Рівняння, що містять змінну під знаком модуля
Рівняння виду де – функція (вираз) з однією змінною, – число.
Рівняння такого вигляду є найпростішими.
Ось декілька прикладів для зразку:
У таких прикладів є три варіанти розв’язків. Всі вони залежать від числа яке стоїть справа (від числа Тому в першу чергу потрібно зробити щоб з ліва стояла функція модуля сама та з додатнім знаком! Також можна зауважити, що число може бути теж під модулем. В такому випадку модуль варто розкрити за такою схемою:
Наприклад:
Це варто запам’ятати. Оскільки за такою ж схемою будуть розкриватися і функції!
Також варто зауважити, якщо під знаком модуля є однакові функції, то з ними можна виконувати такі ж дії немов це звичайна змінна.
Наприклад:
4|x| - |x| = 9; - тут під знаком модуля однакові функції
3|x| = 9
|x| = 9:3 = 3; – ось такий має бути вигляд
Якщо ж функції під модулем є різними, то їх не можна додавати або віднімати.
4|x| - |x - 1| = 9; – тут віднімати не можна бо функції під модулем різні (та і це приклад зі 4 схеми).
Отже, після того як рівняння було зведене до такої схеми є три варіанти розв’язання.
1. Якщо то або
У цьому випадку отримуємо два не залежних варіанти з яких і шукаємо розв’язки цього рівняння.
|x – 1| = 7
x – 1 = 7 або
Також є інший спосіб запису
Тобто знак модуля забирається а число яке стояло справа пишеться один раз зі знаком а другий раз зі знаком
Розв’яжемо ці рівняння та отримаємо результат:
Кількість розв’язків залежить від самих рівнянь.
2. Якщо то
У цьому випадку отримуємо лише одне рівняння в якому функція, що була під знаком модуля рівна нулю.
|2x – 1| = 0
2x – 1 = 0
2x = 1
x = /1/2
3. Якщо то рівняння не має розв’язків
У цьому випадку все дуже просто. Модуль завжди має бути рівний або нулю або додатному числу (розглядаємо варіанти рівняння Тому, якщо це не так, то розв’язків у рівняння не має.
|4x + 5| = -9
Розв’язків не має.
Рівняння виду
Оскільки ліва частина рівняння є невід’ємною, то й права повинна бути невід’ємною. Тобто В цьому випадку повторюється ситуація як в попередньому варіанті. Буде два незалежних варіанти.
або але варто зауважити, що в обох варіантах
Це можна записати такою схемою:
{ [/f(x) = g(x)/f(x) = -g(x) g(x) ≥ 0
Тут важливу роль грає перевірка. Тому після того як знайдений розв’язок потрібно перевірити чи він входить у допустиму область (чи вираз при цьому значенні буде більший або рівний нулю).
Розв’яжемо приклад:
|x – 1| = 2x + 4; - запишемо це рівняння системою.
{ [/x - 1 = 2x + 4/x - 1 = -(2x + 4) 2x + 4 ≥ 0
Цю схему можна розв’язувати як всю одночасно так і по окремості.
Знайдемо проміжок який задовольнятиме нерівність
2x + 4 ≥ 0
2x ≥ -4
x ≥ -4 : 2
x ≥ -2
Отже знайдені корені мають бути більші або рівні
Тобто «x» належить проміжку:
Розв’яжемо перше рівняння
x - 1 = 2x + 4
x - 2x = 4 + 1
-x = 5
x = -5
-5 < -2 – розв’язок не підходить.
Розв’яжемо друге рівняння
x - 1 = -(2x + 4)
x - 1 = -2x - 4
x + 2x = -4 + 1
3x = -3
x = -1
-1 > -2 – розв’язок підходить.
Отже, рівняння має єдиний розв'язок
Звісно вам не обов’язково розв’язувати нерівність (не обов’язково шукати ОДЗ). Вам достатньо підставити розв’язки рівняння у вираз та подивитися який вийде результат. Якщо результат є нуль або додатнім числом, то розв’язок підходить. А, якщо результат вийшов від’ємним числом, то розв’язок не підходить.
Наприклад, у попередньому рівнянні нам необхідно підставити розв’язки у Відповідно, матимемо:
При
Оскільки то розв’язок не підходить.
При
Оскільки то розв’язок підходить.
Рівняння виду
Такий вид рівнянь є дуже подібний до першого варіанту тому схема розв’язання його майже така ж сама. Але з певними нюансами.
Оскільки вираз після розкриття модулю може бути як додатнім так і від’ємним, то виходить така ситуація, що ліва частина рівняння може бути рівною правій частині рівняння як зі знаком та При тому права частина також буде рівна лівій частині зі знаком або
Отже такі рівняння розв’язуються за такою схемою:
Ці рівняння розв’язувати на багато простіше чим здається на перший погляд. Варто лише розібратися зі схемою.
Перше рівняння з системи говорить таке: «необхідно розкрити обидва модулі або зі знаком «+» або зі знаком «-»». А друге таке: «необхідно розкрити однин модуль зі знаком а інший зі знаком Після чого розв’язати лише два цих рівняння. Яке рівняння з яким знаком розкривати необхідно дивитися по ситуації.
Розв’яжемо декілька прикладів для наглядності:
Приклад 1:
Приклад 2:
[ x - 1 = x2 - 3x + 2 -(x - 1) = x2 - 3x + 2
[ x2 - 3x + 2 - x + 1 = 0 x2 - 3x + 2 + x - 1 = 0
[ x2 - 4x + 3 = 0 x2 - 2x + 1 = 0
Розв’язувати тут квадратні рівняння не будемо. Як їх вирішувати можете прочитати тут
Отримаємо такі розв’язки рівнянь:
[ x1 = 3; x2 = 1 x = 1
Оскільки розв’язок є в обох рівняння, то його не дублюють, а просто записують один раз. Отже розв’язки початкового рівняння
Також, рівняння виду можна розв’язувати за іншою схемою. Яка на справді є аналогічною до попередньої але про неї варто згадати.
Отже, щоб розв’язати данні рівняння нам варто підняти до квадрату обидва вирази:
|f(x)|=|g(x)|
f2(x) = g2(x)
Після чого розв’язати отримане рівняння.
В даній ситуації можна піти двома шляхами.
1) Підняти обидва вирази та розв’язати отримане рівняння.
2) Перенести все в одну частину та скористатися формулою скороченого множення Після чого ми отримаємо ситуацію в якій є множення дужок та в результаті виходить нуль. А це означає, що кожна з дужок може бути рівна нулеві. Тому, ми отримаємо два різні рівняння.
В першому варіанті не має нічого цікавого, тому ми його пропустимо. Розглянемо другий варіант:
f2(x) = g2(x)
f2(x) - g2(x) = 0
[f(x) - g(x)]∙[f(x) + g(x)] = 0
або
Після чого ми отримаємо аналогічні рівняння до першої схеми. Тобто:
f(x) = g(x)
f(x) = -g(x)
Наприклад, рівняння ми зможемо записати так:
(x + 1)2 = (2x - 3)2
Тут ви можете підняти все до другого степеня або перенести в одну частину:
(x + 1)2 - (2x - 3)2 = 0
Скористаємося формулою та отримаємо:
[x + 1 - 2x + 3]∙[x + 1 + 2x - 3] = 0
[-x + 4]∙[3x - 2] = 0
Після чого ми отримаємо:
або
або
Рівняння, що містять декілька знаків модуля
Рівняння виду та деякі інші містять два і більше виразів зі змінними, що стоять під знаком модуля. Такі рівняння доцільно розв’язувати за наступною схемою:
1. Знаходимо ОДЗ рівняння (область допустимих значень «х», при яких рівняння має зміст)
2. Знаходимо значення змінної, при яких дорівнюють нулю вирази, що стоять під знаком модуля (їх називають нулі підмодульних виразів)
3.Розбиваємо ОДЗ на проміжки нулями підмодульних виразів
4. На кожному з одержаних проміжків, розкриваючи знаки модулів, перетворюємо початкове рівняння, розв’язуємо його і перевіряємо, чи входять знайдені розв’язки у розглядуваний проміжок
5. Відповідь
Розв’яжемо приклад:
1. ОДЗ: (Оскільки, на приклад, не має ділення на або подібних дій, то наше рівняння існує при будь яких значеннях
2. Знайдемо коли при яких значеннях змінної модулі будуть рівні нулю
x – 1 = 0; x = 1
x – 2 = 0; x = 2
Отже, та нулі підмодульних виразів.
3. Тепер необхідно позначити на числовій прямій нулі підмодульних виразів замальованими кружками (жирними точками) оскільки вони входять в ОДЗ. Якщо будуть числа при яких рівняння не існує, то ці точки позначаємо не замальованими кружками (проколотими точками)
Отже, отримали три проміжки. Важливо! Оскільки нулі підмодульних виразів входять у ОДЗ, то ця точка має бути включена в один (лише в один!) із проміжків! Наприклад можуть бути такі варіанти: або або або Можна обирати будь який з них. Ми використаємо перший варіант.
4. Після того як отримали проміжки можна приступати до розв’язання рівняння.
Обираємо перший проміжок (для зручності будемо йти від крайнього лівого проміжку до крайнього правого по порядку)
х ∈ (-∞; 1)
Тепер необхідно взяти будь яке число з цього проміжку, та підставити його у вирази, що знаходяться під знаком модуля замість та прирівняти їх до нуля. Це необхідно для того щоб бачити з яким знаком розкрити модуль. Числа можуть бути різними для кожного модуля але не варто брати крайні точки з проміжку, оскільки тоді може вийди нуль і ви не зрозумієте з яким знаком необхідно розкривати модуль.
Візьмемо з цього проміжку число нуль Модулі в які підставлятимемо виділимо червоним кольором, а результат підстановки - чорним. Отримаємо такий результат:
- оскільки число вийшло меншим за нуль то модуль на цьому проміжку відкриється зі знаком мінус Якщо число вийшло б більше нуля, то модуль розкривався зі знаком плюс
- оскільки число вийшло меншим за нуль то модуль на цьому проміжку відкриється зі знаком мінус
Після того як знайшли з якими знаками будуть розкриватися модулі можемо приступати до пошуку розв’язків.
Отже. Забираємо знак модуля (для зручності можна писати вираз в круглих дужках та ставимо знак з яким розкриваємо модуль (в цьому випадку це два знаки мінуса).
-(x – 1) + (-(x – 2)) = 1
- x + 1 – x + 2 = 1
-2x + 3 = 1
-2x = 1 – 3 = -2
x = -2 : (-2) = 1
Оскільки цей розв’язок не входить у наший проміжок, то він не є розв’язком початкового рівняння.
Зробимо аналогічні дії з іншими проміжками.
х ∈ [1; 2]
- оскільки число вийшло більшим за нуль то модуль на цьому проміжку відкриється зі знаком плюс
- оскільки число вийшло меншим за нуль то модуль на цьому проміжку відкриється зі знаком мінус
(x – 1) + (-(x - 2)) = 1
x – 1 – x + 2 = 1
1 = 1
Важливо! Як видно у цьому випадку змінна «х» скоротилася, але числа з ліва та справа від знаку рівності однакові. Це означає, що розв’язком є весь проміжок Якщо б числа були різні, то розв’язку не має взагалі.
x ∈ (2; +∞)
- оскільки число вийшло більшим за нуль то модуль на цьому проміжку відкриється зі знаком плюс
- оскільки число вийшло більшим за нуль то модуль на цьому проміжку відкриється зі знаком плюс
(x – 1) + (x – 2) = 1
2x - 3 = 1
2x = 4
– не входить у проміжок. Тому не є розв’язком початкового рівняння.
Отже відповідь:
Якщо буде декілька розв’язків, то вони писатимуться через крапку з комою
Рівняння з модулем це своєрідна творчість. До кожного рівняння необхідно підходити індивідуально. Розглянемо ще декілька прикладів:
1. ||x - 1| - 3| = 4
В цьому прикладі модуль знаходиться в середині модуля. Загальний вигляд дуже похожий на перший випадок тому спробуємо розв’язати за тією схемою.
або
або
1) |x – 1| = 7:
x – 1= 7 або
x = 8 або x = -6
2) |x – 1| = -1:
Розв’язків не має.
Відповідь: або
2. |x + 2| + |x – 1| = 0
Цей приклад нагадує четвертий випадок. Але розв’язується на багато простіше. Оскільки модуль не може бути рівний числу меншому за нуль, а сума модулів є рівною нулю це означає, що обидва модулі мають бути рівні нулю
x + 2 = 0 і x – 1 = 0
x = -2 і x = 1
Тепер є один важливий момент. Ці модулі мають бути рівні нулю одночасно! А оскільки вони стають нульовими при різних значеннях (перший при другий при то початкове рівняння розв’язку не має. А якщо в модулів є спільні значення при яких вони стають нульовими, то це і є розв’язок.
3. |x – x3| + |x2 + x – 2| = 0
1) x – x3 = 0 і
1) x – x3 = 0
1) x(1 – x2) = 0
1) x1 = 0; x2 = -1; x3 = 1
2) x2 + x – 2 = 0:
2) x4 = -2; x5 = 1
Як видно в обох варіантах є відповідь це і буде розв’язком початкового рівняння.