Означення циліндра. Елементи циліндра

Дуже часто в задачах вам не будуть вказувати, що у вас є циліндр. Вам можуть сказати, що ви маєте прямокутник який обертають навколо якоїсь з його сторін. Тому, вам необхідно ознайомитись з таким поняттям як «тіло обертання».

Циліндр це геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника (або квадрата) навколо однієї з його сторін.

Розглянемо прямокутник «OABO₁» який будемо обертати навколо сторони «OO₁».

Сторону (відрізок) «OO₁» (сторона навколо якої обертається прямокутник) називають «віссю обертання».

Протилежна до неї сторона «АВ» описує «бічну поверхню циліндра». Цей відрізок називають «твірною циліндра». Будь-який відрізок який належить цій поверхні та є паралельним до сторони «АВ» (і такої ж самої довжини) також буде твірною циліндра. Для прикладу відрізок «A₁B₁» теж буде твірною циліндра.

Дві інші сторони прямокутника «OA» та «O₁B» будуть описувати рівні круги. При цьому ці круги будуть знаходитися в паралельних площинах. Ці круги називають «основами циліндра», а сторони прямокутника які їх утворюють (відрізки «OA» та «O₁B») будуть називають «радіусами основи».

Відстань між основами циліндра називають «висотою циліндра». Ця відстань буде рівна довжині твірної циліндра.

Перерізи циліндра

Циліндр можна перерізати великою кількістю способів. Розглянемо основні типи перерізу.

Якщо переріз циліндра проходить через його вісь (вісь обертання), то його називають «осьовим перерізом циліндра». Даний переріз буде мати форму прямокутника одна сторона якого є діаметром основи, а інша твірною циліндра.

Де «ABCD» - осьовий переріз циліндра, «AB» - твірна, «AD» - діаметр основи.

Переріз може бути паралельним до осі циліндра (перпендикулярним до його основ) але при цьому не проходити через вісь циліндра. В такому випадку ми будемо мати також прямокутник але одна зі сторін якого буде хордою кола, а інша твірною циліндра.

Також, часто можна зустріти переріз перпендикулярний до осі циліндра (паралельний до його основ). В такому випадку ви отримаєте переріз у формі кола аналогічного до основи циліндра. Відповідно, радіус/діаметр/довжина кола/площа та все інше у них будуть однаковими.

Можливі випадки, коли переріз є нахилений під певним кутом до осі циліндра. Тоді, переріз буде мати форму еліпса. Еліпс у шкільному курсі математики не розглядають.

Площа циліндра

У циліндрі як і в багатьох об’ємних фігурах розрізняють три типи площі.

Площа основи. Площу основи позначають «S_o». Враховуючи, що в основі циліндра знаходиться коло, то й відповідно площу основи можна знайти за формулою площі кола:

S_o = πr² = π·d²4

Площа бічної поверхні. Площу бічної поверхні (або просто бічну поверхню) позначають «S_б». Для того щоб легше зрозуміти принцип пошуку площі бічної поверхні ви можете взяти листок паперу (для прикладу А4) та скрутити його у вигляді трубки. Таким чином ви отримаєте циліндр. Якщо ви назад розкрутите даний листок, то він набуде форму прямокутника. Це називають «розгорткою» циліндра. Тобто, розгорткою бічної поверхні циліндра буде прямокутник у якого одна зі сторін буде висотою циліндра («h»), а інша довжиною кола основи («C = 2πr = πd»).

Отже, площу бічної поверхні ми зможемо знайти за формулою площі прямокутника:

S_б = 2πrh = πdh

Площа повної поверхні. Площу повної поверхні (або просто повну поверхню) позначають «S_п». Площу повної поверхні можна знайти як суму площі бічної поверхні та двох площ основи (бо є верхня та нижня основа).

S_п = S_б + 2S_о

Ми можемо підставити формули площ бічної поверхні та основи й отримаємо:

S_п = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)

Об’єм циліндра

Об’єм циліндра як і в багатьох фігурах позначають «V».

Для того щоб знайти об’єм циліндра необхідно помножити площу основи циліндра «S_o» на його висоту «h».

V = S_oh = πr²h