Для того, щоб розв’язувати дані рівняння і їх розуміти вам варто ознайомитися з теоретичним матеріалом. З теорію по кореню ви можете ознайомитися тут. Також, зайвим не буде ознайомитися з теорію по степеню та дробам.

Відразу зауважимо, що дані вирази зазвичай ви можете розв’язувати багатьма способами або змінювати порядок дій. Тому, нічого дивного, якщо ваші методи не збігатимуться з наведеними в даному уроці.

1) Спростити вираз: «4#y³ ∙ (y 1/3) ^- 9/2».

Ми можемо скористатися формулою перетворення кореня у степінь «n#a^m = a m/n». Тому, вираз «4#y³» можна записати так:

4#y³ = y 3/4

Отже:

4#y³ ∙ (y 1/3) ^- 9/2 = y 3/4 ∙ (y 1/3) ^- 9/2

Зауважимо, що у нас є вираз «(y 1/3) ^- 9/2». Тобто, ми маємо число в степені, яке піднімається до степеня. Тому, можна скористатися формулою «(aⁿ)^m = a^{n ∙ m}», матимемо:

(y 1/3) ^- 9/2 = y 1/3 ^{∙ (-} 9/2⁾ = y^- 9/6 = y ^- 3/2

Отже, маємо такий вираз:

y 3/4 ∙ (y 1/3) ^- 9/2 = y 3/4 ∙ y ^- 3/2

Тепер, ми маємо множення однакових виразів (букв), тому, скористаємося формулою «aⁿ ∙a^m=a^{n + m}».

y 3/4 ∙ y ^- 3/2 = y 3/4 ^{+ (-} 3/2⁾ = y ^- 3/4

При потребі ви можете позбутися від від’ємного степеня та дробового степеня:

y ^- 3/4 = #1#4#y³

2) Вказати значення степеня «a», якщо: «3#a ∙ 5#a²».

Ми можемо занести «a», під знак кореня. Для цього скористаємося формулою «a ∙ n#b = n#aⁿ ∙ b». Отже, матимемо:

3#a ∙ 5#a² = 3#5#a⁵ ∙ a²

Ми отримали множення однакових виразів. Тому, можна скористатися формулою «aⁿ ∙ a^m = a^{n + m}» і тоді отримаємо:

a⁵ ∙ a²= a^{5 + 2} = a⁷

3#5#a⁵ ∙ a² = 3#5#a⁷

Ми маємо корінь під коренем. В таких випадках можна скористатися формулою «n#m#a = n · m#a» і ми отримаємо:

3#5#a⁷ = 3 · 5#a⁷ = 15#a⁷

Перетворимо корінь у степінь за допомогою формули «n#a^m = a m/n». Матимемо:

15#a⁷ = a 7/15

Отже, «a» буде мати «/7/15» степінь.

3) Знайти значення виразу: «4#(3/3/8 ∙ 1/1/2) - #4#5#4#80».

Під першим коренем ми маємо два мішаних дроби. В першу чергу потрібно перетворити їх в не правильні дроби. Для цього скористаємося формулою «a/b/c = /a ∙ c + b/c». Матимемо:

3/3/8 = /3 ∙ 8 + 3/8 = /27/8

1/1/2 = /1 ∙ 2 + 1/2 = /3/2

Тепер виконаємо множення наших дробів:

/27/8 ∙ /3/2 = /81/16

Отже, перший корінь має такий вигляд:

4#3/3/8 ∙ 1/1/2 = 4#/81/16

Можна добути корінь з нашого результату. Пам’ятаємо, що корінь «n#a» запитує нас «яке число потрібно помножити саме на себе «n» разів, щоб отримати число «a»?». Отже, яке число потрібно помножити саме на себе «4» рази, щоб отримати «/81/16»? В такому випадку це буде «/3/2».

4#/81/16 = /3/2

Тепер, обчислимо другий дріб. Оскільки відразу добути корінь з наявних чисел ми не можемо, то потрібно щось придумати. Зауважимо, що в нас є ділення двох чисел з однаковим коренем, тому можна їх занести під один корінь за допомогою формули «n#a/n#b= √(n&a/b)». Матимемо:

#4#5#4#80 = 4#/5/80 = 4#/1/16

Залишається добути корінь:

4#/1/16 = /1/2

Отже, ми маємо:

4#3/3/8 ∙ 1/1/2 - #4#5#4#80 = /3/2 - /1/2 = /2/2 = 1

4) Скоротити дріб: «#a² - 7#a + 7».

Для того, щоб скоротити дріб потрібно чисельник та знаменник поділити на один і той же вираз. Спробуємо розкласти чисельник на множник. Для цього скористаємося властивістю кореня «a = (n#a)ⁿ». Тому, ми можемо «7» переписати через корінь:

7 = (2#7)² = (7)²

Отже, в чисельнику матимемо:

a² - 7 = a² - (7)²

Тепер, можна скористатися формулою «a² - b² = (a - b)(a + b)». Матимемо:

a² - (7)² = (a - 7)(a + 7)

Маємо такий дріб:

#a² - 7#a + 7 = #(a - 7)(a + 7)#a + 7 = a - 7

5) Обчислити: «3#10 - 73 ∙ 3#10 + 73».

Ми маємо множення декількох коренів однакового степеня. Можемо занести їх під один корінь скориставшись формулою «n#a ∙ n#b = n#a ∙ b». Матимемо:

3#10 - 73 ∙ 3#10 + 73 = 3#(10 - 73) ∙ (10 + 73)

Під коренем маємо множення двох дужок. Ми можемо їх розкрити. При цьому, можна скористатися формулою скороченого множення «(a - b)(a + b) = a² - b²»

(10 - 73) ∙ (10 + 73) = 10² - (73)²= 100 - 73 = 27

Отже, матимемо:

3#(10 - 73) ∙ (10 + 73) = 3#27

Залишається добути корінь:

3#27 = 3

6) Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу: «#5#3#36 + 3#6 + 1».

Ми можемо «36» подати як «6²», тому «3#36» можна записати як «(3#6)²». Матимемо:

#5#3#36 + 3#6 + 1 = #5#(3#66)² + 3#6 + 1

Оскільки в знаменнику ми маємо корінь кубічний і додавання/віднімання виразів, то потрібно підібрати одну з формул скороченого множення. В такому випадку нам підходить формула «(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³». Оскільки наш знаменник «(3#6)² + 3#6 + 1» збігається з частиною формули «a² + ab + b²», то нам бракує ще множника у вигляді «a - b». Отже, потрібно чисельник та знаменник помножити на «3#6 - 1». Матимемо:

#5#(3#6)² + 3#6 + 1 = #5(3#6 - 1)#(3#6 - 1)((3#6)² + 3#6 + 1)

Скориставшись формулою отримаємо:

#5(3#6 - 1)#(3#6 - 1)((3#6)² + 3#6 + 1) = #5(3#6 - 1)#(3#6)³ - 1³ = #5(3#6 - 1)#6 - 1 = #5(3#6 - 1)#5 = 3#6 - 1