Основні поняття про визначник та його знаходження

Визначник матриці «A» можуть позначати «|A|», «∆», «det⁡ A», «det⁡ (a_ij)». Також, визначник має іншу назву детермінант.

При обчисленні визначника матрицю записують за допомогою прямих дужок, немов модуль.

Для того, щоб обчислити визначник потрібно знайти суму всіх можливих добутків по головній діагоналі та відняти суму всіх можливих добутків по допоміжній (другорядній) діагоналі.

Розглянемо всі можливі добутки по ГОЛОВНІЙ діагоналі:

|#|#3#3#a₁₁#a₁₂#a₁₃#a₂₁#a₂₂#a₂₃#a₃₁#a₃₂#a₃₃ = a₁₃∙a₂₂∙a₃₁ + a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂

Розглянемо всі можливі добутки по ДОПОМІЖНІЙ (другорядній) діагоналі:

|#|#3#3#a₁₁#a₁₂#a₁₃#a₂₁#a₂₂#a₂₃#a₃₁#a₃₂#a₃₃ = a₁₁∙a₂₂∙a₃₃ + a₂₁∙a₃₂∙a₁₃ + a₃₁∙a₁₂∙a₂₃

Залишається все об’єднати. Знаходимо всі можливі добутки по головній та віднімаємо всі можливі добутки по другорядній діагоналі.

|#|#3#3#a₁₁#a₁₂#a₁₃#a₂₁#a₂₂#a₂₃#a₃₁#a₃₂#a₃₃ = (a₁₁∙a₂₂∙a₃₃ + a₂₁∙a₃₂∙a₁₃ + a₃₁∙a₁₂∙a₂₃) - (a₁₃∙a₂₂∙a₃₁ + a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂)

Визначник можна знайти лише у квадратної матриці.

Розглянемо приклад знаходження визначника.

|#|#3#3#1#2#3#4#5#6#7#8#9 = (1∙5∙9 + 4∙8∙3 + 7∙2∙6) - (3∙5∙7 + 2∙4∙9 + 1∙6∙8) = (45 + 96 + 84) - (105 + 72 + 48) = 225 - 225 = 0

Властивості визначників

Знаходження мінорів матриці

Мінор позначають у вигляді «M_ij», де «i» - номер рядка, «j» - номер стовпця.

Мінор «M_ij» береться відносно елемента «a_ij» матриці «A».

Для того, щоб обчислити мінор «M_ij» потрібно знайти визначник матриці, яка утворюється в результаті викреслювання елементів «i-го» рядка та «j-го» стовпця.

Припустимо ми маємо матрицю

(#)#3#3#a₁₁#a₁₂#a₁₃#a₂₁#a₂₂#a₂₃#a₃₁#a₃₂#a₃₃

Ми хочемо знайти мінор «M₂₃», а це означає, що потрібно викреслити «2-й» рядок та «3-й» стовпець.

(#)#3#3#a₁₁#a₁₂#a₁₃#a₂₁#a₂₂#a₂₃#a₃₁#a₃₂#a₃₃

Тому, в нас залишається матриця:

(#)#2#2#₁₁#a₁₂#a₃₁#a₃₂

Визначник якої ми будемо шукати:

M₂₃ = |#|#2#2#₁₁#a₁₂#a₃₁#a₃₂ = a₁₁∙a₃₂ - a₁₂∙a₃₁

Алгебраїчне доповнення

Алгебраїчним доповненням «A_ij» елемента «a_ij» називають таке число:

A_ij = (-1)^{i + j} ∙ M_ij

Для обчислення визначника матриці методом мінорів (зазвичай, використовують, якщо матриця «n × n» має розмір «n > 3») ми можемо використовувати як рядки, так і стовпці.

Приклад за «i-м» рядком:

det⁡(A) = a_i1 A_i1 + a_i2 A_i2 +⋯+ a_in A_in = ∑#j = 1#n a_ij A_ij

Або «j-м» стовпцем:

det(⁡A) = a_1j A_1j + a_2j A_2j +⋯+ a_nj A_nj = ∑#i = 1#n a_ij A_ij

Тобто, ми можемо сказати, що визначник «n-го» порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого стовпця/рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

Розглянемо приклад.

|#|#4#4#2#1#1#2#3#4#0#-1#-2#0#1#-1#3#-3#0#5

Наша матриця має розмір «4 × 4». Тому, обчислити визначник стандартним методом може бути складно. Спробуємо скористатися методом мінорів. Ми можемо обрати будь-який рядок або стовпець для пошуку визначника.

Для прикладу візьмемо другий рядок «(1; 2; 0; -1)».

|#|#4#4#2#1#1#2#3#4#0#-1#-2#0#1#-1#3#-3#0#5 = 1∙(-1)²⁺¹∙|#|#3#3#1#3#4#0#3#-3#-1#0#5 + 2∙(-1)²⁺²∙|#|#3#3#2#3#4#-2#3#-3#1#0#5 + 0∙(-1)²⁺³∙|#|#3#3#2#1#4#-2#0#-3#1#-1#5 + (-1)∙(-1)²⁺⁴∙|#|#3#3#2#1#3#-2#0#3#1#-1#0 =>

Залишається обчислити визначники кожної матриці. Будемо мати:

=> 1∙(-1)∙36 + 2∙1∙39 + 0 + (-1)∙1∙15 = -36 + 78 - 15 = 27

Якщо ви зведете матрицю до східчастого вигляду, то для знаходження визначника достатньо буде знайти добуток елементів по діагоналі.