Маючи матрицю ви можете звести її до східчастого вигляду шляхом алгебраїчних перетворень.

Для цього ми можемо виконувати додавання/віднімання рядків між собою. Ми можемо множити/ділити рядок на довільне число (крім нуля звісно). А, також, ми можемо переставляти рядки/стовпці місцями.

Коли ми виконуватимемо дії (під час даного уроку), то для того, щоб пояснити їх використовуватимемо позначення «R_i», де «i» символізуватиме номер рядка.

І будемо показувати, що та яку дію виконуємо. Наприклад, «4R₃ - R₂» означає, що ми «3-й» рядок множимо на «4» і віднімемо від нього «2-й» рядок.

Для того, щоб легше зводити систему до східчастого вигляду ми будемо робити так, щоб по головній діагоналі знаходилися одиниці.

Розглянемо все на прикладі. Звісно ж ви можете виконувати інші дії ніж показані в уроці. Адже, зведення до східчастого вигляду не має чітких правил яких вам доведеться дотримуватися.

Варто лише зауважити, що ми часто будемо множити/ділити рядок на якесь число (до того ж це може бути один і той же рядок). Але, в матриці ми не будемо змінювати ці числа. Бо, в такому випадку, нам доведеться дуже багато разів змінювати матрицю, що неодмінно приведе до плутанини. Тому, відразу зауважимо, що результат «уявного» множення/ділення ми будемо писати в дужках та зеленим кольором.

Розглянемо матрицю:

(#)#3#3#5#-6#2#3#-5#-2#2#-1#3

Зробимо так, щоб перший елемент головної діагоналі був одиницею. Для цього помножимо третій рядок на «2» та віднімемо його від першого рядка. Тобто, виконаємо дію «R₁ - 2R₃». І будемо вказувати рядок в якому виконується ця дія за допомогою «=R_i». Отже, якщо ми хочемо від першого рядка відняти третій рядок помножений на «2» і записати результат в першому рядку, то наше позначення виглядатиме так: «R₁ - 2R₃ = R₁».

Пам’ятаємо, що в реальності третій рядок залишається таким як і був, а множення буде уявним і результат буде записаний в дужках.

2R₃ = R₃ → (#)#3#3#5#-6#2#3#-5#-2#2 (4)#-1 (-2)#3 (6)

R₁ - 2R₃ = R₁ → (#)#3#3#5 - 4#-6 - (-2)#2 - 6#3#-5#-2#2 (4)#-1 (-2)#3 (6) = (#)#3#3#1#-4#-4#3#-5#-2#2 (4)#-1 (-2)#3 (6)

Отже, наша матриця виглядає так:

(#)#3#3#1#-4#-4#3#-5#-2#2#-1#3

Тепер, зведемо до східчастого вигляду. В першому стовпці під «1» (елемент «a₁1») варто зробити «0» (тобто, елемент «a₂1» має стати нулем).

Важливо! Ми будемо дивитися виключно на елементи даного стовпця. Тому, всі інші результати нам не важливі.

Отже, щоб в другому рядку отримати «0» варто перший рядок помножити на «-3» та додати до другого. Матимемо «-3R₁ + R₂».

-3R₁ = R₁ → (#)#3#3#1 (-3)#-4 (12)#-4 (12)#3#-5#-2#2#-1#3

-3R₁ + R₂ = R₂ → (#)#3#3#1 (-3)#-4 (12)#-4 (12)#-3 + 3#12 - 5#12 - 2#2#-1#3 = (#)#3#3#1 (-3)#-4 (12)#-4 (12)#0#7#10#2#-1#3

Тепер, матриця виглядає так:

(#)#3#3#1#-4#-4#0#7#10#2#-1#3

Щоб в третьому рядку отримати нуль нам варто перший рядок помножити на «-2» та додати його до третього рядка. Тобто, матимемо «-2R₁ + R₃».

-2R₁ = R₁ → (#)#3#3#1 (-2)#-4 (8)#-4 (8)#0#7#10#2#-1#3

-2R₁ + R₃ = R₃ → (#)#3#3#1 (-2)#-4 (8)#-4 (8)#0#7#10#-2 + 2#8 - 1#8 + 3 → (#)#3#3#1#-4#-4#0#7#10#0#7#11

Як бачите, «1» нам необхідна, щоб легше було підбирати множники. Це є не обов’язковим, але доволі зручним якщо добре знати таблицю множення та вміти добре додавати/віднімати числа.

Зверніть увагу, що в другому стовпцеві другий та третій рядок мають однакове число («7»). Тому, для утворення східчастого вигляду можна буде не утворювати одиницю в елементі «a₂₂». Достатньо помножити його на «-1» та додати до елементу «a₃2». Отже, ми маємо помножити другий рядок на «-1» та додати його до третього «-1R₂ + R₃».

-1R₂ = R₂ → (#)#3#3#1#-4#-4#0#7 (-7)#10 (-10)#0#7#11

-1R₂ + R₃ = R₃ → (#)#3#3#1#-4#-4#0#7 (-7)#10 (-10)#0#-7 + 7#-10 + 11 = (#)#3#3#1#-4#-4#0#7 (-7)#10 (-10)#0#0#1

Отже, зараз матриця виглядає так:

(#)#3#3#1#-4#-4#0#7#10#0#0#1

Як бачите, ми отримали матрицю в східчастому вигляді (верхня трикутна).

Саме по собі зведення матриці до східчастого вигляду буде використовуватися в наступних уроках.

Повторимо ще раз, що при зведенні матриці до східчастого вигляду ви можете використовувати різні дії, тому ви можете отримати різні значення елементів матриці.

Попрактикуймося та спробуємо звести ще одну матрицю до східчастого вигляду.

(#)#3#3#1#-8#3#2#1#1#4#7#-4

-2R₁ + R₂ = R₂ → (#)#3#3#1 (-2)#-8 (16)#3 (-6)#-2 + 2#16 + 1#-6 + 1#4#7#-4 = (#)#3#3#1#-8#3#0#17#-5#4#7#-4

-4R₁ + R₃ = R₃ → (#)#3#3#1 (-4)#-8 (32)#3 (-12)#0#17#-5#-4 + 4#32 + 7#-12 - 4 = (#)#3#3#1#-8#3#0#17#-5#0#39#-16

-2R₂ + R₃ = R₂ → (#)#3#3#1#-8#3#0#17 (-34 + 39)#-5 (10 - 16)#0#39#-16 = (#)#3#3#1#-8#3#0#5#-6#0#39#-16

8R₂ - R₃ = R₂ → (#)#3#3#1#-8#3#0#5 (40 - 39)#-6 (-48 - (-16))#0#39#-16 = (#)#3#3#1#-8#3#0#1#-26#0#39#-16

-39R₂ + R₃ = R₃ → (#)#3#3#1#-8#3#0#1 (-39)#-26 (1014)#0#-39 + 39#1014 - 16 = (#)#3#3#1#-8#3#0#1#-26#0#0#998

R₃ ∶ 998 = R₃ → (#)#3#3#1#-8#3#0#1#-26#0#0#998 (1) = (#)#3#3#1#-8#3#0#1#-26#0#0#1