Ми вже розглядали як розв’язувати логарифмічні рівняння та як розв’язувати системи рівнянь. Даний матеріал вам буде необхідний і при розв’язувані систем логарифмічних рівнянь.

В даних типах завдань є доволі мало хитрощів. Зазвичай, рівняння даних систем намагаються спростити. Для цього, намагаються розв’язати самі рівняння позбуваючись від логарифмів. В результаті, отримують звичайні рівняння.

Наприклад, розглянемо дану систему:

{x + y = 5 log₆ ⁡x + log₆⁡ y = 1

Як помітно, перше рівняння вже є простим. Адже, там не має логарифмів і нічого подібного.

Для того щоб розв’язати дану систему ми можемо піти двома шляхами:

Спробуємо спростити друге рівняння «log₆ ⁡x + log₆ ⁡y = 1». Оскільки, в лівій частині ми маємо додавання двох логарифмів з однаковою основою, то можна скористатися правилом: «log_a ⁡b + log_a ⁡c = log_a ⁡bc». Отже, матимемо:

log₆ ⁡xy = 1

А, це, вже виглядатиме як звичайне логарифмічне рівняння «log_a ⁡f(x) = b», яке можна розв’язати так: «f(x) = a^b». Скористаємося цим:

xy = 6¹

xy = 6

Врахувавши спрощене друге рівняння ми матимемо новий вигляд нашої системи:

{/x + y = 5/xy = 6

Залишається її розв’язати. Скористаємося методом виражання змінної (метод підстановки).

{/x = 5 - y/(5 - y)y = 6

Розв’яжемо отримане рівняння:

(5 - y)y = 6

-y² + 5y - 6 = 0

Для зручності помножимо все на «-1»:

-y² + 5y - 6 = 0 |∙(-1)

y² - 5y + 6 = 0

Отримали, звичайне квадратне рівняння. Детальніше як їх розв’язувати прочитайте тут.

Розв’язки даного рівняння будуть такі:

у = 2; у = 3

Залишається знайти значення змінної «х». Для цього підставимо значення «у» у перше рівняння системи:

При «у = 2»:

x = 5 - 2

x = 3

Отже, будемо мати в якості розв’язку таку пару чисел:

(3; 2)

При «у = 3»:

x = 5 - 3

x = 2

Отже, будемо мати в якості розв’язку таку пару чисел:

(2; 3)

Відповідь: «(3; 2)», «(2; 3)».

Якби ви виражали з першого рівняння якусь змінну, то ви б робили так:

{x = 5 - y log₆ ⁡(5 - y) + log₆ ⁡y = 1

Далі, наші дії будуть такими ж як і в попередній ситуації. Тобто:

log₆⁡ (5 - y) + log₆⁡ y = 1

log₆ ⁡[(5 - y)y] = 1

(5 - y)y = 6¹

-y² + 5y - 6 = 0

Як бачите ми дійшли до того ж самого рівняння.

Розв’яжемо ще одну систему:

{log₅⁡ (x - 4y) = 0 lg⁡ 2x + lg⁡ y = 1

Як помітно, ми не маємо жодного простого рівняння. Тому, спробуємо спростити рівняння які у нас є. Розпочнемо з першого:

log₅⁡ (x - 4y) = 0

x - 4y = 5⁰

x - 4y = 1

Перше рівняння є спрощеним. З нього можна виразити змінну «х» та підставляти у друге рівняння. Але, ми спробуємо, спростити ще друге рівняння:

lg⁡ 2x + lg ⁡y = 1

Враховуючи, що маємо додавання двох логарифмів з однаковими основами, то ми можемо скористатися формулою «log_a ⁡b + log_a ⁡c = log_a ⁡bc», отримаємо:

lg⁡ 2x + lg ⁡y = 1

lg⁡ 2xy = 1

2xy = 10¹

xy = 10∶2

xy = 5

Отже, нам вдалося спростити і друге рівняння. Тепер, наша система виглядатиме так:

{/x - 4y = 1/xy = 5

Розв’яжемо її методом виражання змінної. Виразимо змінну «х» з першого рівняння.

{/x = 4y + 1/(4y + 1)y = 5

Розв’яжемо друге рівняння:

(4y + 1)y = 5

4y² + y - 5 = 0

Отримаємо такі розв’язки:

y = 1; y = -/5/4

Зауважимо, що в другому рівнянні ми маємо «lg ⁡y», а під логарифмічний вираз має бути більшим за нуль. Тому, розв’язок «y = -/5/4» нам не підходить.

Знайдемо значення змінної «х» при «у = 1». Підставимо, у друге спрощене рівняння:

x ∙ 1 = 5

x = 5

Отже, розв’язком системи буде пара чисел:

(5; 1)

Розв’яжемо ще одну систему:

{log₃⁡log₂⁡ x + log_1/3⁡log_1/2⁡ y = 1 xy² = 2

Спробуємо спростити перше рівняння:

log₃⁡log₂⁡ x + log_1/3⁡log_1/2⁡ y = 1

У нас є «log_1/3⁡ a», де «/1/3» ми можемо записати як «3^-1». Після чого, ми зможемо винести степінь перед логарифмом:

log_1/3 ⁡a = -log₃ ⁡a

Тепер, наше рівняння виглядатиме так:

log₃⁡log₂⁡ x - log₃⁡log_1/2 ⁡y = 1

Тобто, ми отримаємо віднімання логарифмів з однаковими основами. Тому, можна скористатися формулою: «log_a ⁡b - log_a⁡c = log_a⁡/b/c».

log₃⁡(log₂ ⁡xlog_1/2 ⁡y) = 1

Тепер, ми маємо звичайне логарифмічне рівняння:

log₂ ⁡xlog_1/2⁡ y = 3¹

log₂ ⁡x = 3∙log_1/2⁡ y

Ми можемо «/1/2» записати у вигляді «2^-1». Отримаємо:

log₂ ⁡x = -3∙log₂ ⁡y

Перенесемо все в одну частину:

log₂ ⁡x + 3·log₂ ⁡y = 0

Позбудемося від «3» скориставшись формулою: «n ∙ log_a ⁡b = log_a ⁡bⁿ». Отримаємо:

log₂ ⁡x + log₂⁡ y³ = 0

log₂⁡ (xy³) = 0

xy³ = 2⁰

xy³ = 1

x = 1y³

Тепер, наша система виглядає так:

{x = 1y³ xy² = 2

Розв’яжемо її:

1y³ ∙ y² = 2

/1/y = 2

y = /1/2

Знайдемо, тепер значення змінної «х»:

x = 1 ∶ (/1/2)³

x = 1 ∶ /1/8

x = 8

Отже, розв’язками нашої системи буде пара чисел:

(8; /1/2)