Тригонометричні рівняння. Методи розв'язування

Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

1.Метод розкладання на множники

У випадках, коли є рівняння «f(x) = 0», при чому функцію «f(x)» можна розкласти на множники «f₁(x) ∙ f₂(x) ∙ … ∙ f_n(x) = 0», то розв'язати таке рівняння можна прирівнявши кожен з множників до нуля: «f₁(x) = 0», «f₂(x) = 0», …, «f_n(x) = 0». Оскільки добуток кількох множників дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників.

Після розв’язання таких прикладів варто перевірити отримані розв’язки чи задовольняють вони ОДЗ початкового рівняння. Наприклад чи при розв’язку знаменник не перетворюється у нуль або під коренем парного степеня не утворюється від’ємне число.

Наприклад: sin ⁡2x - 3cos⁡ x = 0

Розкладемо «sin⁡2x» за правилом подвійного аргументу: «sin ⁡2x = 2sin ⁡x · cos⁡ x».

2sin ⁡x · cos⁡ x - 3cos ⁡x = 0

Винесемо «cos x» за дужки:

cos ⁡x ∙ (2sin ⁡x - 3) = 0

Після цього можна розбити рівняння на декілька. Для цього прирівняємо кожен множник до нуля.

1) cos⁡ x = 0 i 2) 2sin ⁡x - 3 = 0

Розв’яжемо кожне рівняння по черзі:

1) cos ⁡x = 0

x = /π/2 + πn, n ∈ Z

2) 2 sin⁡ x - 3 = 0

2 sin⁡ x = 3

sin⁡ x = /3/2

Оскільки «/3/2 > 1», то розв’язків не має.

Відповідь: «x = /π/2 + πn, n ∈ Z»

2. Заміна змінних у тригонометричних рівняннях

Якщо у тригонометричному рівнянні є лише одна тригонометрична функція з одним аргументом (або можна перетворити у такий вигляд), то її можна замінити на нову змінну.

Наприклад: cos² x - 5cos ⁡x + 4 = 0

Отже, у цьому прикладі ми маємо лише одну функцію («cos») і у неї однаковий аргумент (це є важливо!). Тому можна замінити «cos x» на якусь нову змінну, наприклад на «t». Отримаємо:

t² - 5t + 4 = 0

Тепер залишається розв’язати отримане рівняння. Це є квадратним рівнянням. Як розв’язувати читайте тут. Ми ж відразу напишемо розв’язки: «t₁ = 1», «t² = 4».

Тепер повертаємося до старої змінної. Будемо мати такі рівняння: «cos⁡ x = 1», «cos ⁡x = 4».

Рівняння «cos ⁡x = 4» розв’язків не має.

Залишається розв’язати рівняння «cos ⁡x = 1». Будемо мати:

x = 2πn, n ∈ Z

3. Зведення до однієї функції одного аргументу

Дуже часто зустрічаються тригонометричні рівняння в яких присутні декілька тригонометричних функцій або є функції з різними аргументами. В таких випадках необхідно використовувати тригонометричні формули (їх перелік читайте тут). Якогось єдиного способу не має. Для різних прикладів необхідно застосовувати різний підхід. Але задача у вас лише одна, зробити одну функцію одного аргументу.

У випадках, коли маємо лише «tg x» та «ctg x» виконуємо заміну «ctg x = /1/tg x».

Якщо у рівнянні є лише «sin x» та «cos x» при цьому будь яка з цих функцій є у парному степені, то необхідно скористатися тотожністю «sin²x + cos²⁡x = 1» і виразити з відти функцію яка у рівнянні є у парному степені. Після чого підставити у рівняння.

Якщо у рівнянні є функція з подвійним аргументом, то застосовуємо формули перетворення подвійного аргументу.

У випадку коли маємо «cos 2x» та «cos x» застосовуємо «cos⁡ 2x = 2cos²x - 1». Після чого використовують заміну змінної «cos x = t».

У випадку коли маємо «cos 2x» та «sin x» застосовуємо «cos⁡ 2x = 1 - 2sin²x». Після чого використовують заміну змінної «sin x = t».

Таких варіантів є доволі багато. Тому необхідно вивчити формули перетворення. Читайте про них тут.

Також часто використовують формули пониження степеня «sin²⁡x = /1 - cos ⁡2x/2» та «cos²⁡x = /1 + cos⁡ 2x/2».

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1: 4cos²⁡ x + 4sin x - 1 = 0

Для того щоб отримати рівняння з однією функцією скористаємося тотожнім перетворенням «sin²⁡x + cos²x = 1» та виразити «cos²⁡x». Отримаємо: «cos²⁡x = 1 - sin²⁡x». Після чого підставимо у наше рівняння.

4(1 - sin²⁡x) + 4sin⁡x - 1 = 0

4 - 4sin²⁡x + 4sin⁡x - 1 = 0

-4sin²⁡x + 4sin⁡x + 3 = 0

Виконаємо заміну змінної «sin x = t». Після чого залишається розв’язати рівняння відносно нової змінної та підставити ці розв’язки у стару змінну.

-4t² + 4t + 3 = 0

t₁ = 1/1/2, t₂ = -/1/2

Повертаємося до старої змінної та отримаємо такі розв’язки:

При «t = 1/1/2» рівняння «sin ⁡x = 1/1/2» розв’язків не має.

При «t = -/1/2» рівняння «sin ⁡x = -/1/2» буде мати такий розв’язок:

x = (-1)^{n + 1} /π/6 + πn, n ∈ Z

Приклад 2: 1sin²⁡x = ctg x + 3

В цьому прикладі можна скористатися тригонометричною тотожністю «1sin²⁡x = 1 + ctg²x».

1 + ctg² x = ctg x + 3

Перенесемо все в одну частину та виконаємо спрощення (додавання та віднімання однакових членів рівняння).

1 + ctg² x - ctg x - 3 = 0

ctg² x - ctg x - 2 = 0

Тепер залишається виконати замінну змінної «ctg x = t» та розв’язати рівняння відносно нової змінної. Після чого повернутися до старої.

t² - t - 2 = 0

t₁ = -1; t₂ = 2

При «t₁ = -1» рівняння «ctg x = -1» має такі розв’язки:

x= π - arcctg 1 + πn, n ∈ Z

x = π - /π/4 + πn, n ∈ Z

x = /3π/4 + πn, n ∈ Z

При «t₂ = 2» рівняння «ctg x = 2» має такі розв’язки:

x = arcctg 2 + πn, n ∈ Z

4. Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до однорідних

Тригонометричне рівняння виду:

a · sin ⁡x + b · cos ⁡x = 0

Де «a» і «b» - довільні числа, при тому «a ≠ 0» і «b ≠ 0», називають однорідним тригонометричним рівнянням 1-го степеня відносно «sin ⁡x» і «cos ⁡x». При цьому важливий момент в тому, що не має більше жодних чисел!

В таких прикладах необхідно знайти «х» при яких буде виконуватися така властивість: «a sin⁡ x = -b cos⁡ x» (або «b cos⁡ x = -a sin⁡ x»). Або намагатися знайти такий «х» при якому виконується таке «sin ⁡x = 0» та «cos ⁡x = 0» одночасно.

Так розв’язувати вам ніхто не забороняє, але є на багато простіший спосіб. Необхідно таке рівняння розділити на «sin x» або «cos x».

Отже будемо мати.

При ділені на «sin x»:

a sin ⁡x + b cos ⁡x = 0 | ∶ sin ⁡x

a/sin ⁡x/sin ⁡x + b/cos ⁡x/sin ⁡x = 0

Після, чого варто скористатися властивістю «ctg x = /cos ⁡x/sin ⁡x», a «/sin ⁡x/sin ⁡x = 1». Отже отримаємо:

a + b ctg x = 0

Далі розв’язуємо отримане рівняння як найпростіше («ctg x = a»). Детальніше читайте тут.

При ділені на «cos x»:

a sin ⁡x + b cos⁡ x = 0 | ∶ cos ⁡x

a/sin ⁡x/cos ⁡x + b/cos⁡ x/cos ⁡x = 0

Після, чого варто скористатися властивістю «tg x = /sin ⁡x/cos ⁡x», a «/cos⁡ x/cos ⁡x = 1». Отже отримаємо:

a tg x + b = 0

Далі розв’язуємо отримане рівняння як найпростіше («tg x = a»). Детальніше читайте тут.

Наприклад: 4cos 2x – sin 2x = 0

Отже, ми маємо функцію «sin» та «cos» одного аргументу «2x» і більше не має жодних зайвих чисел. Тому можемо розділити все рівняння на «sin» або «cos», при цьому аргумент береться такий же. Оскільки з «tg» працювати на багато простіше (у випадку, коли буде арктангенс від’ємного числа, то потрібно буде лише винести «-»), тому розділимо рівняння на «cos».

4 cos 2x – sin 2x = 0 | : cos 2x

4/cos 2x/cos 2x - /sin 2x/cos 2x = 0

4 - tg 2x = 0

Як помітно ми отримали рівняння лише з однією тригонометричною функцією «tg». Залишається його розв’язати. Детальніше можете прочитати тут (просте тригонометричне рівняння вигляду «tg x = a»).

Результат буде таким:

x = /1/2 arctg 4 + /πn/2, n ∈ Z

Також часто зустрічаються приклади такого виду:

a₁sinⁿ ⁡x + a₁sin^{n - 1}⁡x · cos ⁡x + ⋯ + a_{n - 1}sin⁡ x · cos^{n - 1}⁡x + a_ncosⁿx = 0

Де «a₁», «a₂», …, «a_n» - дійсні числа, які одночасно не дорівнюють нулю, називають однорідним тригонометричним рівнянням n–го степеня відносно «sin x» і «cos x».

Цей тип прикладів можна відрізнити від інших за степенем тригонометричних функцій. У всіх доданках сума степенів є завжди рівною.

Такий тип прикладів розв’язується аналогічно до попереднього. Різниця полягає лише в тому, що необхідно тепер ділити не просто на «sin x» чи «cos x», а на «sinⁿ x» або «cosⁿ ⁡x».

Розв’яжемо декілька таких прикладів.

Приклад 1: 2sin²⁡x - cos²⁡x = 0

Степені біля наших функцій є однаковими, тому можемо розділити приклад на «cos² ⁡x» (оскільки максимальний степінь «2», то і ділимо на максимальний степінь), після чого отримаємо:

2sin²⁡x - cos²⁡x = 0 | ∶ cos²⁡x

2sin²⁡xcos²⁡x - cos²⁡xcos²⁡x = 0

2tg²x - 1 = 0

tg²x = /1/2

Тут можна використати заміну змінної або продовжити розв’язувати при старій змінній.

tg x = ± /1/2 = ±/1/√2/ = ±/√2/2

x₁ = arctg/√2/2 + πn, n ∈ Z

x₂ = -arctg/√2/2 + πn, n ∈ Z

Приклад 2: sin²⁡x - 5sin ⁡x · cos ⁡x + 6cos²⁡x = 0

Для перевірки чи це є однорідне рівняння достатньо переконатися, що суми степенів тригонометричних функцій однакові.

Отже, «sin²⁡x» степінь «2», «sin x · cos x» степінь «1 + 1 = 2», «cos²⁡x» степінь «2».

Після того як переконалися, що це однорідне рівняння розділимо його на «cos²⁡x» (оскільки максимальний степінь «2», то і ділимо на максимальний степінь).

Отримаємо:

sin²⁡x - 5sin ⁡x · cos⁡ x + 6cos²⁡x = 0 | ∶ cos²⁡x

sin²⁡xcos²⁡x - 5sin⁡ x · cos ⁡xcos²⁡x + 6cos²⁡xcos²⁡x = 0

tg²x - 5tg x + 6 = 0

Отримали рівняння з однією функцією з одним аргументом. Тепер варто виконати заміну змінної «tg x = t».

Будемо мати:

t² - 5t + 6 = 0

Розв’язками квадратного рівняння будуть такі: «t₁ = 2», «t₂ = 3». Після чого необхідно повернутися до старої змінної. Та розв’язати рівняння відносно неї.

При «t₁ = 2», матимемо:

tg x = 2

x = arctg 2 + πn, n ∈ Z

При «t₂ = 3», матимемо:

tg x = 3

x = arctg 3 + πn, n ∈ Z

Зведення до однорідних рівнянь

Деколи доводиться виконувати тригонометричні перетворення (читайте про них тут) для того щоб отримати однорідне рівняння.

Приклад 3: 2sin²⁡x + 7cos⁡ x + 2 = 0

Тут можна скористатися тригонометричною тотожністю: «sin²⁡x + cos²⁡x = 1» та виразити «sin²⁡x». Отже, будемо мати: «sin²⁡x = 1 - cos²⁡x».

2∙(1 - cos²⁡x) + 7cos ⁡x + 2 = 0

2∙1 - 2cos²⁡x + 7cos⁡ x + 2 = 0

-2cos²⁡x + 7cos⁡ x + 4 = 0

Після, чого залишається скористатися заміною змінних: «cos x = t» та розв’язати рівняння відносно нової змінної.

-2t² + 7t + 4 = 0

Розв’язки цього рівняння такі: «t₁ = -/1/2», «t₂ = 4».

Оскільки косинус обмежена функція, то варіант «cos x = 4» розв’язків не має. Залишається розв’язати лише «cos ⁡x = -/1/2».

cos⁡x = -/1/2

x = ±(π - arccos⁡/1/2) + 2πn, n ∈ Z

x = ±(π - /π/3) + 2πn, n ∈ Z

x = ±/2π/3 + 2πn, n ∈ Z

Приклад 4: 2cos ⁡x - cos ⁡2x - cos²⁡ x = 0

У цьому прикладі можна скористатися формулою подвійною аргументу «cos⁡ 2x = 2cos²⁡ x - 1». Будемо мати:

2cos⁡ x - (2cos² ⁡x - 1) - cos² ⁡x = 0

2cos ⁡x - 2cos²⁡ x + 1 - cos²⁡ x = 0

-3cos² ⁡x + 2cos⁡ x + 1 = 0

Виконуємо заміну змінної «cos x = t» та розв’яжемо рівняння відносно нової змінної.

-3t² + 2t + 1 = 0

Отримаємо такі розв’язки: «t₁ = 1», «t₂ = -/1/3»

При «t₁ = 1» будемо мати такий розв’язок:

cos⁡ x = 1

x = 2πn, n ∈ Z

При «t₂ = -/1/3» будемо мати такий розв’язок:

cos ⁡x = -/1/3

x= ±(π - arccos⁡/1/3) + 2πn, n ∈ Z

5. Рівняння виду «a∙sin x + b∙cos x = c»

Однорідне тригонометричне рівняння це рівняння у якому є лише тригонометричні функції. Відповідно не однорідне рівняння це те у якому крім функцій є ще числа. З такими прикладами працювати буває доволі проблематично. Розглянемо два способи як їх можна розв’язати.

Перший спосіб заключається в тому щоб перетворити числа «a» та «b» на «sin» та «cos» одного кута. Після чого використати формули додавання тригонометричних функцій. Для цього все рівняння «a∙sin x + b∙cos x = c» необхідно поділити на «a² + b²» і отримаємо такий запис:

aa² + b²·sin x + ba² + b²·cos x = ca² + b²

Після чого ми можемо замінити наші вирази так:

cos⁡ y = aa² + b²; sin⁡ y = ba² + b²

Не обов’язково заміняти саме так. Ви можете зробити таку заміну:

s⁡in y = aa² + b²; cos y = ba² + b²

Різниця буде лише в тому, що у першому варіанті заміни необхідно буде використовувати формули додавання кутів у синусі («sin⁡(x + y)»), а в другому випадку в косинусі («cos⁡(x + y)»). Вибір лише за вами!

Тепер рівняння набуде такого вигляду:

cos⁡ y · sin⁡ x + sin ⁡y · cos ⁡x = ca² + b²

Скориставшись формулами додавання (детальніше читайте тут) отримаємо:

sin⁡(x + y) = ca² + b²

Приклад: 2sin⁡ x - 3cos ⁡x = 2

Наший коефіцієнт «а = 2» (знаходиться біля синуса), коефіцієнт «b = -3» (ми будемо використовувати «b = 3») (знаходиться біля косинуса), відповідно «c = 2» (вільний член рівняння).

Розділимо наше рівняння на «a² + b² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13».

213sin ⁡x - 313cos⁡ x = 213

Перепишемо наші вирази так «sin ⁡y = 313», «cos⁡ y = 213». Після чого наше рівняння набуває такого вигляду:

sin⁡ x · cos ⁡y - cos ⁡y · sin ⁡x = 213

Тут під «у» маємо на увазі якийсь кут при якому виконуються данні рівності: «sin⁡ y = 313», «cos ⁡y = 213».

Як бачите, без калькулятора таким способом розв'язувати приклади буває не зовсім зручно. Тому використовувати його є не завжди доцільним.

Наступним кроком має бути застосування формули додавання (в нашому випадку віднімання):

sin ⁡x · cos ⁡y - cos ⁡y · sin ⁡x = sin⁡(x - y)

Після чого отримаємо просте тригонометричне рівняння:

sin⁡(x - y) = 213

Подальше розв’язування йде як звичайного тригонометричного рівняння.

x - y = (-1)ⁿarcsin⁡213 + πn, n ∈ Z

x = (-1)ⁿarcsin⁡213 + y + πn, n ∈ Z

Розглянемо ще один такий приклад: √3sin⁡ x + cos ⁡x = 2

Отже, маємо такі коефіцієнти: «a = √3», «b = 1», «c = 2».

a² + b² = (√3)²+1² = 3 + 1 = 4 = 2

/√3/2sin ⁡x + /1/2cos ⁡x = /2/2

Виконаємо заміну:

cos/π/6 = /√3/2; sin⁡/π/6 = /1/2

Після чого будемо мати такий вигляд нашого рівняння:

sin⁡ x · cos/π/6⁡ + cos⁡ x · sin/π/6⁡ = 1

Скористаємося формулою додавання, після чого отримаємо:

sin⁡(x + /π/6) = 1

x + /π/6 = /π/2 + 2πn, n ∈ Z

x = /π/2 - /π/6 + 2πn, n ∈ Z

x = /π/3 + 2πn, n ∈ Z

Другий спосіб заключається у тригонометричних перетвореннях. Необхідно буде виконати такі заміни:

sin⁡ x = 2sin⁡/x/2 · cos⁡/x/2

cos⁡ x = cos²/x/2 - sin²/x/2

1 = sin²/x/2 + cos²/x/2 (в нашому випадку: c = c · sin²⁡/x/2 + c · cos²⁡/x/2)

Врахувавши перетворення отримаємо таке рівняння:

2a·sin/x/2 · cos/x/2 + b·cos²/x/2 - b·sin²/x/2 = c·sin²⁡/x/2 + c·cos²/x/2

Перенесемо все в одну сторону, після чого отримаємо однорідне рівняння другого роду.

(-b - c)·sin²⁡/x/2 + 2a·sin⁡/x/2 · cos⁡/x/2 + (b - c)·cos²⁡/x/2 = 0

Розглянемо це на прикладі з попереднього способу.

2sin⁡ x - 3cos ⁡x = 2

Скористаємося нашими замінами:

sin⁡ x = 2sin⁡/x/2 · cos⁡/x/2

cos ⁡x = cos²⁡/x/2 - sin²⁡/x/2

2 = 2sin²⁡/x/2 + 2cos²⁡/x/2

Після чого наше рівняння набуде такого вигляду:

2∙2sin⁡/x/2 · cos⁡/x/2 - 3(cos²⁡/x/2 - sin²⁡/x/2) = 2sin²⁡/x/2 + 2cos²⁡/x/2

Перенесемо все в одну частину та розкриємо дужки.

4sin⁡/x/2 · cos⁡/x/2 - 3cos²⁡/x/2 + 3sin²⁡/x/2 - 2sin²⁡/x/2 - 2cos²⁡/x/2 = 0

Тепер, якщо виконати спрощення (додавання та віднімання однакових доданків), то отримаємо однорідне рівняння другого роду.

sin²⁡/x/2 + 4sin⁡/x/2 · cos⁡/x/2 - 5cos²⁡/x/2 = 0

Опираючись на попередній матеріал ми вже знаємо, що необхідно все наше рівняння розділити на «cos²⁡/x/2». Після чого отримаємо рівняння з однією змінною.

tg²/x/2 + 4tg /x/2 - 5 = 0

Скористаємося заміною змінної «tg/x/2 = t».

t² + 4t - 5 = 0

Розв’язками цього квадратного рівняння такі: «t₁ = 1», «t₂ = -5».

Повернемося до старої заміни і будемо мати:

При «t₁ = 1» отримаємо «tg /x/2 = 1»:

/x/2 = /π/2 + πn, n ∈ Z

x = π + 2πn, n ∈ Z

При «t₂ = -5» отримаємо «tg /x/2 = -5»:

/x/2 = -arctg 5 + πn, n ∈ Z

x = -2arctg 5 + 2πn, n ∈ Z