Логарифмом числа «b» за основою «a» називається показник степеня, до якого треба піднести основу «a», щоб одержати число «b».

Записується так «log_a⁡b»; читаємо: «логарифм «b» за основою «a»» або «логарифм за основою «a» від числа «b»».

При цьому основа «а» має бути більшою за нуль і не може бути рівною одиниці; число від якого береться логарифм має бути більшим за нуль. Тобто: «a > 0; a ≠ 1; b > 0».

Показникові рівності вигляду: «a^x = b», де «x» - показник степеня, «a» - основа степеня, «b» - степінь числа «a»; можна переписати через логарифмічну рівність: «x = log_a⁡ b», де «x» - логарифм числа «b» за основою «a», «a» - основа логарифма, «b» - число, яке стоїть під знаком логарифма.

Логарифм за основою «10» називається десятковим і позначається «lg».

Логарифм за основою «e» (число Ейлера, e ≈ 2,718281…) називається натуральним і позначається «ln».

Отже, перетворення з показникової рівності у логарифмічну виглядатиме так:

a^x = b ↔ x = log_a b

2⁶ = 64 ↔ 6 = log₂64

Або навпаки:

x = log_a⁡b ↔ a^x = b

log_¹5 ⁡625 = -4 ↔ (/1/5)^-4 = 625

Основна логарифмічна властивість:

a^log_a⁡b = b; a > 0, a ≠ 1, b > 0

Властивості логарифмів:

Логарифм числа за тією самою основою дорівнює «1»:

log_aa = 1, оскільки a¹ = a

Логарифм числа «1» за будь-якою основою дорівнює «0»:

log_a⁡1 = 0, оскільки a⁰ = 1

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів:

log_a⁡(bc) = log_a⁡|b| + log_a|c|; b > 0, c > 0

Логарифм частки (дробу) дорівнює різниці логарифмів чисельника і знаменника:

log_a⁡(/b/c) = log_a⁡|b| - log_a⁡|c|; b > 0, c > 0

Логарифм степеня дорівнює добутку показника і логарифма основи (якщо простимим словами, коли вираз від якого береться логарифм є у степені, то степінь можна винести перед логарифмом):

log_a⁡bⁿ = n · log_a⁡b, b > 0

log_an/b⁡ = log_a⁡b^1_n = /1/n·log_a⁡b, b > 0

Логарифм від основи в степені дорівнює добутку оберненого степеня і логарифма.

log_a^m⁡b = /1/m · log_a⁡b, b > 0

log_a^m⁡bⁿ = /n/m · log_a⁡b, b > 0

Формули переходу до іншої основи:

log_a⁡b = 1log_b⁡a

log_a⁡c = log_bclog_b⁡a; c > 0

Якщо об’єднати ці дві формули, то отримаємо наступну для множення двох логарифмів:

log_a⁡b ∙ log_b⁡c = log_a⁡c

При цьому, логарифм може бути степенем якогось числа. В такому випадку, матимемо наступні формули:

a^log_a⁡b = b

a^log_c⁡b = b^log_c⁡a

Знаходження логарифмів заданих чисел або виразів називається логарифмуванням.

Знаходження чисел (виразів) за даним логарифмом числа (виразу) називається потенціюванням.

Логарифм є додатним «log_a⁡b > 0», якщо: «a > 1, b > 0» або «0 < a < 1, 0 < b < 1»;

Логарифм є від’ємним «log_a⁡b < 0», якщо: «0 < a < 1, b > 1» або «a > 1, 0 < b < 1»;

Рівності логарифмів:

Якщо: log_a⁡x = log_a⁡y,то x = y; a > 0, a ≠ 1