Степінь. Формули скороченого множення

Степінь з натуральним показником

Коли одне число додається декілька разів само до себе, наприклад «5 + 5 + 5 + 5», то щоб повторно це не писати можна скорочено написати так «4 · 5». Тобто «4» це кількість повторів якогось числа, а «5» показує яке число повторюється, « · » це дія множення.

Подібним чином відбувається при множенні якось числа самого на себе певну кількість разів, наприклад «7 · 7· 7· 7· 7». Такий запис можна замінити на тотожній йому (рівний/такий самий) запис «7⁵». Це говорять так «сім у п’ятому степені». «7» є основою, «5» - показник степеня.

Загальний запис: "аⁿ"; «a» - основа, «n» - показник степеня. Якщо «n ≥ 2; n ∈ N», то запис «аⁿ» називають степенем з натуральним показником.

На справді як основа так і показник степеня можуть бути будь якими числами та навіть виразами.

Приклади: 7²; 1¹; a^-4; (a - x)^2t; 2^3x; (x - 2)^-½

Властивості степеня

Розглянемо загальні властивості степеня. Їх варто запам’ятати раз і назавжди, оскільки ці формули будуть використовуватися надзвичайно часто.

a¹ = a;

4¹ = 4

a⁰ = 1, a ≠ 0;

9⁰ = 1; (-11)⁰ = 1; 0⁰ – не визначено

a^m ∙ aⁿ = a^{m + n};

2² ∙ 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵; 3² ∙ 3^-5 = 3^{2 + (-5)} = 3^-3

a^m : aⁿ = a^{m - n}, a ≠ 0;

2⁵ : 2³ = 2^{5 - 3} = 2²; 3^-7 : 3⁵ = 3^{-7 - 5} = 3^-12

(aⁿ)^m = a^{n ∙ m};

(2³)⁴ = 2^{3 ∙ 4}=2¹²; (3^-2)³ = 3^{-2 ∙ 3} = 3^-6

(ab)ⁿ = aⁿ ∙ bⁿ;

(2 ∙ х)⁴ = 2⁴ ∙ х⁴ = 16х⁴

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, b ≠ 0;

(2 : x)⁵ = 2⁵ : x⁵

a^-n = 1aⁿ;

a^-nb = 1b · aⁿ;

a^-n · cb = caⁿ · b, (a ≠ 0);

1a^-n · b = aⁿb;

ca^-n · b = aⁿ · cb;

(/a/b)^-n = (/b/a)ⁿ;

5^-3 = 15³; 0^-3 = 10³ - не визначено

(/2/x)^-2 = (/x/2)²

Варто пам'ятати, що дії зі степенем, окрім випадків, коли степінь діє на декілька чисел ((a · b)ⁿ, (a:b)ⁿ) виконуються лише при однакових основах!

Формули скороченого множення

Квадрат суми: (a + b)² = a² + 2ab + b²

(3 + x)² = 3² + 2 · 3 · x + x² = 9 + 6x + x²

Квадрат різниці: (a - b)² = a² - 2ab + b²

(3 - x)² = 3² - 2 · 3 · x + x² = 9 - 6x + x²

Різниця квадратів: a² - b² = (a - b)(a + b)

49 – 4x² = 7² – 2²x² = (7 – 2x)(7 + 2x)

Сума кубів: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

27 + х³ = 3³ + х³ = (3 + х)(3² – 3х + х²)

Різниця кубів: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

27 - х³ = 3³ + х³ = (3 - х)(3² + 3х + х²)

Куб суми: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

Куб різниці: (a - b)³ = a³ -3a²b + 3ab² - b³

(x - 2)³ = x³ - 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x - 8

Також не варто боятися, якщо зустрінете не стандартний вигляд. Наприклад:

(a + b + c)²

На перший погляд не має спеціальної формули як підносити до квадрата такі дужки, але на справді є декілька способів це зробити:

1) Розписати степінь. Оскільки степінь вказує скільки разів число множиться саме на себе, то можна замінити його на множники. Тобто:

(a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c)

Після чого необхідно лише уважно розкрити дужки. Цим способом можна користуватися наприклад, якщо ви забули формули скороченого множення. Тобто: (a ± b)² = (a ± b)(a ± b) і так далі.

2) Взяти доданки у дужках як одне число. Тобто у випадку якщо є декілька доданків (більше чим два), то можна деякі з них записати як одне число. Наприклад:

(a + b + c)² = ((a + b) + c)²

Після цього скористатися вже відомими формулами.

((a + b) + c)² = (a + b)² + 2·(a + b)·c + c²

Спробуйте самостійно розписати ці формули до кінця. Ось кінцевий результат який має вийти: «a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc»

Винесення знаку «-»

Ми вже знаємо, що можна виносити знак «-» за дужки:

a - b = -(b - a)

Але, якщо ви маєте вираз зі степенем, то винесення «-» за дужки буде виконуватися за формулою:

(a - b)ⁿ = (-1)ⁿ ∙ (b - a)ⁿ

Наприклад:

(3 - x)⁴ = (-1)⁴ ∙ (x - 3)⁴ = (x - 3)⁴

(a - 5)³ = (-1)³ ∙(5 - a)³ = -(5 - a)³

Розв'яжемо декілька прикладів.

Якому одночленові дорівнює вираз:

1. 5x³y² ∙ 0,4xy³;

2. -0,4a⁴b ∙ 100a²b⁴

Для зручності запишемо числа біля чисел, та числа з однаковими основами один біля одного ("х" біля "х", "а" біля "а" і так далі). Після чого скористаємося формулами степення.

5x³y² ∙ 0,4xy³ = 5 · 0,4 · x^{3 + 1}y^{2 + 3} = 2x⁴y⁵

-0,4a⁴b ∙ 100a²b⁴ = -0,4 · 100 · a^{4 + 2}b^{1 + 4} = -40a⁶b⁵

Спростіть вираз:

5²a² : 5³a⁸

В першу чергу необхідно виконати дії із дробами. Більше про них ви можете дізнатися тут

5²a² : 5³a⁸ = 5²a² · a⁸5³ = 5²·a⁸5³a²

На цьому етапі можна скорочувати вираз як окремо так і разом. Для того щоб скорочувати такі дроби важливо чітко пам’ятати, що дії зі степенями виконуються лише при однакових основах!

Скорочення окремими частинами:

5²5³ = 5^{2 - 3} = 5^-1 = 15¹ = /1/5; a⁸a² = a^{8 - 2} = a⁶

Після чого необхідно об’єднати результат. В таких випадках між числами стоїть дія множення. Тобто матимемо такий вигляд:

/1/5 · a⁶ = a⁶5

Якщо виконувати скорочення разом то варто пам’ятати лише один момент, коли числа є в чисельнику та знаменнику (виконується ділення), то варто подивитися де стоїть більший степінь після чого відняти від більшого степеня менший і записати те число на місці більшого степеня. На словах звучить складно та заплутано але на практиці все на багато простіше. Розглянемо наший вираз:

5² · a⁸5³ · a²

Як видно більший степінь при основі «5» знаходиться у знаменнику, а при основі «а» у чисельнику. Тому записуємо так:

5² · a⁸5³ · a² = a^{8 - 2} · 5^{2 - 3} = a⁶ · 5^-1 = a⁶ · /1/5 = a⁶5

А, якщо числа знаходяться лише у чисельнику або лише у знаменнику то виконуємо дію додавання степенів. При цьому не забуваєте, що такі дії можна виконувати лише при однакових основах!

Приклад: 5⁴ · 5³ · 4²3 = 5^{4 + 3} · 4²3= 5⁷ · 4²3

Якщо ж дріб є змішаним (числа з однаковою основою є в чисельнику та знаменнику у декількох варіантах) то дії (додавання або віднімання степенів) виконуйте на свій розсуд.

Приклад: 2⁷ · 2⁶2⁹ · 2³

Тут можна відразу почати скорочувати, або ж можна додати степені в чисельнику та знаменнику після чого скоротити, або ж будь яка інша послідовність дій. Порядок краще підбирати для кожного прикладу окремо, але, якщо ви будете працювати постійно за однією схемою, то нічого поганого у цьому не буде.

2⁷ · 2⁶2⁹ · 2³ = 2^{7 + 6}2^{9 + 3} = 2¹³2¹² = 2^{13 - 12} = 2¹ = 2

Часто доводиться працювати із числами які є в степені але у яких є різні основи. В такому випадку необхідно по можливості звести їх до однієї основи. Зазвичай за основу обирають найменші прості числа.

Приклад: 64² · 2³4³ · 8²

Як помітно всі числа є з різними основами але можна написати так: «64 = 2⁶», «4 = 2²», «8 = 2³». Після чого можемо написати так:

(2⁶)² · 2³(2²)³ · (2³)²

Після чого можна використовувати формули степеня.

(2⁶)² · 2³(2²)³ · (2³)² = 2^{6 · 2} · 2³(2²)³ · (2³)²

Можливо у вас зараз з’явилися запитання «як обрати основу», «що буде якщо обрати іншу основу». Тут не варто лякатися. За основу обирається число яке в степені дасть те число яке перетворюємо. Наприклад «16» можна записати як «2⁴» або «4²», «81» як «3⁴» або «9²». Оскільки кожне з цих чисел (2, 4, 3, 9) піднявши до відповідного степеня (4, 2, 4, 2) отримаємо початкове число (16, 16, 81, 81). Відповідно коли є декілька чисел, що множаться або діляться, то основу намагаються підбирати для всіх однакову.

Також варто зауважити що основа не завжди зручно підбирається і доводиться розкладати число на множники. Наприклад «72» можна написати так «2 · 36» після чого «36» можна написати так «6²» і отримаємо такий запис «72 = 2 · 6²».

Спростити вираз:

Це одне з найпопулярніших завдань яке буде зустрічатися в різних предметах які використовують математику. Тут доволі часто використовуються формули скороченого множення. Тому вони є надзвичайно необхідними.

a² + 36a² - 36 - /a/a + 6

Надзвичайно поширена помилка, коли записують вираз «a² + b²» так «(a + b)(a + b)». Якщо розкрити дужки відразу буде помітно, що це не правильно але багато новачків за це навіть не замислюються і допускають помилку. Вираз «a² + b²» можна записати ось так «(a + b)(a + b) – 2ab».

У нашому прикладі розкладемо на множники лише знаменник першого дробу. Отримаємо:

a² + 36(a - 6)(a + 6) - /a/a + 6

Тепер необхідно звести дроби до спільного знаменника. В нашому випадку це «(а - 6)(а + 6)». Домножимо другий дріб на «а - 6» та виконаємо дію віднімання дробів з однаковими знаменниками.

a² + 36(a - 6)(a + 6) - /a(a - 6)/(a + 6) = a² + 36 - a(a - 6)(a - 6)(a + 6) = a² + 36 - a² + 6a(a - 6)(a + 6) = 6a + 36(a - 6)(a + 6)

Зверніть увагу. У чисельнику ми дужки розкрили, а знаменнику ні. Це через те, що у чисельнику дужки є доданками, а у знаменнику множниками. Намагайтеся не розкривати дужки без крайньої необхідності, оскільки їх зробити набагато складніше чим розкрити.

Зараз ми просто винесемо спільний множник у чисельнику та скоротимо дріб

6a + 36(a - 6)(a + 6) = 6(a + 6)(a - 6)(a + 6) = 6a - 6