Рівняння називають ірраціональним, якщо воно містить невідомі під знаком кореня.

Розглянемо деякі види ірраціональних рівнянь та методи їх розв’язання.

Відразу зауважимо, що для всіх варіантів розглядаємо «n ≥ 2», «n» - натуральне число. «f(x)», «g(x)» - функції зі змінною «х». Також для простоти розглядатимемо схеми розв’язання у вигляді таблиці.

Рівняння вигляду: «n/f(x) = a»; де "a" – число

n/f(x) = a
n - парне		n - непарне
a ≥ 0	a < 0	f(x) = an
{f(x)= anf(x) ≥ 0	Рівняння розв’язків не має

Приклад:

Оскільки є корінь квадратний (тобто «n = 2», n – парне), то це означає, що «x + 5 ≥ 0» (корінь парного степеня завжди є більшим або рівним нулю). А в нашому випадку корінь є рівний від’ємному числу «-4» (числу яке є меншим за нуль). Звідси слідує, що рівняння не має коренів.

Приклад:

Оскільки є корінь квадратний (тобто «n = 2», n – парне), то це означає, що «x - 4 ≥ 0» (корінь парного степеня завжди є більшим або рівним нулю). А в нашому випадку корінь є рівний додатному числу «5» (числу яке є більшим за нуль). Звідси слідує, що рівняння має корені.

Отже, необхідно підняти ліву та праву частину до квадрату (тому, що корінь квадратний).

Розв’язок можна записати у вигляді системи:

Перший вираз у системі є нерівністю. Вона необхідна для того щоб виключити можливі зайві розв’язки. Оскільки при розв’язанні рівняння може вийти корінь (розв’язок) при якому підкореневий вираз стане меншим нуля.

Приклад:

3/x - 3 = -3

Оскільки є корінь кубічний («n = 3», «n» - не парне), то це означає, що рівність матиме розв’язки не залежно від правої частини (не має значення додатній чи від’ємний вираз стоїть справа). Отже просто піднімаємо ліву та праву частину до третього степеня.

(3/x - 3)³ = (-3)³

x - 3 = -27

x = -27 + 3

x = -24

Рівняння вигляду: «n/f(x) = g(x)»

n/f(x) = g(x)
n - парне	n - непарне
{f(x) = [g(x)]ng(x) ≥ 0f(x) ≥ 0	f(x) = [g(x)]n

Приклад:

x + 5 = x - 1

Оскільки є корінь квадратний (тобто «n = 2», n – парне), то це означає, що «x + 5 ≥ 0» (корінь парного степеня завжди є більшим або рівним нулю). Звідси слідує, що підкореневий вираз права частина рівняння та має бути має бути більшою або рівною нулеві, тобто «x + 5 ≥ 0», «x - 1 ≥ 0». Якщо корінь є не парного степеня, то ці умови є не обов’язковими.

{x + 5 ≥ 0x - 1 ≥ 0(x + 5)² = (x - 1)²

{x ≥ -5x ≥ 1(x + 5)² = (x - 1)²

З «x ≥ -5» та «x ≥ 1» знаходимо, що «x ≥ 1». Обираємо спільне для обох нерівностей. Детальніше можете прочитати тут. Це необхідно зробити щоб перевірити знайдені розв’язки. В такий спосіб шукаємо область визначення. Область визначення – це множина всіх дійсних значень «х», при яких водночас мають зміст вирази, що входять до рівняння.

Тепер необхідно розв’язати рівняння, та знайти «х».

(x + 5)² = (x - 1)²

Піднявши ліву та праву частину рівняння до квадрату отримаємо:

x + 5 = x² - 2x + 1

Скористаємося тим, що помінявши частини рівняння місцями нічого не зміниться (тобто, якщо написати повністю праву частину рівняння ліворуч, а ліву праворуч, то отримаємо таке ж саме рівняння).

x² - 2x + 1 = x + 5

Переносимо все в ліву частину (варто не забувати, що при перенесені з однієї частини в іншу знаки «+» та «-» змінюються на протилежні. В попередньому кроці ми не змінювали знаки оскільки повністю переносили частини рівняння). Отримаємо:

x² - 2x + 1 - x - 5 = 0

Виконавши дії додавання та віднімання (пам’ятаємо, що числа з «х²» додаються лише до чисел з «х²», з «х» до «х» та «без х» до чисел «без х»):

x² - 3x - 4 = 0

Це є квадратне рівняння. Детальніше як його розв’язувати можна прочитати тут. А зараз будуть виконані головні кроки:

D = b² - 4ac

D = (-3)² - 4 · 1 · (-4) = 9 + 16 = 25;

x_1,2 = /-b ± √D/2a

x₁ = /-(-3) + √25/2·1 = 4

x₂ = /-(-3) - √25/2·1 = -1

Оскільки «х₂ = -1» не задовольняє умову «x ≥ 1», то це не є коренем (розв’язком) рівняння. Отже, відповідь: «х = 4» корінь (розв’язок) рівняння.

Рівняння вигляду: «n/f(x) = n/g(x)»

n/f(x) = n/g(x)
n - парне	n - непарне
{/f(x) = g(x)/f(x) ≥ 0/g(x) ≥ 0	f(x) = g(x)

Приклад:

x² + 3x = 4x + 2

Оскільки показник кореня є парне число, то таке рівняння розв’язується системою. Напишемо її, для зручності взявши праву частину більшою або рівною нулеві (оскільки там лінійне рівняння). Отримаємо:

{ x² + 3x = 4x + 24x + 2 ≥ 0x² + 3x ≥ 0

Піднімемо в рівнянні обидві частини до квадрату (оскільки показник кореня є 2). А у нерівності виразимо «х».

{( x² + 3x )² = (4x + 2)²x ≥ -/1/2x ≥ 0; x ≥ -3

З «x ≥ -/1/2», «x ≥ 0» та «x ≥ -3» будемо мати, що «x ≥ 0. Детальніше можете прочитати тут.

{x² + 3x = 4x + 2x ≥ 0

{x² + 3x - 4x - 2 = 0x ≥ 0

{x² - x - 2 = 0x ≥ 0

Отримали квадратне рівняння. Розв’яжемо його.

x² - x - 2 = 0

D = (-1)² - 4 · 1 · (-2) = 9

x₁ = /-(-1) + √9/2 · 1 = 2

x₂ = /-(-1) - √9/2 · 1 = -1

Врахувавши умову «x ≥ 0» отримаємо, що «х₂ = -1» не є коренем (розв’язком) рівняння. Тому коренем (розв’язком) рівняння є лише «х₁ = 2».

Ірраціональні рівняння, що містять декілька квадратних коренів. Рівняння вигляду: «f(x) ± g(x) = a»; «f(x) ± g(x) = h(x)»; та подібні.

Такі рівняння варто розпочинати з визначення ОДЗ. Після чого можна скористатися одним із двох запропонованих способів.

Приклад:

5x + 5 + 2x + 1 = 3x + 4

Знайдемо ОДЗ. Напишемо це у вигляді системи нерівностей:

{/5x + 5 ≥ 0/2x + 1 ≥ 0/3x + 4 ≥ 0

{x ≥ -1x ≥ -/1/2x ≥ -/4/3

З відси отримаємо, що «x ≥ -/1/2».

Оскільки обидві частини рівняння є невід’ємними, то можна скористатися двома варіантами, що розглядали раніше. Тобто можна піднімати до степеня відразу ліву та праву частину або можна один радикал з лівої частини перенести в праву і після цього підняти степеня. Розглянемо обидва варіанти.

Розглянемо перший варіант. Піднімемо обидві частини одночасно:

(5x + 5 + 2x + 1)² = (3x + 4)²

5x + 5 + 25x + 52x + 1 + 2x + 1 = 3x + 4

25x + 52x + 1 = -4x - 2

5x + 52x + 1 = -(2x - 1)

(5x + 52x + 1)² = (-(2x - 1))²

(5x + 5)(2x + 1) = (-1)²(2x - 1)²

10x² + 15x + 5 = 4x² + 4x + 1

10x² + 15x + 5 - 4x² - 4x - 1 = 0

6x² + 11x + 4 = 0

Отже отримали квадратне рівняння. Розв’яжемо його.

D = (11)² - 4 · 4 · 6 = 121 - 96 = 25

x₁ = /-11 + √25/2 · 6 = /-11 + 5/12 = -/1/2 = -0,5;

x₂ = /-11 - √25/2 · 6 = /-11 - 5/12 = -/4/3;

Під ОДЗ підходить лише «х = -/1/2 = -0,5». Підставимо цей розв’язок у початкове рівняння для перевірки.

5 · (-0,5) + 5 + 2 · (-0,5) + 1 = 3 · (-0,5) + 4

√2,5 + √0 = √2,5

√2,5 = √2,5

Ліва та права частини рівняння однакові. Отже «х = -/1/2 = -0,5» є розв’язком початкового рівняння.

Спробуємо розв'язати рівняння другим способом. Для цього перенесемо радикал «2x + 1» у праву частину рівняння (не забуваємо при цьому змінити його знак на протилежний).

5x + 5 = 3x + 4 - 2x + 1

Тепер є два варіанти розв’язання цього рівняння.

Перший, подібний до того, що вже робили. Тобто підняти обидві частини рівняння до квадрату. Відділити корінь від решти і знову підняти до квадрату. Після чого знайти зміну. Оскільки цей спосіб надзвичайно подібний до того, що вже зробили, то його розглядати не будемо.

Але розглянемо інший варіант. Оскільки ліва частина невід’ємна, тому невід’ємною має бути і права частина. Отже, рівняння рівносильне системі:

{ 5x + 5 = 3x + 4 - 2x + 1 3x + 4 - 2x + 1 ≥ 0 5x + 5 ≥ 0

{ (5x + 5)² = (3x + 4 - 2x + 1)² (3x + 4)² ≥ (2x + 1)² (5x + 5)² ≥ 0

{ 5x + 5 = 3x + 4 - 23x + 42x + 1 + 2x + 1 3x + 4 ≥ 2x + 1 5x + 5 ≥ 0

{ 23x + 42x + 1 = 3x + 4 - 5x - 5 + 2x + 1 3x - 2x ≥ 1 - 4 5x ≥ -5

{ 23x + 42x + 1 = 0 x ≥ -3 x ≥ -1

Отримали, що «x ≥ -3» та «x ≥ -1». Отже, будемо мати «x ≥ -1». Тепер розв'яжемо рівняння «23x + 42x + 1 = 0». Розділимо його на два рівняння «3x + 4 = 0» та «2x + 1 = 0».

{ [/3x + 4 = 0/2x + 1 = 0 x ≥ -1

{ [x = - 4/3x = - 1/2 x ≥ -1

Отже отримавши два розв’язки і перевіривши їх з ОДЗ бачимо, що лише «х = -/1/2» задовольняє умову «x ≥ -1». Відповідно є лише один розв’язок цього рівняння.

Заміна змінних у ірраціональному рівнянні

Деякі ірраціональні рівняння зручно розв’язувати, використовуючи заміну змінної «n/f(x) = t». При цьому необхідно пам’ятати, що при «n – парне» нова змінна «t» має задовольняти умову «t ≥ 0».

Приклад:

83 - x - 3 - x = 2

Як помітно в рівнянні є «3 - x» для простоти розв’язання можна цей радикал замінити на нову змінну «t». Використовуючи спосіб заміни варто пам’ятати, що стара змінна має повністю зникнути після заміни. Також у випадку парного показника кореня варто дотримуватися того, що нова змінна має бути більшою або рівною за нуль. В нашому випадку лише більшою оскільки радикал знаходиться в знаменнику, отже «3 - x = t», «t > 0».

/8/t - t = 2

Зведемо ліву частину до спільного знаменника:

8 - t²t = 2

Помножимо навхрест (спосіб метелика) ліву та праву частину:

8 - t² = 2t

Перенесемо все в одну частину (в ліву та помножимо на «-1» або в праву та поміняємо частини місцями), при цьому не забуваємо, що при перенесенні знаки «+», «-» змінюються на протилежні:

t² + 2t - 8 = 0

Отже отримали квадратне рівняння. Як такі рівняння розв’язувати можна ознайомитися тут. Ми ж просто напишемо корені цього рівняння:

t₁ = 2; t₂ = -4

Враховуючи, що «t > 0» маємо лише один розв’язок «t = 2». Тепер необхідно повернутися до заміни.

3 - x = 2

Після повернення до заміни отримали вигляд рівняння яке розглядалося раніше.

(3 - x)² = 2²

3 - x = 4

x = -1