Ми вже розглядали основні дії з цілими числами. Даний матеріал вам буде необхідний в основному для виконання дій з дробами та розв’язування рівнянь.

Коли ми проходили основні дії з цілими числами, то розглядали ситуацію ділення двох чисел. Це можна записати у вигляді «a : b», де «a» - ділене, «b» - дільник. Наприклад, «7 : 3», «24 : 4». В результаті виконання ділення ми можемо отримати «цілу частину» та «залишок від ділення (остачу)». Позначимо цілу частину як «q», а остачу як «r».

Ми можемо сказати, що число «а» ділиться на число «b», якщо виконується рівність:

a = b ∙ q + r, 0 ≤ r < b

При цьому, якщо «r» є рівним нулеві («r = 0»), то число «a» ділиться на «b» «націло».

До того ж, якщо число «a» ділиться на «b», то «a» називають «кратним b», а «b» називають «дільником a».

Наприклад, якщо ми поділимо «27» («a = 27») на «4» («b = 4»), то отримаємо, що цілою частиною буде «6» («q = 6»), а остачею - «3» («r = 3»). Тому, можемо виконати такий запис:

27 = 4 ∙ 6 + 3

З цим доводиться працювати не часто, а в майбутньому ці зазвичай виконуються на автоматі.

Ознаки подільності

З чим дуже часто доводиться так це із скороченням чисел (в дробах) або розкладанням чисел на множники (також доволі часто використовують в дробах). Для виконання даних дій дуже сильно допомагають правила подільності чисел. Ці правила використовують для того щоб визначити чи поділиться дане число на інше без остачі. Число яке ділимо має бути цілим (знак на справді не відіграє ролі, а для дробових чисел працюють трішки інші правила). Розглянемо деякі з них:

Основними для вас будуть перші три пункти (також корисним буде і четвертий). Запам’ятовувати п’ятий та шостий пункт не має сенсу, адже це на справді є комбінації з перших трьох (четвертий пункт є теж комбінацією першого та третього). Відповідно, таких комбінацій можна придумати дуже багато.

Числа які діляться лише на «1» і саме на себе називають «простими». Для прикладу числа «5», «11», «17», «31» є простими. Адже, вони мають лише два дільники «1» і саме себе.

Числа які мають більше чим два дільники називаються «складеним». Для прикладу «4», «12», «32».

Число «1» не належить ні до простих, ні до складених чисел.

Будь-яке складене число можна розкласти на прості множники. При цьому таке розкладання буде єдиним. Тобто, ви не зможете розкласти одне і теж число на різні прості множники. Єдине чим можуть відрізнятися ці розкладання це порядком запису.

При розкладанні чисел на множники намагаються записувати їх (множники) в порядку зростання. Починають ділити число з першу на «2» поки це можливо, далі ділять на «3» (поки це можливо), далі на «5» і так далі. «4» пропускають. Адже, якщо число ділиться на «4», то воно поділиться на «2». До того ж число «4» є не простим множником (не просте число), тому це ще одна причина чому її не використовують. Теж ж саме стосується «6», «8», «9».

Бувають моменти, коли варто розкласти число на множники (зауважте, що не вказано «на прості множники»), то в таких ситуаціях ви можете використовувати довільні дільники числа.

Для прикладу розкладемо на прості множники число «60».

З першу будемо ділити число на «2» поки це буде можливо.

60 : 2 = 30

Тепер, нам необхідно ділити «30». Тобто, після того як поділили нам необхідно наступного разу ділити отриманий результат.

30 : 2 = 15

Як помітно «15» вже не ділиться на «2». Переходимо до наступного простого числа. Тобто, до «3».

15 : 3 = 5

«5» вже не ділиться на «3», переходимо до наступного простого числа. Тобто, до «5».

5 : 5 = 1

Коли в результаті отримали «1», то розкладання на прості множники завершилося.

Отже, «60» ми можемо розкласти на такі прості множники: «2», «2», «3», «5». Це можна записати так: «60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5».

Для розкладання чисел на прості множники часто використовують метод «стовпчика». Де ліворуч записують ділене (те, що ділять), а праворуч дільники (ті, що ділять) даного числа. Наприклад, для «60» це виглядатиме так:

Найбільший спільний дільник (НСД). Найменше спільне кратне (НСК)

Коли у вас є два (або більше) числа, то між ними можна спробувати знайти «найбільший спільний дільник (НСД)» та «найменше спільне кратне (НСК)».

Найбільший спільний дільник (НСД) – це найбільше число на яке діляться націло (без остачі) обрані числа.

Наприклад, для чисел «32» та «24» найбільшим спільним дільником буде число «8». Оскільки: «32 : 8 = 4» і «24 : 8 = 3». Тобто, обидва наших числа діляться націло на «8».

Відповідно, «спільний дільник» це число, яке ділить націло (без остачі) обрані числа. Таких дільників може бути доволі багато, а їх добуток буде найбільшим спільним дільником.

Наприклад, якщо ми візьмемо числа «42» та «70». То, можна їх з першу поділити на «2». «42 : 2 = 21» і «70 : 2 = 35». Після чого, отримані результати можна поділити ще на «7». «21 : 7 = 3» і «35 : 7 = 5». Отже, числа «2» та «7» є спільними дільниками «42» та «70», а «2 ∙7 = 14» буде найбільшим спільним дільником даних чисел.

Найменше спільне кратне (НСК) – найменше число яке ділиться націло на обрані числа.

Наприклад, для чисел «32» та «24» найменшим спільним кратним буде число «96». Оскільки: «96 : 32 = 3» і «96 : 24 = 4». Тобто, обидва наших числа ділять націло число «96».

Розберемося як їх можна знайти.

Для того щоб знайти НСД та НСК зазвичай розкладають числа на прості множники (в реальності не обов’язково їх розкладати саме на прості множники, але це гарантуватиме, що ви не матимете помилок).

Після того як ви розклали дані числа на множники, то можна приступити до пошуку НСД та НСК.

Для знаходження найбільшого спільного дільника (НСД) вам потрібно виписати всі спільні множники обраних чисел. Розглянемо числа «450» та «1260». Розкладемо їх на множники.

Отже, маємо такий результат: «450 = 2∙3∙3∙5∙5» та «1260 = 2∙2∙3∙3∙5∙7».

Напишемо спільні множники. В даній ситуації матимемо: «2∙3∙3∙5». Зверніть увагу, ми виписуємо множники які повторюються в обох числах. Враховуючи, що в першому числі ми маємо дві «2», а в другому лише одну, то відповідно ми виписуємо лише одну «2», бо є лише одне повторення, аналогічно і з «5». А, число «3» в обох числах написана два рази. Тому, виписали «3» два рази. В такий спосіб ми шукаємо найбільший спільний дільник (НСД). Після чого нам залишається лише перемножити наші множники «2∙3∙3∙5 = 60». Знання як знаходити НСД вам допоможе в моментах коли потрібно винести спільний множник за дужки або коли потрібно скоротити якісь числа.

Якщо ми шукаємо найменше спільне кратне (НСК). То, краще за все буде виписати всі множники з першого числа, а потім доповнити множниками другого числа (наступного) яких ще не має виписаних. Розглянемо наші числа «450» та «1260». Ми вже знаємо, що їх можна розкласти на такі множники: «450 = 2∙3∙3∙5∙5» та «1260 = 2∙2∙3∙3∙5∙7».

Отже, напишемо множники першого числа «2∙3∙3∙5∙5». Тепер розглянемо множники другого числа, та напишемо ті, що не повторюються. «2∙2∙3∙3∙5∙7» це всі множники другого числа. Враховуючи, що в першому числі є одна «2», а в другому дві «2», то відповідно нам необхідно записати ще одну «2». «3» ми маємо однакову кількість, тому не потрібно нічого писати. У першому числі «5» є дві, а в другому лише одна, тому не потрібно нічого додатково писати. В першому числі ми не маємо «7», а в другому вона є, тому її ми записуємо. В кінцевому варіанті ми будемо мати: «2∙3∙3∙5∙5 ∙ 2∙7». Для зручності виділимо синім кольором числа з першого множника, а червоним ті, що додатково записали. Щоб отримати остаточно НСК нам залишилося помножити наші числа: «2∙3∙3∙5∙5∙2∙7 = 6300».

Знаходження найменшого спільного кратного (НСК) вам буде необхідне при роботі з дробами. Коли ви будете виконувати додавання/віднімання дробів з різними знаменниками, то доведеться для них шукати спільний знаменник. От, саме спільним знаменником буде число яке є НСК.

Розпочати вікторину