Рівняння виду: «log_a f(x) = b»

Коли ми маємо рівня рівняння вигляду:

log_a f(x) = b

Де важливо щоб «a > 0, a ≠ 1», «b» - будь-яке число. Таке рівняння розв’язується так:

f(x) = a^b

Тобто, нам варто себе запитати: «яке число вийде (записуємо «f(x)»), якщо ми основу «а» піднімемо до степеня «b»».

Приклад: log_0,5⁡ x = -4

x = (0,5)^-4

x = (/1/2)^-4

x = 2⁴

x = 16

Відповідь: 16.

Приклад 2: log₄⁡(x - 2) = 1

x - 2 = 4¹

x - 2 = 4

x = 4 + 2

x = 6

Відповідь: 6

Приклад 3: log_{x - 1} (3x - 5) = 2

3x - 5 = (x - 1)²

3x - 5 = x² - 2x + 1

x² - 2x + 1 - 3x + 5 = 0

x² - 5x + 6 = 0

D = (-5)² - 4∙1∙6 = 25 - 24 = 1

x₁ = /-(-5) + √1/2 ∙ 1 = /5 + 1/2 = 3

x₂ = /-(-5) - √1/2 ∙ 1 = /5 - 1/2 = 2

Варто перевірити чи основа «х – 1» при отриманих розв’язках не стане від’ємною або рівною одиниці.

При «х = 2»: 2 – 1 = 1; - розв’язок не підходить, оскільки основа рівна одиниці.

При «х = 3»: 3 – 1 = 2; - розв’язок підходить.

Відповідь: 2.

Рівняння виду: «log_a f(x) = log_a g(x)»

Рівняння виду: «log_a⁡ f(x) = log_a⁡ g(x)», де «a > 0, a ≠ 1», можна розв’язати у вигляді системи:

{/f(x) = g(x)/f(x) > 0/g(x) > 0

Нерівності «f(x) > 0» та «g(x) > 0» можна не розв’язувати, просто в кінці підставити розв’язки рівняння «f(x) = g(x)» та перевірити чи результат вийде додатним чи від’ємним.

Приклад: lg⁡ (x² - 9x + 10) = lg⁡ (x - 6)

Оскільки у логарифмів є однакові основи, то це означає, що під логарифмічні вирази рівні. Розв’яжемо таке рівняння:

x² - 9x + 10 = x - 6

x² - 9x + 10 - x + 6 = 0

x² - 10x + 16 = 0

D = (-10)² - 4∙1∙16 = 100 - 64 = 36

x₁ = /-(-10) + √36/2 ∙ 1 = /10 + 6/2 = 8

x₂ = /-(-10) - √36/2 ∙ 1 = /10 - 6/2 = 2

Підставимо наші розв’язки замість «х» у під логарифмічні вирази «x² - 9x + 10» та «x - 6» та перевіримо чи вийде додатне число.

При «х = 2»:

Підставимо у «х – 6»: «2 – 6 = -4» - результат від’ємним, тому «2» не є розв’язком.

При «х = 8»:

Підставимо у «х - 6»: «8 – 6 = 2» - результат додатний, тому перевіримо далі. Підставимо у «x² - 9x + 10»: «8² - 9∙8 + 10 = 2» - результат також додатний. Оскільки, обидва під логарифмічні вирази додатні при «х = 8», то розв’язком початкового рівняння буде «8».

Відповідь: 8.

Рівняння виду: «log_a f(x) = g(x)»

Рівняння виду «log_a⁡ f(x) = g(x)», де «a > 0, a ≠ 1» можна розв’язати у вигляді:

f(x) = a^g(x)

Після чого ми отримаємо показникове рівняння. Детальніше можете прочитати тут. Також в таких прикладах доводиться часто працювати з властивостями степеня, тому варто добре працювати з ним (степенем). Детальніше можете прочитати тут.

Приклад: log₂⁡(9 - 2^x) = 3 - x

9 - 2^x = 2^{3 - x}

9 - 2^x = 2³ ∙ 2^-x

2^x - 9 + 2³ ∙ 2^-x = 0

2^x - 9 + 8∙2^-x = 0

Помножимо весь приклад на «2^x». При цьому варто зауважити, що «2^x∙2^x = 2^{x + x} = 2²x = (2^x)²». Отримаємо:

(2^x)² - 9∙2^x + 8 = 0

Скористаємося замінною змінної: «2^x = t»:

t² - 9t + 8 = 0

D = (-9)² - 4∙1∙8 = 81 - 32 = 49

t₁ = /-(-9) + √49/2 ∙ 1 = /9 + 7/2 = 8

t₂ = /-(-9) - √49/2 ∙ 1 = /9 - 7/2 = 1

Повернемося до нашої старої змінної.

При «t = 8», отримаємо:

2^x = 8

x = log₂⁡8

x = 3, бо 2³ = 8

При «t = 1», отримаємо:

2^x = 1

x = log₂⁡1

x = 0, бо 2⁰ = 1

Відповідь: 0; 3.

Рівняння, що зводяться за допомогою формул логарифмування до простих

При розв’язуванні складних логарифмічних рівнянь доводиться використовувати багато властивостей логарифму через, що з’являється багато нюансів. Можна виділити декілька порад:

Приклад: lg⁡(x² - x) = 1 - lg ⁡5

Як бачите є декілька логарифмів та число. Воно не збігається із жодним видом простих рівнянь, тому воно є складним.

Перенесемо логарифми в одну сторону:

lg ⁡(x² - x) + lg ⁡5 = 1

Тут варто скористатися логарифмічними перетвореннями:

log_a⁡ b + log_a ⁡c = log_a ⁡bc

Будемо мати:

lg⁡ (x² - x) + lg ⁡5 = 1

lg⁡ (5(x² - x)) = 1

Тепер у нас є просте тригонометричне рівняння вигляду: «log_a⁡ f(x) = b». Розв’яжемо його:

5(x² - x) = 10¹

5(x² - x) = 10

x² - x = /10/5

x² - x = 2

x² - x - 2 = 0

D = (-1)² - 4∙1∙(-2) = 1 + 8 = 9

x₁ = /-(-1) + √9/2 ∙ 1 = /1 + 3/2 = 2

x₂ = /-(-1) - √9/2 ∙ 1 = /1 - 3/2 = -1

Оскільки обмеження можуть бути лише у «lg⁡ (x² - x)», що вираз «x² - x» не може бути меншим за нуль, то підставляємо лише у нього:

При «х = -1»: (-1)² - (-1) = 1 + 1 = 2; - число додатне, тому розв’язок підходить.

При «х = 2»: 2² - 2 = 4 - 2 = 2; - число додатне, тому розв’язок підходить.

Відповідь: -1; 2.

Заміна змінних у логарифмічних рівняннях

Дуже часто, коли у рівнянні є однакові логарифми але у різних степенях використовується замінна змінної «log_a⁡ f(x) = t». Після, чого отримаємо рівняння відносно нової змінної «t». Розв’язавши його необхідно повернутися до старої змінної та розв’язати рівняння відносно неї.

Приклад: log/2/2 ⁡x - 2log₂ ⁡x - 3 = 0

Як видно є вираз «log₂⁡ x» в різних степенях. Виконаємо заміну змінної:

log₂⁡ x = t

Отримаємо нове рівняння:

t² - 2t - 3 = 0

D = (-2)² - 4∙1∙(-3) = 4 + 12 = 16

t₁ = /-(-2) + √16/2 ∙ 1 = /2 + 4/2 = 3

t₂ = /-(-2) - √16/2 ∙ 1 = /2 - 4/2 = -1

Повернемося до старої змінної та розв’яжемо рівняння відносно неї.

При «t = 3»:

log₂⁡ x = 3

x = 2³

x = 8

При «t = -1»:

log₂ ⁡x = -1

x = 2^-1

x = /1/2

Відповідь: /1/2; 8.