При розв’язуванні показникових систем вам доведеться використовувати всі властивості степеня, властивості кореня, базові методи розв’язування систем та методи розв’язування показникових рівнянь.

Зазвичай схема розв’язування показникових систем виглядає приблизно так:

Що ж, тепер спробуємо розібратися на практиці.

Розв’язати систему рівнянь: {3^{x - 2y} = /1/33^x + 3^2y = 4√3

Спробуємо звести наші рівняння до вигляду «a^f(x) = a^g(x)». В першому рівнянні ми зможемо праву частину «/1/3» звести до основи «3». Для цього скористаємося властивістю степеня «a^{- n} = 1aⁿ». Отже, матимемо: «/1/3 = 3^-1». Тоді, наше перше рівняння набуде такий вигляд:

3^{x - 2y} = 3^-1

Тобто, ми звели його до вигляду «a^f(x) = a^g(x)». Друге ж рівняння нам не вдасться звести до такого вигляду, оскільки ми маємо там додавання в лівій частині та в правій число «4» яке не вдасться звести до основи «3». Тому, продовжимо працювати з першим рівнянням.

3^{x - 2y} = 3^-1

x - 2y = -1

Виразимо звідси змінну «х»:

x = 2y - 1

Тепер, наша система має такий вигляд:

{x = 2y - 13^x + 3^2y = 4√3

Підставимо замість «х» в друге рівняння вираз «2у – 1»:

3^{2y - 1} + 3^2y = 4√3

Отримали показникове рівняння. Розв’яжемо його:

3^{2y - 1} + 3^2y = 4√3

3^2y ∙/1/3 + 3^2y = 4√3

3^2y (/1/3 + 1) = 4√3

3^2y ∙/4/3 = 4√3

3^2y = 4√3 ∶ /4/3 = 4√3 ∙/3/4 = 3√3

3^2y = 3 ∙ 3^1₂ = 3^{1 + 0,5} = 3^1,5

2y = 1,5

y = 1,5 ∶ 2

y = 0,75 = /3/4

Ми знайшли змінну «у». Тепер повернемося до рівняння де виразили «х» та знайдемо його.

x = 2 ∙ 0,75 - 1 = 1,5 - 1

x = 0,5

Напишемо відповідь у вигляді «(х; у)»:

(0,5; 0,75)

Розв’язати систему рівнянь: {5^x - 6^y = 5895^x₂ + 6^y₂ = 31

Як помітно в обох рівняннях ми маємо додавання/віднімання виразів. При цьому обидва числа є різними («5» та «6») і їх ми не зможемо звести до однієї основи. Спробуємо зробити їх однаковими в обох рівняннях (адже, маємо різні степені).

Ми знаємо правило, якщо будь-яке число одночасно помножити та поділити на одне і теж число, то нічого не зміниться. Тобто, якщо ми маємо якесь число «a», то зможемо його записати так: «a = /ab/b».

Відповідно, «х» та «у» у першому рівнянні ми зможемо записати так:

x = /2x/2 = /x/2 ∙ 2

y = /2y/2 = /y/2 ∙ 2

Тоді, наша система набуде такого вигляду:

{5^{x₂ ∙ 2} - 6^{y₂ ∙ 2} = 5895^x₂ + 6^y₂ = 31

В першому рівнянні ми маємо множення степенів. Тому, можна скористатися властивістю степеня «(aⁿ)^m = a^{n ∙ m}», після чого отримаємо такий вигляд:

{(5^x₂)² - (6^y₂)² = 5895^x₂ + 6^y₂ = 31

Як помітно, тепер ми маємо однакові вирази в першому та другому рівнянні. Ми можемо скористатися заміною змінних або ж продовжити розв’язувати систему в даному вигляді.

Скористаємося заміною змінних (так просто легше записувати і система тоді візуально стає простою).

{5^x₂ = a6^y₂ = b

Врахувавши заміну, наша система набуває такого вигляду:

{a² - b² = 589a + b = 31

Зараз є два варіанти:

Перший спосіб є доволі очевидний, тому використаємо другий спосіб:

{/(a - b)(a + b) = 589/a + b = 31

Як помітно в першому рівнянні ми маємо вираз «a + b», а в другому рівнянні цей же вираз є рівним «31». Тому, ми можемо замість нього в перше рівняння підставити «31».

{/31(a - b) = 589/a + b = 31

Та поділити ліву і праву частину першого рівняння на «31».

{/a - b = 19/a + b = 31

Отримали систему лінійних рівнянь з двома змінними. Розв’яжемо її методом додавання:

a - b + a + b = 19 + 31

2a = 50

a = 25

Підставимо дане число у друге рівняння:

25 + b = 31

b = 31 - 25

b = 6

Залишається лише повернутися до старих змінних:

{5^x₂ = 256^y₂ = 6

Ми отримали два показникових рівняння. Розв’яжемо їх.

Перше рівняння:

5^x₂ = 25

5^x₂ = 5²

/x/2 = 2

x = 4

Друге рівняння:

6^y₂ = 6

/y/2 = 1

y = 2

Отже, матимемо таку пару розв’язків:

(4; 2)

Розв’язати систему рівнянь: {2^x ∙ 3^y = 242^y ∙ 3^x = 54

Як помітно, ми маємо чотири різних вирази у степені («2^x», «3^y», «2^y», «3^x»). В такій ситуації виразити, щось буде доволі складно. Тому, спробуємо поділити перше рівняння на друге. Отримаємо:

2^x ∙ 3^y2^y ∙ 3^x = /24/54

В лівій частині ми маємо у чисельнику та знаменнику множники. Для нашої зручності розіб’ємо лівий дріб на два окремі. Розбивати будемо по однакових степенях. А, в правій частині скоротимо числа «24» та «54» на «6». Матимемо:

2^x3^x ∙ 3^y2^y = /4/9

В лівій частині винесемо спільний степінь за дужки. А, в правій напишемо «4 = 2²» та «9 = 3²» і винесемо спільний степінь за дужки.

(/2/3)^x ∙ (/3/2)^y = (/2/3)²

В лівій частині ми бачимо, що у нас є майже однакові дроби. Єдине, що ми маємо поміняні місцями чисельник та знаменник. Враховуючи, що ми вже маємо два дроби «/2/3», то буде на багато зручніше перевернути саме «/3/2». Пам’ятаємо, якщо число перевертається, то його степінь міняє свій знак на протилежний. Отримаємо:

(/2/3)^x ∙ (/2/3)^{- y} = (/2/3)²

В лівій частині у нас є множення однакових чисел. Скористаємося властивістю степеня «aⁿ ∙ a^m = a^{n + m}» та отримаємо:

(/2/3)^{x - y} = (/2/3)²

Отже, ми отримали показникове рівняння вигляду «a^f(x) = a^g(x)», враховуючи це ми зможемо записати «f(x) = g(x)». Матимемо:

x - y = 2

Звідси, ми можемо виразити будь-яку зі змінних. Виразимо «х»:

x = y + 2

Тепер, ми можемо підставити даний вираз («у + 2» замість «х») у будь-яке з початкових рівнянь. Підставимо у перше рівняння:

2^{y + 2} ∙ 3^y = 24

Отримали показникове рівняння. Розв’яжемо його:

2^y ∙ 2² ∙ 3^y = 24

(2 ∙ 3)^y ∙ 4 = 24

6^y = 24 ∶ 4

6^y = 6

y = 1

Ми знайшли значення змінної «у». Підставимо це значення у вираз «х = у + 2» та знайдемо «х».

x = 1 + 2

x = 3

Отже, маємо таку пару розв’язків:

(3; 1)