Ми вже розглядали базові методи розв’язування лінійних та квадратних рівнянь. Також, ми вже розглянули основні методи як зводити рівняння до лінійних та квадратних. А, саме, методи заміни змінної, методи групування тощо.

Зараз ми розглянемо ще декілька варіантів рівнянь та методи якими їх можна звести до лінійних або квадратних.

Зворотні (симетричні) рівняння

Якщо ми маємо рівняння вигляду:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

При цьому, виконується умова:

/e/a = (/d/b)²

Тоді, таке рівняння називають «симетричним» (зворотнім). Для того, щоб розв’язати дане рівняння потрібно його поділити на «x²»:

#ax⁴#x² + #bx³#x² + #cx²#x² + #dx#x² + #e#x² = 0

ax² + bx + c + /d/x + #e#x² = 0

Тепер, виконуємо групування елементів «a» та «e» і «b» та «d».

(ax² + #e#x²) + (bx + /d/x) + c = 0

З перших дужок нам варто винести «a», а з других «b». Пам’ятаємо, що коли ми виносимо елемент за дужки, то на нього необхідно поділити (він записується у знаменник):

a(x² + #e#ax²) + b(x + /d/bx) + c = 0

Зауважимо, що в перших дужках ми маємо вираз «/e/a». При цьому пам’ятаємо, що: «/e/a = (/d/b)² = #d²#b²». Отже, можна їх взаємно замінити:

a(x² + #d²#b² x²) + b(x + /d/bx) + c = 0

В перших дужках ми маємо частину від формули скороченого множення «(a + b)² = a² + 2ab + b²» або «(a - b)² = a² - 2ab + b²». Формулу обираємо залежно від знаку в других дужках.

x² + #d²#b² x² = x² + (/d/bx)²

Як бачите, ми маємо «a²» та «b²» і нам не вистачає «2ab». Ми можемо його додати та відняти одночасно. Якщо будемо додавати, то отримаємо «(a + b)²», а якщо віднімати, то «(a - b)²».

x² + (/d/bx)² => x² ± 2x∙/d/bx + (/d/bx)² ∓ 2x∙/d/bx => (x ± /d/bx)² ∓ 2∙/d/b

Зауважте, що ми мали «2x ∙ /d/bx» і «x» в чисельнику та знаменнику скоротилися.

Отже, тепер наш приклад набув такого вигляду:

a((x ± /d/bx)² ∓ 2∙/d/b) + b(x+/d/bx) + c = 0

Враховуючи, що ми маємо однакові вирази «x + /d/bx» (пам’ятайте, що потрібно зробити однакові знаки), то ми можемо їх замінити на якусь нову змінну:

t = x + /d/bx

Після чого, наше рівняння набуде вигляду:

a(t² ∓ 2∙/d/b) + bt + c = 0

А, дане рівняння є квадратним. Залишається його розв’язати та повернутися до заміни.

Припустимо, що розв’язками даного рівняння в нас є «t₁» та «t₂», тому повернувшись до заміни «t = x + /d/bx», матимемо:

x + /d/bx = t₁

x + /d/bx = t₂

Дане рівняння є дробово-раціональним. Розв’язуємо його та знаходимо значення змінної «x».

Приклад: розв’язати рівняння «x⁴ - 2x³ - 6x² - 2x + 1 = 0».

В першу чергу нам варто виписати коефіцієнти «a», «b», «c», «d», «e». Це необхідно для того, щоб перевірити умову зворотності (симетричності).

a = 1; b = -2; c = -6; d = -2; e = 1

Тепер, перевіримо умову зворотності: «/e/a = (/d/b)²».

/e/a => /1/1 = 1

(/d/b)² => (/-2/-2)² = (1)² = 1

Оскільки, в обох випадках ми отримали «1», то дане рівняння є зворотним.

Поділимо його на «x²»:

x⁴ - 2x³ - 6x² - 2x + 1 = 0 |∶x²

#x⁴#x² - 2 #x³#x² - 6 #x²#x² - 2 #x#x² + #1#x² = 0

x² - 2x - 6 - 2 /1/x + /1/x² = 0

Згрупуємо числа, які знаходяться біля «a» та «e» (в такому випадку це «x²» та «#1#x²»), а також згрупуємо числа біля «b» та «d» (це «-2x» та «-2 /1/x»).

(x² + #1#x²) + (-2x - 2 /1/x) - 6 = 0

Винесемо спільні множники. В перших дужках це «1», тому ми цим нехтуємо. А, в других дужках це «-2», тому виносимо.

(x² + #1#x²) - 2(x + /1/x) - 6 = 0

З перших дужок зробимо формулу скороченого множення:

x² + #1#x² => x² + 2∙x∙/1/x + #1#x² - 2∙x∙/1/x => (x + /1/x)² - 2

Тепер, наше рівняння матиме вигляд:

((x + /1/x)² - 2) - 2(x + /1/x) - 6 = 0

Виконаємо заміну змінної:

x + /1/x = t

Після чого отримаємо рівняння з новою змінною:

(t² - 2) - 2t - 6 = 0

Розкриваємо дужки та спрощуємо.

t² - 2 - 2t - 6 = 0

t² - 2t - 8 = 0

Отримали повне квадратне рівняння розв’язками якого будуть числа:

t₁ = -2; t₂ = 4

Після чого, нам необхідно повернутися до заміни та розв’язати нові рівняння.

Зауважимо, що рівняння заміни «x + /1/x = t» є дробово-раціональним.

Підставимо перший розв’язок:

x + /1/x = -2

x + /1/x= -2 |∙x; x ≠ 0

x² + 1 = -2x

x² + 2x + 1 = 0

(x + 1)² = 0

x + 1 = 0

x = -1

Підставимо другий розв’язок:

x + /1/x = 4 |∙x; x ≠ 0

x² + 1 = 4x

x² - 4x + 1 = 0

D = (-4)² - 4∙1∙1 = 16 - 4 = 12

x₁ = #-(-4) - 12#2∙1 = #4 - 23#2 = 2 - 3

x₂ = #-(-4) + 12#2∙1 = #4 + 23#2 = 2 + 3

Отже, розв’язками початкового рівняння будуть такі числа: «-1», «2 - 3», «2 + 3».

Рівняння виду «(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = A», де «a + b = c + d»

Рівняння виду «(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = A», ми починаємо з пошуку чисел, які задовольнятимуть рівність «a + b = c + d». Звісно, таку рівність може задовольнити умова «a + c = b + d» тощо.

Після того, як ви знайшли доданки суми яких є рівними, то вам необхідно згрупувати дужки, які містять дані доданки.

Припустимо, в нас виконалася умова «a + b = c + d», тому групування буде таким:

[(x+a)(x+b)][(x+c)(x+d)] = A

Розкриваємо внутрішні дужки:

[x²+ax+bx+ab][x²+cx+dx+cd] = A

В реальному прикладі числа «ax + bx» та «cx + dx» можна буде між собою додати/відняти. В даній же ситуації ми маємо винести «x» за дужки (бо, просто, по іншому не напишемо формулу).

[x²+(a+b)x+ab][x²+(c+d)x+cd] = A

Враховуємо, що:

a + b = c + d

Тому, будемо мати:

[x²+(a+b)x+ab][x²+(a+b)x+cd] = A

В реальному прикладі ви будете це бачити відразу, тут же, потрібно про це нагадати, щоб продемонструвати загальний метод.

Ми зможемо виконати заміну змінної:

x² + (a + b)x = t

Після чого, отримаємо звичайне рівняння:

[t + ab][t + cd] = A

Залишається відкрити дужки. Розв’язати отримане рівняння та повернутися до заміни. Якщо уявити, що розв’язками даного рівняння будуть числа «t₁», «t₂», то ми повертаємося до заміни та отримаємо такі рівняння:

x² + (a + b)x = t₁

x² + (a + b)x = t₂

Розв’язавши дані рівняння ви отримаєте розв’язки початкового рівняння.

Приклад: розв’язати рівняння «(x+1)(x-1)(x-2)(x-4) = 7».

З самого початку, пригадаємо загальний вигляд нашого рівняння. Це є:

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = A

Для нашої зручності напишемо, чому рівні наші коефіцієнти:

a = 1; b = -1; c = -2; d = -4

Тепер, нам потрібно підібрати пари коефіцієнтів таким чином, щоб їх суми були рівними. Це буде:

1 - 4 => -3

-1 - 2 => -3

Отже, в нашому випадку, ми маємо згрупувати першу та останню дужку, а також другу та третю.

[(x+1)(x-4)]∙[(x-1)(x-2)] = 7

Розкриємо внутрішні дужки:

[x²-4x+x-4]∙[x²-2x-x+2] = 7

[x²-3x-4]∙[x²-3x+2] = 7

В обох дужках ми маємо вираз «x² - 3x» замінимо його:

x² - 3x = t

Отримали рівняння відносно нової змінної:

[t - 4]∙[t + 2] = 7

Розкриємо дужки та розв’яжемо отримане рівняння:

t² + 2t - 4t - 8 - 7 = 0

t² - 2t - 15 = 0

t₁ = 5; t₂ = -3

Повертаємося до заміни та розв’яжемо рівняння відносно «x».

При «t = 5»:

x² - 3x = 5

x² - 3x - 5 = 0

D = (-3)² - 4∙1∙(-5) = 9 + 20 = 29

x₁ = #-(-3) + 29#2∙1 = #3 + 29#2

x₂ = #-(-3) - 29#2∙1 = #3 - 29#2

При «t = -3»:

x² - 3x = -3

x² - 3x + 3 = 0

D = (-3)² - 4∙1∙3 = 9 - 12 = -3

D < 0 x ∈ ∅

Отже, розв’язками початкового рівняння будуть числа: «#3 - 29#2», «#3 + 29#2»

Рівняння виду «(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = Ax²», де «a ∙ b = c ∙ d»

Рівняння виду «(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = Ax²», ми починаємо з пошуку чисел, які задовольнятимуть рівність «a ∙ b = c ∙ d». Звісно, таку рівність може задовольнити умова «a ∙ c = b ∙ d» тощо.

Після того, як ви знайшли числа добутки яких є рівними, то вам необхідно згрупувати дужки, які містять дані числа.

Припустимо, в нас виконалася умова «a ∙ b = c ∙ d», тому групування буде таким:

[(x+a)(x+b)]∙[(x+c)(x+d)] = Ax²

Розкриваємо внутрішні дужки:

[x²+ax+bx+ab]∙[x²+cx+dx+cd] = Ax²

В реальному прикладі числа «ax + bx» та «cx + dx» можна буде між собою додати/відняти. В даній же ситуації ми маємо винести «x» за дужки (бо, просто, по іншому не напишемо формулу).

[x²+(a+b)x+ab]∙[x²+(c+d)x+cd] = Ax²

Можна врахувати, що:

ab = cd

Тому, будемо мати:

[x²+(a+b)x+ab]∙[x²+(c+d)x+ab] = Ax²

В реальному прикладі ви будете це бачити відразу, тут же, потрібно про це нагадати, щоб продемонструвати загальний метод.

Поділимо все рівняння на «x²». При цьому варто зауважити, що в лівій частині ми маємо дужки, які між собою множаться. Тому, кожна з дужок буде ділитися не на «x²», а на «x».

Також, важливо розуміти, що треба перевірити чи «x = 0» є коренем початкового рівняння. Якщо так, то потрібно відразу його вказати в якості розв’язку.

Отримаємо:

[#x²#x + /(a + b)x/x + /ab/x]∙[#x²#x + /(c + d)x/x + /ab/x] = A

[x + /ab/x + (a+b)]∙[x + /ab/x + (c+d)] = A

Ми зможемо виконати заміну змінної:

x + /ab/x = t

Після чого, отримаємо звичайне рівняння:

[t + (a + b)][t + (c + d)] = A

Залишається відкрити дужки. Розв’язати отримане рівняння та повернутися до заміни. Якщо уявити, що розв’язками даного рівняння будуть числа «t₁», «t₂», то ми повертаємося до заміни та отримаємо такі рівняння:

x + /ab/x = t₁

x + /ab/x = t₂

Розв’язавши дані рівняння ви отримаєте розв’язки початкового рівняння.

Приклад: розв’язати рівняння «(x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4x²».

Для нашої зручності випишемо коефіцієнти:

a = 2; b = 3; c = 8; d = 12

Та знайдемо пари чисел добутки яких будуть рівні. В такому випадку це:

2 ∙ 12 = 24

3 ∙ 8 = 24

Отже, потрібно згрупувати дужки, які містять дані числа. Тобто, групуємо першу та четверту дужку, а також другу та третю. Матимемо:

[(x+2)(x+12)][(x+3)(x+8)] = 4x²

Розкриємо внутрішні дужки:

[x²+12x+2x+24][x²+8x+3x+24] = 4x²

[x²+14x+24][x²+11x+24] = 4x²

Тепер, поділимо все рівняння на «x²», при цьому варто пам’ятати, що дужки в лівій частині будуть ділитися на «x». Це пов’язано з тим, що ми маємо там два множники. Відповідно, кожен з них забирає якусь частинку собі.

[x²+14x+24][x²+11x+24] = 4x² |∶x²

[#x²#x+/14x/x+/24/x][#x²#x+/11x/x+/24/x] = 4

[x+/24/x+14][x+/24/x+11] = 4

Виконаємо заміну змінної:

x + /24/x = t

Тепер, отримали рівняння відносно нової змінної:

[t + 14][t + 11] = 4

t² + 14t + 11t + 154 - 4 = 0

t² + 25t + 150 = 0

D = /25² - 4∙1∙150 = 625 - 600 = 25

t₁ = #-25 + 25#2∙1 = /-25 + 5/2 = /-20/2 = -10

t₂ = #-25 - 25#2∙1 = /-25 - 5/2 = /-30/2 = -15

Повертаємося до заміни змінної:

При «t = -10»:

x + /24/x = - 10

Помножимо дане рівняння на «x», перенесемо все в одну частину та розв’яжемо його:

x + /24/x = -10 | ∙x

x² + 10x + 24 = 0

x₁ = -4; x₂ = -6

При «t = -15»:

x + /24/x = -15

Помножимо дане рівняння на «x», перенесемо все в одну частину та розв’яжемо його:

x + /24/x = -15 | ∙x

x² + 15x + 24 = 0

D = 15² - 4∙1∙24 = 225 - 96 = 129

x₁ = #-15 + 129#2

x₂ = #-15 - 129#2

Приклад: розв’язати рівняння «(x²-8x+12)(x²-7x+12) = 30x²».

Зверніть увагу, що у нас лише дві дужки. В кожній із даних дужок ми маємо квадратний тричлен. Якщо, ви маєте таку ситуацію, або одна з дужок є формулою скороченого множення, то вам необхідно розбити їх на окремі дужки.

Но не поспішайте це робити! Подивіться на вільні члени виразу. В нашому випадку вони є однаковими «12». Тому, це означає, що наші дужки вже є згрупованими! Далі, вам відразу необхідно поділити на «x²» та продовжити розв’язувати дане рівняння.