)²

Тепер наший приклад виглядає так:

2(6/x + 1)² - 6/x + 1 = 6

2(6/x + 1)² - 6/x + 1 - 6 = 0

Виконаємо замінну змінної:

6/x + 1 = t

Після чого наший приклад виглядає так:

2t² - t - 6 = 0

D = (-1)² - 4∙2∙(-6) = 1 + 48 = 49

t₁ = /-(-1) + √49/2 ∙ 2 = /1 + 7/4 = 2

t₂ = /-(-1) - √49/2 ∙ 2 = /1 - 7/4 = -/3/2

Повернемося до заміни змінної «6/x + 1 = t» та розв’яжемо рівняння відносно неї.

При «t = 2»:

6/x + 1 = 2

Це є рівняння вигляду: «n/f(x) = a». Оскільки степінь парний та число додатне, то ми можемо розв’язати даний приклад таким методом:

f(x) = aⁿ

Будемо мати:

x + 1 = 2⁵

x + 1 = 64

x = 64 - 1

x = 63

При «t = -/3/2»:

6/x + 1 = -/3/2

Це є рівняння вигляду: «n/f(x) = a». Оскільки степінь парний, а число від’ємне, то таке рівняння розв’язків не має.

Відповідь: 63.