Квадратні рівняння
Загальний вигляд квадратного рівняння
Квадратним рівнянням називають рівняння виду:
ax2 + bx + c = 0 (1)
де - змінна, а коефіцієнти - деякі числа, причому
Квадратне рівняння, у якого коефіцієнт «а» = 1, називають зведеним квадратним рівнянням.
Якщо в квадратному рівнянні (1) хоча б один з коефіцієнтів «b» або «c» дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.
Приклади квадратних рівнянь:
2x2 + 5x - 7 = 0;
x2 - 2x + 1 = 0;
x2 + 4 = 0;
3x2 + 4x = 0;
7x2 = 0
Розв'язування повних квадратних рівнянь
Розглянемо схему розв’язання квадратного рівняння:
ax2 + bx + c = 0
де
Щоб розв’язати таке квадратне рівняння нам необхідно в першу чергу знайти дискримінант (його позначають так Дискримінант шукаємо за такою формулою:
D = b2 - 4ac
де - коефіцієнти рівняння.
Коефіцієнти прив’язані до певних місць завжди стоїть біля біля звичайне число яке стоїть без
Наприклад, у рівнянні:
3x2 - 4x + 1 = 0;
будуть такі коефіцієнти:
Відповідно дискримінант будемо шукати так:
D = (-4)2 - 4∙3∙1 = 16 - 12 = 4
Після того як був знайдений дискримінант варто звернути увагу яким він вийшов.
Якщо дискримінант вийшов додатним тоді рівняння має два розв’язки:
x1 = /-b + √D/2a
x2 = /-b - √D/2a
Якщо дискримінант рівний нулю тоді корені збігаються в такій ситуації результат записують просто через і рівняння має один розв’язок:
Якщо дискримінант менший за нуль тоді рівняння не має дійсних коренів.
У нашому випадку:
Розглянемо декілька прикладів:
1. 3x2 + 4x + 1 = 0
– дискримінант більший нуля, отже буде два розв’язки
2. x2 + x + 7 = 0
– дискримінант менший нуля, отже дійсних коренів не має.
3. x2 + 2x + 1 = 0
– дискримінант рівний нулю, отже корінь буде лише один.
x = /-b/2a;
x = /-2/2 = -1
Розв'язування неповних квадратних рівнянь
Доволі часто зустрічаються неповні квадратні рівняння. Їх є три види:
1) ax2 = 0; b = 0, c = 0
В такому випадку коефіцієнт «а» просто зникає. Оскільки він буде або множитися або ділити нуль і в обох випадках результат буде нуль. І не має значення чи число було додатнім чи від’ємним.
x2 = 0
x = 0
Наприклад:
-7x2 = 0
x2 = 0 : (-7)
x2 = 0
x = 0
2) ax2 + c = 0; b = 0
У випадку коли не має числа з «х» необхідно перенести число у праву частину рівняння. Тобто розділити число з та число
ax2 = -c
Після цього необхідно розділити число на число, що стоїть біля (звісно ж якщо воно є. Якщо біля стоїть просто знак то число просто змінить свій знак на протилежний).
x2 = -/c/a
Тут є два варіанти:
1. Якщо число є більшим за нуль тоді:
Якщо число є меншим за нуль тоді:
Рівняння не має дійсних коренів.
Наприклад:
-4x2 = -16
x2 = -16 : (-4)
x2 = 4
Оскільки є більшим за нуль, то отримаємо такі розв'язки:
x = ±√4 = ±2
x1 = 2
x2 = -2
2x2 = -8
x2 = -8 : 2
x2 = -4
Оскільки є меншим за нуль, то рівняння не має дійсних розв'язків.
3) ax2 + bx = 0; c = 0
Необхідно в першу чергу винести спільний множник. У цьому випадку спільний множник це (у випадку, коли, ще можна винести якесь число як спільний множник, то можна цього не робити).
x(ax + b) = 0
В такому випадку маємо два корені:
x1 = 0
ax2 + b = 0; ⇒ ax2 = -b; ⇒ x2 = -/b/a
Наприклад:
4x2 + 16x = 0
x(4x - 16) = 0
Також можна винести тоді отримаємо:
Звідси отримаємо такі розв'язки:
x1 = 0
4x2 - 16 = 0
4x2 = 16
x2 = 16 : 4
x2 = 4
Розглянемо декілька прикладів:
1) 3x2 = 0; - як видно коефіцієнти та є рівними нулю. Отже це перший випадок неповного квадратного рівняння.
Розв’язок:
x2 = 0
x = 0
2) 3x2 + 9 = 0
Зверніть увагу. Тут не має аргументу з «x». Тобто дане рівняння є другим випадком неповного квадратного рівняння. Розв’яжемо його. Перенесемо відомі в праву частину рівняння.
3x2 = -9
Тепер виразимо розділивши на
x2 = -9 ∶ 3
x2 = -3
От же в правій частині вийшло число менше нуля Це означає, що рівняння не має дійсних коренів.
3) 2x2 - 3x = 0
У цьому рівнянні не має числа без Отже це третій випадок неповного квадратного рівняння. Розв’яжемо його.
Винесемо
x(2x – 3) = 0
З відси отримаємо два корені:
або
2x2 = 3
x2 = 3:2 = 1,5
Отже маємо два корені:
Теорема Вієта
Якщо у вас повне квадратне рівняння або (коли коефіцієнт «а» рівний одиниці то таке квадратне рівняння називається зведеним). Якщо у таких рівняннях дискримінант буде додатнім, то такі рівняння можна розв’язати користуючись теоремою Вієта.
1) ax2 + bx + c = 0
Для такого рівняння корені можна записати так:
x1 + x2 = /-b/a; x1 · x2 = /c/a
2) x2 + px + q = 0
Для такого:
x1 + x2 = -p; x1 · x2 = q
x1, x2 – корені рівняння.
Якщо об’єднати рівняння з коренями, отримаємо систему рівнянь з двома невідомими розв’язавши яку знайдемо корені рівняння. Отже будемо мати такі системи (спосіб системи варто використовувати коли вже є відомий один із розв'язків):
Для першого рівняння:
Для другого:
Розв’яжемо рівняння:
x2 - 10x + 21 = 0
– дискримінант додатній, отже можна розв’язати за допомогою Вієта
x1 + x2 = -(-10) = 10;
x1 · x2 = 21
Тут можна помітити, що і Отже корені рівняння такі:
x1 = 3; x2 = 7
За допомогою теореми Вієта можна знаходити коефіцієнти рівняння. Розглянемо такий приклад:
Один з коренів рівняння дорівнює Необхідно знайти коефіцієнт «b» та другий корінь.
Розв’язання:
За умовою – корінь рівняння Нехай - другий корінь цього рівняння. За теоремою Вієта Враховуючи, що маємо:
Розкладання тричлена на множники
Якщо – корені квадратного тричлена то його можна розкласти на множники. Це виглядає так:
Розглянемо на прикладах. Знайдіть корені самостійно та перевірте їх з нашими. Необхідно розкласти на множники квадратний тричлен:
1) -2x2 -3x + 5
– корені цього рівняння є тому отримаємо такий результат:
2) 2x2 - 12x + 18
– корені рівняння є тобто корені збігаються.
3) x2 - 2x + 7
– не має дійсних коренів. Тому квадратний тричлен не можна розкласти на лінійні множники на множині дійсних чисел.
Розкладання на множники часто застосовується якщо необхідно скоротити дроби в яких у чисельнику та знаменнику є многочлени.
Наприклад. Необхідно скоротити дріб:
Розкладемо на множники та скоротимо по можливості. Ви проробіть це самостійно для засвоєння матеріалу.