Давайте розберемося, що таке корінь. Які він має властивості та як з ним працювати.

Сам корінь записують так: «√».

А, загальний запис є таким: «n/a». Де «n» - показник кореня, «a» - підкореневий вираз (основа). Наприклад: «∜81» - корінь четвертого степеня з «81».

Відразу зауважимо, що «n» це ціле додатне число починаючи з «2». В реальності там може бути від’ємне чи дробове число але в цьому не має жодної потреби.

Вважають, якщо, на місті «n», не має ні якого числа, то там знаходиться «2». Такий корінь називають «арифметичним» (ми також будемо на нього казати «корінь квадратний»). Наприклад: «16» - корінь арифметичний/квадратний з «16».

Якщо на місті «n» написана «3», то такий корінь називають «кубічним». Наприклад: «3/125» - корінь кубічний з «125».

Розберемося, що з себе представляє корінь та як з ним працювати.

Візьмемо загальний запис: «n/a». Коли доводиться працювати із коренем, то варто задавати собі таке питання: «Яке число потрібно помножити саме на себе «n» разів щоб отримати число «а»».

Для прикладу візьмемо «16». Отже, ми запитуємо себе: «яке число потрібно помножити само на себе «2» рази щоб отримати число «16»?». Відповіддю буде «4», бо «4 ∙ 4 = 16».

Візьмемо ще декілька прикладів: «-9», «3/27», «3/-64».

Розглянемо перший приклад «-9». Задаємо собі наше питання: «яке число потрібно помножити саме на себе «2» рази щоб отримати «- 9»?».

Багато хто може відповісти «- 3», але, якщо ми виконаємо перевірку «-3 ∙ (-3) = 9», то як бачите результат буде не «- 9»! Також, багато хто може відповісти «3» та «- 3», то це також помилка! Адже, «3» та «- 3» це різні числа! В шкільному курсі математики в таких ситуаціях кажуть «вираз/рівняння не має змісту», тобто таке рівняння/вираз не розв’язується.

Візьмемо наступні числа. При «3/27» будемо мати «3», а при «3/27» отримаємо «- 3».

Отже, в даній ситуації можна зробити такі висновки:

На справді працювати з коренем доволі просто. Адже, корінь на справді має майже всі ті ж самі властивості, що і степінь.

Розглянемо основну формулу з коренем і переконаємося у правдивості верхнього речення.

Отже, запам’ятайте дану формулу:

n a^m = (n/a)^m = a^m_n

Тобто, вам потрібно запам’ятати, що будь-який корінь завжди можна записати за допомогою степеня. В такій ситуації показник кореня стане знаменником степеня. Також, пригадаємо, що будь-яке число є завжди в «1» степені. Тому, коли ми не маємо степеня, то у чисельник потрібно написати «1». А, сам степінь може бути написаний біля числа під коренем або за межами кореня.

Розглянемо наступні властивості:

n/ab = n/a ∙ n/b (аналог: (ab)ⁿ = aⁿ ∙ a^m)

n/a/b = n/an/b (аналог: (/a/b)ⁿ = aⁿbⁿ)

nm/a = mn/a = nm/a (аналог: (aⁿ)^m = a^nm)

Як помітно властивості кореня мають аналоги з властивостями степеня.

Якщо ж ви будете мати множення/ділення двох виразів із коренями при цьому в них буде однакова основа, то можна буде виконати ці дії так:

n/a ∙ m/a = a^1_n ∙ a^1_m = a^{1_n+ 1_m} = a^{m + n_nm} = nma^{m + n}

n/a ∶ m/a = a^1_n ∶ a^1_m = a^{1_n- 1_m} = a^{m - n_nm} = nma^{m - n}

Враховуючи, що степінь та корінь числа ми можемо записати у вигляді дробу, то можуть виникати моменти, коли ці числа можна буде скороти.

Розглянемо ще одне дуже важливе правило:

a² = |a| = {/a, якщо a ≥ 0/-a, якщо a < 0

(a)² = a, a ≥ 0

nan = ...
nan = |a|, якщо n-парне		nan = a, якщо n-непарне
|a| = a, якщо a ≥ 0	|a| = -a, якщо a < 0

Тому, використовуючи наступні формули будьте обережні:

npa^mp = na^m

a ∙ n/b = naⁿ ∙ b

Зауважимо, що для останньої формули не обов’язково щоб між числом та дробом була саме дія множення. Головне запам’ятати, що коли ми вносимо число під корінь, то його необхідно підняти до такого ж степеня як і сам корінь.

Також, ви можете будь-яке число записати у корінь (навіть від’ємне, просто знак «-» краще залишити перед коренем). Для цього необхідно обране число записати в однаковому степені та корені.

a = naⁿ = (n/a)ⁿ; a ≥ 0

Такі перетворення необхідно зазвичай виконувати коли є потреба «спростити/скоротити вираз/дріб».

Наприклад, потрібно скоротити дріб: «/x - 4/√x + 2».

Зробимо деякі перетворення у чисельнику, а саме напишемо: «x = (√x)²» і «4 = 2²». Тоді отримаємо:

/x - 4/√x + 2 = (√x)² - 2²√x + 2

Як помітно, у чисельнику ми маємо формулу скороченого множення «a² - b²». Скористаємося нею. Отже, тепер будемо мати:

(√x)² - 2²√x + 2 = /(√x - 2)(√x + 2)/√x + 2

Як помітно, у чисельнику та знаменнику ми отримали однакові множники. Скоротимо їх:

/(√x - 2)(√x + 2)/√x + 2 = √x - 2

Як ви вже зрозуміли, навіть з коренями варто знати формули скороченого множення. Вони часто необхідні, коли, потрібно позбутися від ірраціональності у знаменнику.

Ірраціональність у знаменнику означає, що в знаменнику дробу є число з коренем. Відповідно, позбутися ірраціональності у знаменнику, означає, що потрібно зробити так, щоб, корінь у знаменнику зник.

Розглянемо основні способи як це можна зробити.

Найпростіший варіант який може бути, це коли в знаменнику є лише одне єдине число. Наприклад: «bc3/a)». Тобто, там не має дії додавання/віднімання (якщо є множення/ділення, то нічого страшного. На них можна просто не зважати або занести під корінь).

Отже, в таких ситуаціях потрібно взяти число яке є у знаменнику з коренем. В нашому прикладі це «3/a». Далі для зручності записати корінь у вигляді степеня: «3/a = a^1₃».

Після чого варто запитати себе: «яке число потрібно додати/відняти до степеня щоб там вийшла «1»?». Або, ви можете розв’язати рівняння: «/1/3 + x = 1» («/1/3» бо у нас такий степінь). Розв’язком даного рівняння буде «/2/3» («x = /2/3»).

Отже, тепер потрібно чисельник та знаменник помножити на «а» в степені «/2/3». Тобто: «a^2₃ = (3/a)²». Отримаємо:

bc3/a = b ∙ (3/a)²c3/a ∙ (3/a)² = b(3/a)²ac

Коли у вас в знаменнику є не лише число з коренем, а і дії додавання/віднімання, то вам доведеться користуватися формулами скороченого множення.

Для прикладу, якщо у знаменнику є такий вираз: «a ± b». Тобто, ви маєте корінь квадратний, то необхідно буде помножити чисельник та знаменник на «a ∓ b». Ці дії необхідні щоб отримати формулу скороченого множення «a² - b²».

Розглянемо це на прикладі: «/c/d - √a».

Отже, у знаменнику ми маємо корінь квадратний. По факту нам потрібно помножити чисельник та знаменник та такий же знаменник але з протилежним знаком.

Матимемо:

/c/d - √a = /c ∙ (b + √a)/(d - √a)(b + √a)

Як помітно, у знаменнику ми отримали формулу скороченого множення «(a - b)(a + b) = a² - b²». Скористаємося нею:

/c ∙ (b + √a)/(d - √a)(b + √a) = c(b + √a)b² - (√a)² = c(b + √a)b² - a

Якщо ж, у знаменнику ви маєте корінь кубічний, то потрібно буде зробити формулу суми/різниці кубів: «a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)». З великою ймовірністю у вас буде одна з дужок, тому, вам необхідно буде просто помножити чисельник та знаменник на іншу дужку. Не забувайте стежити за знаками!

Приклад: «c3a² + 3/ab + 3b²»

Як помітно, ми маємо другу дужку зі знаком «+». Тому, нам потрібно помножити на першу дужку зі знаком «-» (бо «+» в других дужках з низу, тому беремо нижній знак з перших дужок, тобто «-»).

c3a² + 3/ab + 3b² = c(3a - 3b)(3a² + 3/ab + 3b²)(3a² - 3b²) = с(3a - 3b)(3a)³ - (3b)³ = с(3a - 3b)a - b

Ще одна ситуація з якою доведеться зустрічатися при роботі з коренем, то це порівняння чисел.

Для того, щоб правильно порівняти числа з коренем потрібно мати «однакові підкореневі вирази» або «однакові показники кореня».

Коли у вас є однакові показники кореня, то вам потрібно порівнювати їх основи. В такій ситуації все дуже просто. Більшим буде те число в якого підкореневий вираз є більшим.

Наприклад: «7 > 5», бо «7 > 5».

Коли у вас є однакові підкореневі вирази, то потрібно подивитися на показники їх коренів.

Якщо при цьому основа є більшою за «1», то більшим буде те число в якого показник кореня є меншим.

Наприклад: 4/6 < 3/6», бо «4 > 3».

Якщо основа є в межах від «0» до «1» («0 < a < 1»), то більшим буде те число в якого показник степеня буде більшим.

Наприклад: «4/0.6 < 3/0.6», бо «4 > 3».

Коли у вас є різні підкореневі вирази та різні показники кореня, то краще за все буде зробити однакові показники кореня. Для цього, варто корінь подати у вигляді степеня. Після чого у нас утворяться дроби (в якості степеня). І ці дроби нам варто звести до спільного знаменника та повернути числа назад у вигляді кореня.

Розглянемо це з першу на загальному прикладі:

n/a i m/b

a^1_n i b^1_m

a^m_nm i b^n_nm

nma^m i nmbⁿ

Після чого залишається порівняти їх підкореневі вирази.

Наприклад: «3 i 3/5».

3 i 3/5

3^1₂ i 5^1₃

3^3₆ i 5^2₆

63³ i 65²

6/27 i 6/25

3 i 3/5; бо 27 > 25

Розглянемо ще додавання/віднімання чисел з коренями.

В першу чергу зауважимо, що коли у вас є додавання/віднімання чисел під одним коренем, то їх не можна розділяти на різні корені (також, не можна об’єднувати в один корінь, якщо є додавання/віднімання чисел з коренем).

тa ± b ≠ n/a ± n/b

Це перевірити доволі просто. Обчислимо наступні вирази:

16 + 9 = 25 = 5

16 + 9 = 4 + 3 = 7

Як помітно, ми отримали різний результат.

Якщо ви хочете виконати додавання/віднімання чисел з коренями, то мають виконуватися наступні умови:

При цьому, додаються/віднімаються лише числа перед коренями (а самі корені вважаємо немов це букви).

Наприклад:

«35/9 + 26/9» - додавати/віднімати не маємо права, бо є різні показники кореня («5» і «6»).

«35/9 + 25/7» - додавати/віднімати не маємо права, бо є різні підкореневі вирази («9» і «7»).

«36/9 + 26/9 = 56/9» - додавати/віднімати маємо права, бо показники кореня та підкореневі вирази є однаковими. При цьому додаються/віднімаються числа які стоять біля коренів. Це можна порівняти з виразом «3х + 2х = 5х».

Якщо під коренем у вас є мішаний або десятковий дріб, то краще за все їх перетворити у звичайний дріб та добути корінь. При цьому скорочувати можна але це не обов’язково.

Наприклад:

1/9/16 = /25/16 = /5/4 = 1/1/4

0.36 = /36/100 = /6/10 = 0.6

Розв'яжемо декілька прикладів:

m² - 5m - √5 = /(m - √5)(m + √5)/(m - √5) = m + √5

/√6 - √10/3 - √15 = √2 · √3 - √2 · √5(√3)² - √3 · √5 = /√2(√3 - √5)/√3(√3 - √(5) = /√2/√3

53¹⁰ = 5(3²)⁵ = 3² = 9

3/64000 = 3/64 · 1000 = 3/64 · 3/1000 = 4 · 10 = 40

6/a + 6/b3/a - 3/b = 6/a + 6/b(6/a)² - (3/b)² = 6/a + 6/b(6/a - 6/b)(6/a + 6/b) = 16/a + 6/b

15⁴ : 5⁴ = (15 : 5)⁴ = 3⁴ = 3² = 9

14400 = 144 · 100 = 144 · 100 = 12 · 10 = 120

12/128 · 12/32 = 12/128 · 32 = 122⁷ · 2⁵ = 122^{7 + 5} = 122¹² = 2

(4 + 3)(4 - 3) = (4)² - (3)² = 4 - 3 = 1