Матриця «A^-1» «n-го» порядку називається оберненою до квадратної матриці «A» «n-го» порядку, якщо виконується умова:

A ∙ A^-1 = A^-1 ∙ A = E

Для того, щоб знайти обернену матрицю для матриці «A» потрібно скористатися формулою:

A^-1 = /1/det⁡(A) (A_ij )^T

Де «A_ij» це матриця алгебраїчних доповнень, яку пізніше необхідно транспонувати.

Мабуть, найскладніше зараз буде не сплутати даний запис і наступні властивості із властивостями степеня. Тому, будьте обережні! Хоча, в реальності це дійсно запис степеня. Оскільки в матрицях не має дії ділення, то її (дію ділення) заміняють оберненою матрицею.

Для довільних матриць «A» та «B» і довільного числа «k» правильні такі рівності:

Розберімося як же відбувається пошук оберненої матриці. Звісно ж, вам обов’язково потрібно пам’ятати, що таке транспонована матриця, як знаходити визначник матриці та алгебраїчні доповнення.

Візьмемо довільну матрицю «A» та знайдемо обернену до неї:

A = (#)#3#3#-2#1#3#-1#0#2#-2#4#1

В першу чергу знайдемо визначник даної матриці:

det(⁡A) = |#|#3#3#-2#1#3#-1#0#2#-2#4#1 = (-2∙0∙1 + (-1)∙4∙3 + (-2)∙1∙2) - (-2∙0∙3 + 4∙2∙(-2) + 1∙(-1)∙1) = -14 - (-15) = -14 + 15 = 1

Тепер, необхідно знайти всі алгебраїчні доповнення:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ |#|#2#2#0#2#4#1 = 1∙(0∙1 - 2∙4) = -8

A₁₂ = (-1)¹⁺² |#|#2#2#-1#2#-2#1 = -1∙(-1∙1 - (-2)∙2) = -3

A₁₃ = (-1)¹⁺³ |#|#2#2#-1#0#-2#4 = 1∙(-1∙4 - 0∙(-2)) = -4

A₂₁ = (-1)²⁺¹ |#|#2#2#1#3#4#1 = -1∙(1∙1 - 3∙4) = 11

A₂₂ = (-1)²⁺² |#|#2#2#-2#3#-2#1 = 1∙(-2∙1 - (-2)∙3) = 4

A₂₃ = (-1)²⁺³ |#|#2#2#-2#1#-2#4 = -1∙(-2∙4 - (-2)∙1) = 6

A₃₁ = (-1)³⁺¹ |#|#2#2#1#3#0#2 = 1∙(1∙2 - 3∙0) = 2

A₃₂ = (-1)³⁺² |#|#2#2#-2#3#-1#2 = -1∙(-2∙2 - 3∙(-1)) = 1

A₃₃ = (-1)³⁺³ |#|#2#2#-2#1#-1#0 = 1∙(-2∙0 - (-1)∙1) = 1

Напишемо матрицю алгебраїчних доповнень:

A_ij = (#)#3#3#-8#-3#-4#11#4#6#2#1#1

Тепер, транспонуємо матрицю алгебраїчних доповнень:

(A_ij)^T = (#)#3#3#-8#11#2#-3#4#1#-4#6#1

Залишається написати обернену матрицю згідно з формулою «A^-1 = /1/det(⁡A) ∙ (A_ij)^T». Матимемо:

A^-1 = /1/1 ∙ (#)#3#3#-8#11#2#-3#4#1#-4#6#1 => (#)#3#3#-8#11#2#-3#4#1#-4#6#1

В даному прикладі нам пощастило і визначник матриці був «1». Тому, вираз «/1/det⁡(A)» теж вийшов рівний «1». Через що, матриця не змінилася (бо множилася на «1»). Якщо ж, число вийшло не «1», то вам скоріше за все потрібно буде помножити матрицю на число. В реальності це є не обов’язковою дією, але вам варто дивитися на завдання та приймати рішення самостійно чи робити це, чи ні.

Обернена матриця використовується в матричних рівняннях, які ми розглянемо в наступному уроці. Наголошую, що обернена матриця по факту символізує матрицю в знаменнику. Тобто, дію ділення.

Адже, в матрицях не має поняття ділення. І вираз «/A/B» записується у вигляді «A ∙ B^-1».