Складні нерівності

Для того щоб добре розв’язувати складні нерівності варто в першу чергу розібратися як розв’язувати лінійну нерівність та систему нерівностей.

Розглянемо варіанти нерівностей з модулем.

Нерівність вигляду «|f(x)| < a»

Розв’язання цієї нерівності покажемо у вигляді таблиці:

\|f(x)\| < a
a > 0	a < 0
{/f(x) < a/f(x) > -a Розв’язком є спільна частина нерівностей.	Нерівність розв’язків не має.

Приклад 1: «|x-5| < -1»

Варто відразу зауважити, що модуль є завжди не від’ємне число. Тобто він може бути додатнім числом або нулем. В даному прикладі модуль є меншим за від’ємне число, а ми знаємо, що будь-яке додатне число або нуль є завжди більшим за будь-яке від’ємне число. Саме тому ця нерівність розв’язків не має.

Приклад 2: «|x+2| < 5»

Наший модуль є меншим за додатне число («5 > 0»). Отже ця нерівність буде мати розв’язки. Щоб їх знайти перетворимо нашу нерівність у систему нерівностей.

{/x + 2 < 5/x + 2 > -5

Та розв’яжемо отримані нерівності. Детальніше можете прочитати тут.

{/x < 5 - 2/x > -5 - 2

{/x < 3/x > -7

Після чого залишається нанести отримані розв’язки на координатну пряму. Розв’язок нерівності «x < 3» позначимо червоним кольором, «x > -7» - синім, а спільну частину обведемо зеленим.

Отже маємо, що спільна частина нашої нерівності є проміжок від «-7» до «3». Отже, будемо мати такий розв’язок:

x ∈(-7; 3)

Якщо спільної частини не буде, то система не матиме розв’язків.

Нерівність вигляду «|f(x)| > a»

Розв’язання цієї нерівності покажемо у вигляді таблиці:

\|f(x)\| > a
a > 0	a < 0
[/f(x) > a/f(x) < -a Розв’язком є всі числа які задовольняють отриманні нерівності.	Розв’язком нерівності буде будь-яке число.

Приклад 1: «|x² - 3| > -1»

Оскільки модуль є завжди більшим або рівним нулеві, а ми маємо приклад в якому модуль є більшим за від’ємне число, то розв’язком може бути будь-яке число.

x ∈ (-∞; +∞)

Приклад 2: «|x + 4| > 3»

Оскільки модуль є більшим за додатне число, то розв’язки нерівності з модулем будемо шукати розбивши на дві окремі нерівності:

[/x + 4 > 3/x + 4 < -3

[/x > 3 - 4/x < -3 - 4

[/x > -1/x < -7

Нанесемо отримані розв’язки на координатну пряму. У цьому типі прикладів розв’язками є будь-яке число яке задовольняє хоча б одну нерівність.

Отже, розв’язок нерівності такий:

x ∈ (-∞; -7) ∪ (-1; +∞)

Оскільки у нерівностях в яких невідома знаходиться за межами модуля завчасно не відомо чи число за яке модуль менший/більший є від’ємне чи додатне, то такі нерівності доводиться постійно розв’язувати. При цьому має бути додаткова перевірка у випадках, коли модуль є меншим. Все, що є за модулем має бути більшим за нуль.

Нерівність вигляду «|f(x)| < g(x)»

Нерівність такого типу розв’язуємо так:

{/f(x) < g(x)/f(x) > - g(x)/g(x) > 0

Тобто, необхідно знайти ОДЗ («g(x) > 0»). Після чого розв’язати нерівність:

{/f(x) < g(x)/f(x) > - g(x)

Розв’язками цієї нерівності буде їх спільна частина. Після чого необхідно залишити лише ті розв’язки які входять в ОДЗ.

Приклад: |3x - 6| + 1 < x

В першу чергу необхідно приклад звести до стандартного вигляду. Тобто щоб модуль був більшим або меншим за все інше. Для цього з лівої частини рівняння перенесемо у праву «1». При цьому не забуваємо змінити знак числа на протилежний.

|3x - 6| < x - 1

Якщо модуль множиться або ділиться на якесь додатне число, то його можна не переносити.

Наший модуль є менший за вираз з «х». Оскільки модуль є завжди не від’ємне число (додатне або нуль), то права частина не може бути від’ємною. Тому права частина буде нашим ОДЗ.

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Отже, наше ОДЗ є таким:

x ∈ [1; +∞)

Тепер залишається розв’язати систему нерівностей:

{/3x - 6 < x - 1/3x - 6 > -(x - 1)

Цей запис доволі просто запам’ятати. Оскільки він є ідентичним до розв’язання нерівності вигляду «|f(x)| < a». Єдине, що може відрізнятися це запис «f(x) > -g(x)». Оскільки в правій частинні (де не було модуля) може знаходитися не просто число, а цілий вираз, то необхідно всю частину (де не було модуля) взяти у дужки та поставити перед ними знак мінус.

Розв’яжемо дану систему.

{/3x - x < 6 - 1/3x - 6 > - x + 1

{/3x - x < 6 - 1/3x + x > 6 + 1

{/2x < 5/4x > 7

{/x < 5:2/x > 7:4

{/x < 2,5/x > 1,75

Після того як знайшли розв’язки системи нерівностей необхідно нанести їх на координатну пряму. Розв’язок нерівності «x < 2,5» позначимо синім кольором, «x > 1,75» - червоним, розв’язок нерівності (спільну частину) обведемо зеленим.

Тепер необхідно додати наше обмеження (ОДЗ) та обрати лише ті розв’язки які збігаються з нашим ОДЗ. ОДЗ позначимо чорним кольором.

Оскільки наший розв’язок повністю входить в ОДЗ, то спільна частина розв’язку системи нерівностей та ОДЗ буде такий проміжок:

x ∈ (1,75; 2,5)

Нерівність вигляду «|f(x)| > g(x)»

Нерівність такого типу розв’язуємо розбивши на дві нерівності:

[/f(x) > g(x)/f(x) < -g(x)

Розв’язками цієї нерівності (початкової) буде будь-яке число, що задовольняє хоча б одну з даних нерівностей. Тут вже не має обмежень.

Приклад: |x² - 4x + 1| > 2x + 1

Оскільки в даному типові нерівностей жодних обмежень не має, то залишається розв’язати систему нерівностей.

{ x² - 4x + 1 > 2x + 1 x² - 4x + 1 < -(2x + 1)

{ x² - 4x + 1 - 2x - 1 > 0 x² - 4x + 1 + 2x + 1 < 0

{ x² - 6x > 0 x² - 2x + 2 < 0

Розв’яжемо обидві нерівності окремо.

x² - 6x > 0

Це є квадратна нерівність. Для зручного її розв’язування необхідно прирівняти її до нуля.

x² - 6x = 0

Та розв’яжемо отримане квадратне рівняння.

x(x - 6) = 0

x = 0 або x - 6 = 0

x = 0 або x = 6

Тепер нанесемо наші розв’язки на координату пряму. Оскільки це є квадратна нерівність, то зручно скористатися параболою.

Оскільки нерівність має бути більшою за нуль, то нам підходять проміжки на яких парабола є вітками до гори.

x ∈ (-∞; 0) ∪ (6; +∞)

Розв’яжемо другу нерівність:

x² - 2x + 2 < 0

x² - 2x + 2 = 0

D = (-2)² - 4∙1∙2 = 4 - 8 = -4

Оскільки квадратне рівняння розв’язків не має (тому, що дискримінант є меншим за нуль), то необхідно дивитися на знак який є біля «x²» та знак нерівності «<». Біля «x²» є знак «+», а знак нерівності «<» тобто знак є «-». Отже маємо різні знаки це означає, що дана нерівність розв’язків не має.

Остаточний розв’язок початкової нерівності складається зі всіх розв’язків які задовольняють хоча б одну нерівність. Тому будемо мати:

x ∈ (-∞; 0) ∪ (6; +∞)

У випадках, коли в розв’язків є спільні частини, то їх не пишуть по два рази, а просто пишуть більший проміжок.

Нерівність вигляду «|f(x)| > |g(x)|», «|f(x)| < |g(x)|», «|f(x)| ≥ |g(x)|», «|f(x)| ≤ |g(x)|»

Нерівності даного типу можна розв’язати, якщо підняти кожен вираз до квадрату.

|f(x)| > |g(x)|

Матимемо:

f²(x) > g²(x)

Для:

|f(x)| < |g(x)|

Матимемо:

f²(x) < g²(x)

При бажанні можна розкласти вирази на множники. Та отримати нерівності вигляду: «[f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] > 0» або «[f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] < 0».

Для цього варто перенести вирази в одну частину та скористатися формулою: «a² - b² = (a - b)(a + b)».

Аналогічні дії ми робили, коли розв’язували рівняння з модулем «|f(x)| = |g(x)|».

|f(x)| > |g(x)|

f²(x) > g²(x)

f²(x) - g²(x) > 0

[f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] > 0

Або:

|f(x)| < |g(x)|

f²(x) < g²(x)

f²(x) - g²(x) < 0

[f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] < 0

Аналогічні дії ми будемо робити, якщо будуть знаки «≥» і «≤».

Приклад: |1 - x| ≤ |x - 3|

Розв’яжемо наший приклад кожним способом.

В першу чергу розв’яжемо піднявши обидві частини до квадрату:

|1 - x| ≤ |x - 3|

(1 - x)² ≤ (x - 3)²

1 - 2x + x² ≤ x² - 6x + 9

Перенесемо все в одну частину та спростимо. Не забуваємо, що при перенесені знак змінюється на протилежний:

1 - 2x + x² - x² + 6x - 9 ≤ 0

4x - 8 ≤ 0

Отримали лінійну нерівність. Розв’яжемо її:

4x ≤ 8 |∶4

x ≤ 2

x ∈ (-∞; 2]

Тепер розв’яжемо методом розкладання на множники:

|1 - x| ≤ |x - 3|

(1 - x)² ≤ (x - 3)²

(1 - x)² - (x - 3)² ≤ 0

[(1 - x) - (x - 3)] ∙ [(1 - x) + (x - 3)] ≤ 0

[1 - x - x + 3] ∙ [1 - x + x - 3] ≤ 0

[-2x + 4] ∙ [-2] ≤ 0

4x - 8 ≤ 0

Отримали лінійну нерівність. Розв’яжемо її:

4x ≤ 8 |∶4

x ≤ 2

x ∈ (-∞; 2]

Нерівності в яких є декілька модулів

Розв’язування нерівностей в яких є декілька знаків модуля дуже схоже на розв’язування рівнянь, що містять декілька знаків модуля. Детальніше читайте тут.

З першу необхідно визначити ОДЗ (необхідно на справді лише у тих випадках, коли модулі додаються і є меншими за вираз).

Визначаємо при яких значеннях «х» під модулеві вирази будуть рівні нулеві. Далі розбиваємо на проміжки. Після чого визначаємо знак кожного модуля на кожному з проміжків.

Розв’язки шукатимемо у вигляді системи нерівностей. Де перша нерівність це буде обмеження по проміжку, а друга це нерівність, що утворилася після розкриття модулів. Розв’язок на кожному проміжку це спільна частина обох нерівностей.

Множиною розв’язків початкової нерівності буде об’єднання всіх розв’язків з кожного проміжку.

Приклад: |x - 1| + |x + 1| < 4

1. В першу чергу знайдемо ОДЗ. Оскільки за межами модулів є лише «4», то ОДЗ буде: «x ∈ R». Тому, що не має такого «х» при якому сума модулів стане від’ємною.

2. Знайдемо при яких значеннях змінної «х» підмодульні вирази перетворяться у нуль. Для цього прирівняємо кожен підмодульний вираз до нуля.

x - 1 = 0

x = 1

x + 1 = 0

x = -1

3. Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій замальованими точками (оскільки вони входять в ОДЗ).

Отримаємо три проміжки: (-∞; -1), [-1; 1], (1; +∞). Пам’ятаємо, що дужки у проміжках ми можемо обирати самостійно.

4. Розв’яжемо нашу нерівність на кожному з проміжків.

Якщо ми візьмемо проміжок «x ∈ (-∞; -1)», тобто «x < -1» - це буде нашою першою нерівністю.

Тепер необхідно визначити знаки на цих проміжках. Для цього необхідно брати будь-яке число (пам’ятаємо, що межі проміжку брати не варто) з цього проміжку та підставляти замість «х» у модуль. Якщо результат вийде від’ємним, то модуль на цьому проміжку розкриється зі знаком «-», а якщо результат буде додатнім, то зі знаком «+».

Підставимо у «х - 1» замість «х» число «-2». Отримаємо: «-2 – 1 = -3». Результат є від’ємним, тому на цей модуль розкриється зі знаком «-». Повторимо це з «х + 1». Отримаємо: «-2 + 1 = -1». Результат є від’ємним, тому модуль розкриється зі знаком «-».

Отже, врахувавши знаки з якими розкриваються модуля отримаємо другу нерівність:

-(x - 1) - (x + 1) < 4

Зібравши обидві нерівності отримаємо таку систему:

{/x < -1/-(x - 1) - (x + 1) < 4

Розв’яжемо отримані нерівності.

{/x < -1/-x + 1 - x - 1 < 4

{/x < -1/-2x < 4

{/x < -1/x > -2

Нанесемо ці розв’язки на координатну пряму. Розв’язком цієї нерівності є спільна частина.

Отже, будемо мати такий розв’язок:

x ∈ (-2; -1)

На проміжку «x ∈ [-1; 1]», тобто «-1 ≤ x ≤ 1».

Підставимо замість «х» число «0» і будемо мати такі знаки модулів: «х – 1» буде «0 - 1 = -1», тобто цей модуль буде розкриватися зі знаком «-»; для «х + 1» буде «0 + 1 = 1», тобто модуль розкриється зі знаком «+».

Отже, будемо мати таку другу нерівність:

-(x - 1) + (x + 1) < 4

Об’єднаємо обидві нерівності та отримаємо таку систему нерівностей:

{/-1 ≤ x ≤ 1/-(x - 1) + (x + 1) < 4

Розв’яжемо отриману систему:

{/-1 ≤ x ≤ 1/-x + 1 + x + 1 < 4

{/-1 ≤ x ≤ 1/2 < 4

Як бачите в другій нерівності «х» зник. Оскільки нерівність залишилася правильною «2 < 4», то виходить, що розв’язком цієї нерівності є будь-яке число «x ∈ (-∞; +∞)».

Нанесемо на координатну пряму.

Спільною частиною цих нерівностей буде проміжок:

x ∈ [-1; 1]

Розглянемо останній проміжок «x ∈ (1; +∞)», тобто «x > 1».

Підставимо замість «х» число «2» і будемо мати такі знаки модулів: «х - 1» буде «2 – 1 = 1», тобто модуль розкриється на цьому проміжку зі знаком «+»; для «х + 1» буде «2 + 1 = 3», тобто модуль розкриється зі знаком «+».

Отже, отримаємо таку нерівність:

x - 1 + x + 1 < 4

Об’єднаємо ці нерівності та отримаємо систему нерівностей:

{/x > 1/x - 1 + x + 1 < 4

{/x > 1/2x < 4

{/x > 1/x < 2

Нанесемо на координатну пряму.

Спільною частиною є проміжок:

x ∈ (1; 2)

5. Після того як ми розв’язали нерівність на кожному з проміжків залишається об’єднати наші розв’язки.

x ∈ (-2; -1) ∪ [-1; 1] ∪ (1; 2)

Як бачите точки «-1» та «1» зустрічаються в проміжках не одноразово. Оскільки в одному з цих проміжків вони є включеними, то ми можемо об’єднати ці проміжки в один:

x ∈ (-2; 2)

Нерівність вигляду «f(x) ∙ g(x) > 0», «f(x) ∙ g(x) < 0», «/f(x)/g(x) > 0», «/f(x)/g(x)< 0»

В ситуаціях, коли маємо декілька функцій, що множаться чи діляться, і вони є більшими або меншими за нуль. То варто таку нерівність розбити на систему нерівностей.

Після чого розв’язати кожну з отриманих нерівностей. Після отримання розв’язків кожної з нерівностей варто нанести їх на координатну пряму. При цьому, позначаємо знак кожної нерівності на кожному проміжку. Після, чого маємо визначити остаточний знак нерівності об’єднавши знаки на кожному проміжку.

Для кращого розуміння де який знак можна діяти за таким принципом: «замальовуємо проміжки які є розв’язками нерівності, при цьому якщо початковий знак нерівності був менше або менше-рівне, то замальовані проміжки мають знак мінус, а не замальовані знак плюс; якщо знак нерівності був більше або більше-рівне, то замальовані проміжки матимуть знак плюс, а не замальовані знак мінус».

Також важливий момент буде, тоді, коли у нерівність матиме знаменник з невідомою (тобто з «х»). То варто пам’ятати, що знаменник не може бути рівний нулеві. Тому, коли нерівність матиме знак «≤» чи «≥», то при розділенні на систему нерівностей частина, що знаходилася у знаменнику буде зі знаком «<» (замість «≤») чи «>» (замість «≥»).

Розглянемо все на прикладах.

Приклад 1: (x - 3)(x + 5)(4 - x) ≥ 0

В даній нерівності є лише множники результат яких має бути більшим або рівним нулеві. Для розв’язання даної нерівності варто розбити її на систему нерівностей. Система буде мати стільки ж нерівностей скільки було множників у початковій нерівності. Знаки цих нерівностей будуть такі ж як у початкової нерівності (в нашому випадку це «≥»).

Отже, ми маємо:

{/x - 3 ≥ 0/x + 5 ≥ 0/4 - x ≥ 0

Розв’яжемо кожну з цих нерівностей. Детальніше читайте тут.

{/x ≥ 3/x ≥ -5/x ≤ 4

Після того як були розв’язані всі нерівності варто їх розв’язки об’єднати. Для цього нанесемо всі розв’язки на одну координатну пряму. Розв’язок нерівності «x ≥ 3» позначимо синім кольором, «x ≥ -5» - червоним, «x ≤ 4» - зеленим.

Тепер необхідно визначити знак кожної нерівності на кожному проміжку. Зауважимо, що початковий знак нерівностей був «≥» (Важливо! Дивимося на початковий знак в системі нерівностей, а не на кінцевий!). Тому всі замальовані проміжки матимуть знак «+», а не замальовані «-».

Після того як проставлені знаки кожної нерівності на кожному проміжку залишається визначити загальний знак всієї нерівності. Для цього просто помножимо знаки між собою на кожному проміжку.

Отже, на проміжку «(-∞; -5]», маємо такі знаки: «+», «-», «-», де спільний знак буде такий «+ ∙ - ∙ - = +»; на «[-5; 3]» такі «+», «-», «+» де «+ ∙ - ∙ + = -»; на «[3; 4]» такі «+», «+», «+» де «+ ∙ + ∙ + = +»; на «[4; +∞)» такі «-», «+», «+» де «- ∙ + ∙ + = -»;

Після, чого необхідно обрати ті проміжки знак яких задовольняє нашу початкову нерівність. Пам’ятаємо, що для «>» або «≥» необхідний загальний знак «+», а для «<», «≤» знак «-».

Тобто в нашому випадку нам підходять проміжки: «(-∞; -5]», «[3; 4]».

x ∈ (-∞; -5] ∪ [3; 4]

Також варто зауважити, що при нерівностях зі знаками «≤» та «≥» варто слідкувати не лише за проміжками знаки яких задовольняють нерівність, а також за числами при яких ця нерівність може перетворитися у нуль. Якщо такі числа не входять у проміжки які є розв’язками нерівності, то їх дописують у розв’язки взявши при цьому у фігурні дужки («{ }»).

Коли маємо ситуацію, що у нерівності є множники у степені, то можливі такі ситуації:

1. Якщо знак нерівності є суворим («<» чи «>»), то виразами з парним степенем можна знехтувати але враховуємо, що ці вирази не можуть бути рівними нулеві.

2. Якщо знак нерівності є не суворим («≤» чи «≥»), то вирази з парним степенем будуть містити в собі розв’язок. Його необхідно знаходити прирівнявши вираз до нуля. У випадках, якщо ці розв’язки не входять у проміжок який є розв’язком нерівності, то їх необхідно додатково вказати в якості розв’язку у фігурних дужках («{ }»).

Це все пов’язане з тим, що число у парному степені буде завжди додатним або рівним нулеві. Аналогічна ситуація відбувається з модулем. Множники, що не мають степеня (тобто є в першому степені) або є в не парному степені завжди впливають на знак і ми вимушені їх враховувати.

Такі приклади дуже подібні у розв’язанні до попереднього. Під час розбиття основної нерівності на декілька нерівностей множники які були у степені вже пишуться без нього.

Приклад 1: x(x + 3)²(x - 1)³ > 0

У цьому прикладі ми маємо множники результат яких має вийти більшим за нуль. Серед цих множників є вираз у парному степені «(x + 3)²». Враховуючи, що знак нерівності є суворим («>»), то цим виразом можна знехтувати та не враховувати його у системі але через те, що цей вираз може бути рівним нулеві необхідно відкинути ті значення «х» при яких це можливо. Тобто маємо врахувати «х + 3 ≠ 0».

х + 3 ≠ 0

х ≠ -3

Вираз «(x - 1)³» є у не парному степені тому ми маємо врахувати його у системі нерівностей. Але нам не потрібно знаходити конкретне число. Достатньо знати лише знак цього числа. Тому у систему нерівностей ми записуємо все, що є у дужках («х - 1») і не беремо до уваги степінь.

Отже маємо таку систему нерівностей:

{/x > 0/x - 1 > 0

Та розв’язуємо цю нерівність як у попередньому прикладі.

{/x > 0/x > 1

Наносимо розв'язки на координатну пряму. Розв’язок нерівності «x > 0» виділяємо червоним кольором, «x > 1» - синім, а не розв’язок «х ≠ -3» позначимо «×».

Оскільки початковий знак обох нерівностей із системи є «>», то замальовані проміжки матимуть знак «+», а не замальовані «-». Та врахувавши знаки на кожному проміжку отримаємо загальний знак нерівності.

В початковій нерівності знак був «>», отже необхідно обирати проміжки загальний знак яких є «+». При цьому не забуваємо відкинути не розв'язок «-3».

Розв'язок нерівності буде таким:

x ∈ (-∞; -3)∪(-3; 0)∪(1; +∞)

Приклад 2: (x - 9)³(x + 2)²(x + 6) ≤ 0

В даній нерівності знову ж таки є вирази у парному степені «(x + 2)²». Оскільки вирази у парному степені є додатними (більшими за нуль), то на знак нерівності вони не впливають. Але оскільки такі вирази можуть бути рівними нулеві, то необхідно їх прирівняти до нуля «(x + 2)² = 0» та розв’язати отримане рівняння. Розв’язок цього рівняння також буде розв’язком початкової нерівності.

Пам’ятаємо, що коли у нас є вирази у степені, то розбивши на декілька рівнянь чи нерівностей нам не потрібно їх продовжувати писати в степені. Достатньо лише під степеневі вирази.

{/x - 9 ≤ 0/x + 6 ≤ 0/x + 2 = 0

{/x ≤ 9/x ≤ -6/x = -2

Розв'язок нерівності «x ≤ 9» позначимо червоним кольором, «x ≤ -6» - синім, а розв’язок рівняння «x = -2» позначимо «|» на координатній прямій.

Початковий знак нерівності є «≤» тому все, що є замальованим матиме знак «+», а все, що не замальоване матиме знак «-».

Отже нам необхідний проміжок зі знаком мінус (оскільки початкова нерівність є зі знаком «≤»). Це буде проміжок:

x ∈ [-6; 9]

Оскільки точка «-2» є також розв’язком нерівності, то нам необхідно її врахувати. Але число «-2» знаходиться у проміжку «[-6; 9]». Тому нам не потрібно окремо його записувати як розв’язок. Якщо б це число не входило у проміжок який є розв’язком, то ми б писали його у фігурних дужках та використовували знак об’єднання.

Наприклад так: x ∈ (-∞; 4] ∪ {7}

У випадках, коли є маємо дроби, то принцип розв’язування такий же самий. Єдина відмінність виникає у випадках, коли маємо не суворий знак («≤», «≥»). Оскільки знаменник не може бути рівний нулеві, то під час розбиття на окремі нерівності все, що було у знаменнику має мати суворий знак. А якщо у знаменнику є вираз у парному степені, то він не має бути рівний нулеві.

Приклад: x⁶(2x - 10)(x - 1)³(x + 4)⁷(3x - 9)⁸ ≤ 0

В цій нерівності маємо декілька виразів у парному степені «x⁶» та «(3x - 9)⁸», тому вони не впливають на знак нерівності. Але оскільки знак нерівності є не суворим «≤», то це означає, що такі вирази можуть мати розв’язки (при «x⁶») та не розв’язки (при «(3x - 9)⁸») перетворившись у нуль.

Оскільки «x⁶» знаходиться у чисельнику, то він може бути рівний нулеві, а «(3x - 9)⁸» не може бути рівний нулю тому, що знаходиться у знаменнику. Решту виразів ми розбиваємо на декілька нерівностей як у попередніх прикладах.

Пам’ятаємо, що після розбиття ми можемо не враховувати степені. Отже будемо мати систему з трьох нерівностей та систему двох рівнянь.

{/2x - 10 ≤ 0/x - 1 ≤ 0/x + 4 ≤ 0

{/x = 0/3x - 9 ≠ 0

Розв’яжемо всі вирази після чого отримаємо:

{/x ≤ 5/x ≤ 1/x ≤ -4

{/x = 0/x ≠ 3

Розв'язок нерівності «x ≤ 5» позначимо червоним кольором, «x ≤ 1» - синім, «x ≤ -4» - зеленим, розв’язок рівняння «х = 1» позначимо як «|», а не рівняння «x ≠ 3» як «×».

Оскільки початковий знак нерівностей є «≤», то це означає, що всі замальовані проміжки є зі знаком мінус, а не замальовані відповідно зі знаком «+». Позначимо ці знаки та визначимо загальний знак кожного проміжку.

Отже враховуючи початковий знак нерівності «≤» ми маємо обирати проміжок який має знак «-» або числа при яких вираз перетвориться у нуль. При цьому варто відкинути числа при яких знаменник перетворюється у нуль. Отримаємо такий розв’язок:

x ∈ (-∞; -4)∪{0}∪(1; 3)∪(3; 5)

Складні нерівності

Рівняння, що містять змінну під знаком модуля

Метод інтервалів