Арифметична прогресія

Числова послідовність задана, якщо будь-якому натуральному числу «n» поставлене у відповідність деяке число «a_n».

Приклади:

Послідовність задають за допомогою формули «n-го» члена, тоді неважко обчислити будь-який його член.

Послідовність («a_n») задана формулою:

a_n = n³; n ∈ N; 1 (1³ = 1); 8 (2³ = 8); 27 (3³ = 27); 64 (4³ = 64); …;

Послідовності бувають скінченні і нескінченні. Послідовність («a_n») називається зростаючою або спадною, якщо для будь-якого номера «n» справджується нерівність: «a_{n + 1} > a_n» для зростаючої та «a_{n + 1} < a_n» для спадної, «a_n» - попередній член, «a_{n + 1}» - наступний член послідовності.

Наприклад:

Числова послідовність («a_n»), кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додане одне й те саме число, називається арифметично прогресією. Це число позначають буквою «d» і називають різницею арифметичної прогресії.

Різниця арифметичної прогресії («d») знаходиться так: «d = a_{n + 1} – a_n», тобто, різницю арифметичної прогресії можна знайти, якщо від будь-якого члена прогресії, починаючи з другого, відняти попередній.

1; 3; 5; 7; 9; … – зростаюча арифметична прогресія, де «a₁ = 1»; «d = 2», оскільки «3 - 1 = 2», «5 - 3 = 2».

30; 25; 20; 15; 10; 5; … - спадна арифметична прогресія, де «a₁ = 30»; «d = -5», оскільки «25 - 30 = -5».

Перші члени арифметичної прогресії будуть: «a₁»; «a₁ + d»; «a₁ + 2d»; «a₁ + 3d»; …

Приклад: -5; -4; -3; -2; …; a₁ = -5; d = 1.

Формула «n-го» члену арифметичної прогресії:

a_n = a₁ + d(n – 1); n ∈ N

a₆ = -5 + 1∙(6 – 1) = -5 + 1∙5 = 0; a₆ = 0

Також, можна використовувати формулу пошуку «n-го» члену арифметичної прогресії знаючи довільний член прогресії:

a_n = a_k + d(n - k); n > k; n, k ∈ N;

Для арифметичної прогресії кожний її член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів, тобто:

a_n = a_{n - 1} + a_{n + 1}2; де n ≥ 2; n ∈ N

Також можна знайти будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох рівновіддалених членів, тобто:

a_n = a_{n - k} + a_{n + k}2; де k < n; n ≥ 2; n ∈ N

Дану формулу можна записати трішки в простішому вигляді:

a_n = a_m + a_k2; де n = /m + k/2; n ≥ 2; n, m, k ∈ N

Приклад: a₃ = 10; a₅ = 14; a₄ = ?

a₄ = a₃ + a₅2; a₄ = /10 + 14/2 = /24/2 = 12

Будь-яку арифметичну прогресію можна задати формулою:

«a_n = dn + b», де «d» і «b» - деякі числа.

Послідовність «a_n», задана формулою «n-го» члена «a_n = dn + b», де «d» і «b» - деякі числа, є арифметичною прогресією.

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів. Якщо «k», «l», «p» і «s» - натуральні числа, такі, що «k + l = p + s», то:

a_k + a_l = a_p + a_s

Також, бувають моменти коли необхідно дізнатися кількість членів прогресії з таким же знаком як обраний член прогресії. Наприклад, якщо є вказаний десятий член прогресії який є додатним, а необхідно знайти порядковий номер першого від’ємного члена прогресії або найбільший від’ємний член прогресії або щось подібне, то щоб не рахувати в ручну це і щоб не грати у лотерею (вгадувати) можна дізнатися кількість членів прогресії з таким же знаком як і у обраного. Тобто, якщо десятий член прогресії буде зі знаком «+», то ми дізнаємося скільки членів прогресії після нього є з таким же знаком. Звісно це буде працювати лише тоді, коли ваші члени прогресії будуть мати різні знаки тобто, коли член прогресії є додатним, а сама прогресія спадаюча або член прогресії від’ємний, а прогресія зростаюча.

m = |a_nd|

Де «m» - кількість членів прогресії з таким же знаком (беремо лише цілу частину) як і у обраного, «a_n» - обраний член прогресії, «d» – різниця прогресії.

Таким чином ми будемо мати «m + n» членів прогресії з однаковим знаком. Відповідно «m + n + 1» буде мати протилежний знак.

Якщо, «m» вийшло цілим числом, то це означає, що «m + n + 1» член прогресії буде рівний нулеві.

Приклад:

Перший член прогресії рівний «-11», різниця прогресії «2». Знайти, чому дорівнює перший додатний член прогресії.

Отже, ми маємо: «a₁ = -15», «d = 2». Знайдемо кількість членів прогресії з таким же знаком як і перший член прогресії (бо саме перший член прогресії нам відомий).

m = |a₁d|

m = |-152|

m = |7/1/2|

Отже, ми маємо, що «7» (відкинули дробову частину, її можна взагалі не рахувати) членів прогресії будуть мати такий же знак як і перший. Тобто, «1 + 7 = 8» членів прогресії будуть зі знаком «-». Це означає, що «8 + 1 = 9» член прогресії буде вже з протилежним знаком. Перевіримо.

a₉ = a₁ + d(9 - 1)

a₉ = -15 + 2 ∙ 8

a₉ = 1

Позначимо через «S_n» суму перших «n» членів арифметичної прогресії:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_{n - 1} + a_n

Формула суми перших «n» членів арифметичної прогресії:

S_n = a₁ + a_n2 · n або S_n = 2a₁ + d(n - 1)2 · n; n ∈ N

Приклад: a₁ = 4; d = 3; Знайти суму перших 5 членів арифметичної прогресії.

a₅ = a₁ + d(5 - 1) = 4 + 3∙4 = 16

S₅ = a₁ + a₅2 ∙ 5 = /4 + 16/2 ∙ 5 = 50 або S₅ = 2a₁ + d(5 - 1)2 ∙ 5 = /2∙4 + 3∙4/2 ∙ 5 = 50

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називають послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починається з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число, яке називають знаменником геометричної прогресії.

Приклад: 2; 4; 8; 16; 32; …

Члени геометричної прогресії, зазвичай позначають буквою «b» з індексом, що відповідає порядковому номеру кожного члена: «b₁; b₂; b₃; …», а знаменник буквою «q».

Для будь-якого натурального «n» виконується рівність «b_{n + 1} = b_nq». Звідси випливає, що «q = b_{n + 1}b_n », тобто знаменник геометричної прогресії можна знайти, якщо будь-який член прогресії, починаючи з другого, поділити на попередній.

Будь-який член геометричної прогресії («b_n») можна знайти за формулою «b_n» яку називають формулою «b_n = b₁q^{n - 1}» члена геометричної прогресії.

Будь-який член геометричної прогресії можна знайти використавши інший член прогресії та знаменник прогресії:

b_n = b_k q^{n - k}; n > k; n, k ∈ N

Властивості геометричної прогресії.

1. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого дорівнює добутку двох сусідніх з ним членом, тобто:

b/n/2 = b_{n - 1} ∙ b_{n + 1}, де n ≥ 2; n ∈ N

2. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добуток двох рівновіддалених від нього членів, тобто:

b/n/2 = b_{n - k} ∙ b_{n + k}, де k < n; n ≥ 2; n, k ∈ N

Дану формулу ми можемо подати в іншому вигляді:

b/n/2 = b_m ∙ b_k, де n = /m + k/2; n ≥ 2; n, m, k ∈ N

3. Якщо «k», «l», «p» і «s» - натуральні числа, такі, що «k + l = p + s», то:

b_k ∙ b_l = b_p ∙ b_s

Сума «n» перших членів геометричної прогресії

Позначимо через «S_n» суму перших «n» членів геометричної прогресії:

S_n = b₁ + b₂ + … + b_{n - 1} + b_n

Цю суму можна знайти за формулою:

S_n = b₁(qⁿ - 1)q - 1;

або

S_n = b₁(1 - qⁿ)1 - q;

Дані формули на справді є ідентичними. Єдине чим вони відрізняються, то це в зручності запису при різних значеннях знаменника прогресії. Для прикладу, першу формулу зручно використовувати, якщо «|q| > 1», а другу якщо «|q| < 1». Вам не обов’язково запам’ятовувати їх обидві. Вивчіть одну і цього буде достатньо.

Якщо відомі перший і «n» члени прогресії та її знаменник, то зручною є формула:

S_n = b_nq - b₁q - 1;

Якщо («b_n») – нескінченно спадна геометрична прогресія («|q| < 1». Важливо! Не сказано суму скількох членів геометричної прогресії необхідно знайти), то її сума обчислюється за формулою:

S = b₁1 - q