Перед тим як розпочати вивчати комплексні числа розберімось з їх складниками. Погляньте уважно на малюнок. Ви побачите на ньому вантаж підвішений за нитку і поруч знаходиться стіна. Дайте відповідь на запитання: «чи можемо ми потягнути вантаж в сторону?»

Ну що ж. Поясню, що відбувається. Ми без проблем можемо потягнути наш вантаж у ліву сторону, адже, там не має стіни. Але потягнути вантаж праворуч ми не можемо, бо там заважає стіна. Но, якби її не було, то потягнути ми могли б і праворуч. Зараз це можна зробити хіба що «уявно».

Те що на справді існує (або те що ми можемо дійсно зробити) в математиці називають «дійсним» числом. При цьому, дійсні числа зазвичай позначають «a».

Наприклад: -4; 6,2.

Те що існує лише в теорії (або ми можемо лише теоретично зробити) називають «уявним» числом. При цьому, уявні числа зазвичай позначають «b». А, також, біля них записують «i».

Наприклад: -8i; 9,36i.

Значення «i» заведено записувати таким чином:

i²= -1

Ми можемо це використати, наприклад при розв’язуванні квадратних рівнянь. Розглянемо на прикладі:

x² = -16

З курсу шкільної математики ви мали б знати, що це є неповні квадратні рівняння. І в школі ми б написали «дійсних коренів/розв’язків не має». Но знаючи, що «-1» (тобто: «-16= -1 ∙16») можна подати як «i²» зможемо написати:

x² = 16i²

І розв’язати це згідно з правилами:

x = ± 16i²

x = ± 4i

Як бачите, дана заміна дозволяє розв’язати рівняння «теоретично» (тобто уявно).

Комплексні числа в свою чергу є сумою дійсних та уявних чисел. Їх зазвичай позначають «z» і записують у вигляді:

z = a + bi = a + ib

Наприклад: z = 2 - 3i; z = 5; z = 9i;

Як бачите, комплексне число може складатися як з дійсних та уявних чисел, так і лише з чогось одного.

Множину комплексних чисел заведено позначати буквою «С».

Запис «z = a + ib» називається алгебраїчною формою.

Ми можемо подати комплексне число і на прямокутній системі координат. Зазвичай вісь «Ох» символізує дійсні числа, а вісь «Оу» – уявні.

Тому, ви можете зустріти запис комплексного числа у вигляді:

z = x + iy = x + yi

Спряжене комплексне число позначається «z̅» і воно береться з протилежним знаком УЯВНОЇ частини до комплексного числа «z».

Тобто, якщо ми маємо комплексне число «z = a ± bi», то спряжене до нього буде «z̅ = a ∓ bi».

Наприклад: «z = 3 - 5i», тоді «z̅ = 3 + 5i»; якщо «z = 7i + 9», тоді «z̅= -7i+9».