Рівняння називаються показниковим, якщо його невідомі (змінні) входять лише до показників степенів при сталій основі.

Приклади показникових рівнянь:

2^{x + 2} = 8; 5^{1 - x} = 5 / 5^x; 9^x + 3^x = 3; і так далі.

Для розв’язування показникових рівнянь часто використовують властивості степеня. В даному випадку це є показникові тотожності, де «a» та «b» - основи (будь-які числа), «x» та «y» - степінь.

a⁰ = 1; a ≠ 0

a¹ = a

a^{x + y} = a^x ∙ a^y

a^{x - y} = a^x ∶ a^y

(a^x)^y = (a^y)^x = a^xy

a^x ∙ b^x = (ab)^x

a^x / b^x = (/a/b)^x; b ≠ 0

a^-x = 1 / a^x; a ≠ 0

a^x_y = y a^x = (y/a)^x

Рівняння виду: «a^f(x) = b», де «a > 0, a ≠ 1»

Вираз «a^f(x)», де «a > 0, a ≠ 1» приймає лише додатних значень.

Якщо число у степені в якому є змінна «х» дорівнює від’ємному числу («b ≤ 0»), то таке рівняння розв’язків не має.

Якщо число у степені в якому є змінна «х» дорівнює додатному числу («b > 0»), то таке рівняння має єдиний розв’язок, який, можна знайти використавши основну логарифмічну тотожність:

f(x) = log_a⁡b

Відповідно для правильного розв’язання таких прикладів варто ознайомитися з властивостями логарифмів. Детальніше читайте тут.

Можемо скласти таку таблицю:

af(x) = b; a > 0, a ≠ 1
b > 0	b ≤ 0
f(x) = loga⁡b	x ∈ ∅

Приклад: 5^x = 8

x = log₅⁡8

Відповідь: log₅⁡8.

Приклад 2: 5^{x - 9} = 5

x - 9 = log₅⁡5

x - 9 = 1

x = 1 + 9

x = 10

Відповідь: 10.

Приклад 3: 3^{x2 - x - 2} = 81

x² - x - 2 = log₃⁡81

x² - x - 2 = 4

x² - x - 2 - 4 = 0

x² - x - 6 = 0

D = (-1)² - 4∙1∙(-6) = 1 + 24 = 25

x₁ = /-(-1) + √25/2 ∙ 1 = /1 + 5/2 = 3

x₂ = /-(-1) - √25/2 ∙ 1 = /1 - 5/2 = -2

Відповідь: -2; 3.

Рівняння виду: «a^f(x) = a^g(x)», де «a > 0, a ≠ 1»

Коли ми маємо рівняння в якому два однакові числа рівні між собою але мають різні степені, то ми можемо таке рівняння розв’язати прирівнявши їх степені між собою. Тобто, якщо ми маємо рівні основи, то їх степені будуть також рівними.

Рівняння:

a^f(x) = a^g(x); a > 0, a ≠ 1

Розв’язуємо так:

f(x) = g(x)

Приклад: 3^{x - 5} = 9^-2x

Коли у нас є різні основи та степені, то необхідно зробити щось однаковим. Степені зробити однаковими на багато складніше чим основи. Тому зробимо перевіримо чи можна зробити основи однакові.

Оскільки «9 = 3²», то ми можемо наший приклад переписати так:

3^{x - 5} = (3²)^-2x

3^{x - 5} = 3^{2 ∙ (-2x)}

3^{x - 5} = 3^-4x

Як видно ми маємо однакові основи. Якщо основи однакові, то такий приклад ми можемо розв’язати прирівнявши степені. Матимемо:

x - 5 = -4x

x + 4x = 5

5x = 5

x = 5 ∶ 5

x = 1

Відповідь: 1.

Приклад 2: 4^{3x + 1} = 8^{-2x - 1}

В цьому прикладі основи та степені є різними. Зведемо приклад до однакових основ.

Оскільки «4 = 2²» і «8 = 2³», то наший приклад можна переписати так:

(2²)^{3x + 1} = (2³)^{-2x - 1}

2^{2(3x + 1)} = 2^{3(-2x - 1)}

Основи є однаковими, тому наші степені є рівними:

2(3x + 1) = 3(-2x - 1)

6x + 2 = -6x - 3

6x + 6x = -3 - 2

12x = -5

x = -/5/12

Відповідь: -/5/12.

Рівняння виду «a^f(x) = b^f(x)», де «a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, a ≠ b»

Коли ми маємо рівняння у якого основи є різними, а степені є однаковими, то такий приклад можна розв’язати поділивши весь приклад на «a^f(x)» або «b^f(x)». Після чого один з виразів стане «1», а у другому винести степінь за дужки. Тобто:

a^f(x) = b^f(x) | ∶ b^f(x)

a^f(x) / b^f(x) = b^f(x) / b^f(x)

(/a/b)^f(x) = 1

З властивості, що будь-яке число у нульовому степені рівне одиниці, будемо мати, що наший степінь є «0». Тому прирівнюємо вираз «f(x)» до нуля.

f(x) = 0

Звідси і знайдемо розв’язки початкового рівняння.

Приклад: 2^{x - 5} = 8^{x - 5}

У нас відразу є однакові степені. Тому можна поділити весь приклад на «2^{x - 5}» або «8^{x - 5}». Поділимо на «8^{x - 5}». Будемо мати:

2^{x - 5} = 8^{x - 5} | ∶ 8^{x - 5}

2^{x - 5} / 8^{x - 5} = 8^{x - 5} / 8^{x - 5}

Оскільки степінь у виразу «2^{x - 5} / ^{x - 5}» є однаковий, то ми можемо винести його за дужки. Отримаємо:

(/2/8)^{x - 5} = 1

З самим виразом «/2/8» можна ні чого не робити Число в степені рівне одиниці лише тоді, коли цей степінь є нулем. Тому ми можемо прирівняти степінь до нуля та знайти розв’язки рівняння:

x - 5 = 0

x = 5

Відповідь: 5.

Зведення до найпростіших показникових рівнянь методом винесення спільного множника за дужки

Часто бувають ситуації, коли у рівнянні є декілька виразів у степені та без степеня. В таких прикладах необхідно зробити вирази у яких змінна «х» у степені однаковими. Тобто, щоб основа і степінь були однакові. Після чого цей вираз виносимо за дужки як спільний множник. Таким чином можна звести приклад до одного з найпростіших.

Приклад: 3^{x + 2} + 3^{x + 1} + 3^x = 117

Наший приклад має декілька виразів зі степенем. Оскільки основи в таких виразів вже є однаковими, то залишилося зробити однакові степені. Для цього скористаємося властивістю степеня: «a^{x + y} = a^x · a^y». Отримаємо:

3²∙3^x + 3∙3^x + 3^x = 117

9∙3^x + 3∙3^x + 3^x = 117

Тепер ми маємо однакові вирази зі степенем «3^x». Винесемо його за дужки як спільний множник:

3^x(9 + 3 + 1) = 117

13∙3^x = 117

3^x = /117/13

3^x = 9

Як видно після таких ми отримали одне з простих рівнянь. Розв’яжемо його:

3^x = 3²

x = 2

Відповідь: 2.

Приклад 2:7^{2x + 1} - 7^{2x - 1} = 336

В нашому прикладі степінь «2х» є спільним для обох виразів, тому від нього можна не позбуватися, а «1» і «-1» є різним. Скористаємося властивостями степеня «a^{x + y} = a^x ∙ a^y» і «a^{x - y} = a^x ∶ a^y». Отримаємо:

7^2x ∙ 7 - 7^2x ∶ 7 = 336

Як бачите ми отримали спільний вираз «7^2x». Винесемо його за дужки.

7^2x ∙ (7 - /1/7) = 336

7^2x ∙ /48/7 = 336 | ∙ /7/48

7^2x = 336 ∙ /7/48

7^2x = 7 ∙ 7

7^2x = 7²

2x = 2

x = 2 ∶ 2

x = 1

Відповідь: 1.

Зведення до найпростіших показникових рівнянь методом заміни змінної

Доволі часто у прикладах доводиться використовувати замінну змінної «t = a^f(x)», при цьому «t > 0».

Приклад: 5^2x - 6∙5^x + 5 = 0

Оскільки «5^2x» можна переписати як «(5^x)²», то у цьому прикладі можна скористатися заміною «t = 5^x». Після чого, отримаємо такий приклад:

t² - 6t + 5 = 0

Розв’яжемо отримане рівняння:

D = (-6)² - 4∙1∙5 = 36 - 20 = 16

t₁ = /-(-6) + √16/2 ∙ 1 = /6 + 4/2 = 5

t₂ = /-(-6) - √16/2 ∙ 1 = /6 - 4/2 = 1

Оскільки обидва результати змінної «t» є додатними числами, то вони обидва нам підходять (пам’ятаємо про умову: «t > 0»). Повернемося до нашої заміни.

При «t = 5» матимемо:

5^x = 5

x = 1

При «t = 1» матимемо:

5^x = 1

x = 0

Відповідь: 0; 1.

Однорідні показникові рівняння

Рівняння виду «Aa^2f(x) + Ba^f(x)b^f(x) + Cb^2f(x) = 0», де «a ≠ b», «A ≠ 0», «C ≠ 0», є однорідним показниковим рівнянням другого степеня. Таке рівняння можна розв’язати поділивши все рівняння на «b^2f(x)» або «a^2f(x)», при цьому ці вирази не мають бути рівними нулеві (бо на нуль ділити не можна). Після чого отримаємо таке рівняння:

A(/a/b)^2f(x) + B(/a/b)^f(x) + C = 0

Та скористаємося зміною змінної «(/a/b)^f(x) = t», де «t > 0»:

At² + Bt + C = 0

Розв’язуємо отримане рівняння відносно нової змінної та повернемося до початкової змінної.

Приклад: 8∙81^x + 9∙64^x = 17∙72^x

8∙81^x - 17∙72^x + 9∙64^x = 0

Враховуючи, що «81 = 9²», «64 = 8²», «72 = 9 ∙ 8», то наше рівняння можна переписати так:

8∙9^2x - 17∙9^x∙8^x + 9∙8^2x = 0

Поділимо наший приклад на «8^2x»:

8∙9^2x - 17∙9^x∙8^x + 9∙8^2x = 0 | ∶ 8^2x

8∙9^2x / 8^2x - 17∙9^x∙8^x / 8^2x + 9∙8^2x / 8^2x = 0

8∙(/9/8)^2x - 17∙(/9/8)^x + 9 = 0

Скористаємося заміною змінної «(/9/8)^x = t». Після чого будемо мати таке рівняння:

8t² - 17t + 9 = 0

D = (-17)² - 4∙8∙9 = 289 - 288 = 1

t₁ = /-(-17) + √1/2 ∙ 8 = /17 + 1/16 = /9/8

t₂ = /-(-17) - √1/2 ∙ 8 = /17 - 1/16 = 1

Повернемося до старої змінної.

При «t = /9/8» матимемо:

(/9/8)^x = /9/8

x = 1

При «t = 1» матимемо:

(/9/8)^x = 1

x = 0

Відповідь: 0; 1.