Обов’язково перед тим як розв’язувати данні приклади ознайомтеся як вирішувати раціональні рівняння.

1. /x - 2/x - 2 = 0

У нас є приклад в якому один єдиний дріб який має у знаменнику змінну «х» рівний нулеві, то він розв’язується так: необхідно прирівняти чисельник до нуля – це будуть наші розв’язки, а знаменник в якому є «х» не може бути рівним нулеві (тому, що на нуль ділити не можна) – це є не розв’язки. У відповідь необхідно написати розв’язок рівняння «чисельник рівний нулеві» які не збігаються з розв’язками «знаменник не рівний нулеві».

Отже, ми можемо скласти таку систему:

{/x - 2 = 0/x - 2 ≠ 0

{/x = 2/x ≠ 2

Виходить, що у нас є розв’язок «х = 2» та не розв’язок «x ≠ 2». Вони збігаються, тому ми відкидаємо розв’язок «2». Враховуючи, що не залишилося більше варіантів розв’язків, то виходить, що дане рівняння не має розв’язків: «x ∈ ∅».

Відповідь: ∅.

2. /x + 4/x + 4 = 1

Ми маємо приклад де дріб у якому в знаменнику є змінна «х» і цей дріб рівний числу («1»). Коли дріб дорівнює числу, виразу (є різні числа, наприклад: з «х» та «без х») або дробові, то такий приклад зручно розв’язувати скориставшись правилом метелика. Коли, ми маємо, що дріб рівний числу або виразу, то для своєї зручності можемо написати у знаменнику «1». Отримаємо:

/x + 4/x + 4 = /1/1

Перед тим як скористатися метеликом варто знайти «не розв’язки» рівняння. Для цього пишемо, що знаменники в яких є «х» не можуть дорівнювати нулеві.

x + 4 ≠ 0

x ≠ -4

Тепер скористаємося метеликом та отримаємо:

1∙(x + 4) = 1∙(x + 4)

Розв’яжемо отримане рівняння:

x + 4 = x + 4

x - x = 4 - 4

0 = 0

Оскільки «х» зник та рівняння залишилося правильним, то це означає, що рівняння має безліч розв’язків: «x ∈ (-∞; +∞)».

Враховуючи, що ми маємо не розв’язок «-4», то з розв’язку «(-∞; +∞)» необхідно викинути це число. Тому, розв’язок початкового рівняння буде таким:

x ∈ (-∞; -4)∪(-4; +∞)

Відповідь: (-∞; -4)∪(-4; +∞)

3. /x - x/x - 1 = 0

Ми маємо дріб який дорівнює нулеві. Щоб розв’язати такий приклад прирівняємо його чисельник до нуля, а знаменник напишемо, що не може бути рівний нулю. Будемо мати таку систему:

{/x - x = 0/x - 1 ≠ 0

Будемо мати:

{/0 = 0/x ≠ 1

Оскільки в рівнянні «х» зник та рівняння залишилося правильним, то це означає, що розв’язком може бути будь-яке число:

x ∈ (-∞; +∞)

Але оскільки «х» не може дорівнювати «1», то ми маємо викинути це число з розв’язку. Після чого отримаємо такий розв’язок початкового рівняння:

x ∈ (-∞; 1)∪(1; +∞)

Відповідь: (-∞; 1)∪(1; +∞).

4. 6x + 1x² - 9 = 1x² - 9 + 18

Перенесемо все в одну сторону.

6x + 1x² - 9 - 1x² - 9 - 18 = 0

Як бачите вирази «1x² - 9» зникнуть. Але через те, що у знаменнику є змінна «х» нам необхідно відкинути варіанти, коли цей знаменник перетвориться у нуль. Тому, необхідно знайти «не розв’язки» написавши, що знаменник не дорівнює нулеві.

x² - 9 ≠ 0

x² ≠ 9

x ≠ ± √9

x ≠ ± 3

Після цього ми можемо спокійно відняти наший вираз «1x² - 9». Тепер маємо рівняння в такому вигляді:

6х - 18 = 0

Розв’яжемо його:

6х = 18

х = /18/6

х = 3

Наші «розв’язки» та «не розв’язки» «3» збігаються, то ми його відкидаємо. Оскільки, не залишилося більше ні яких розв’язків, то це означає, що початкове рівняння розв’язків не має.

х ∈ ∅

Відповідь: ∅.

5. x² - 1x² + 2x + 1 = 0

Ми маємо приклад в якому є у чисельнику та знаменнику змінна «х» і цей дріб рівний нулеві. Дріб може бути рівний нулю лише тоді, коли його чисельник рівний нулеві. Але, оскільки ділити на нуль не можна, то необхідно знайти значення «х» при яких знаменник перетвориться у нуль. Значення при яких знаменник перетвориться у нуль необхідно відкинути. Тому наший приклад можна переписати у вигляді системи де чисельник дорівнює нулеві, а знаменник не дорівнює нулеві.

{x² - 1 = 0x² + 2x + 1 ≠ 0

Знайдемо «розв’язки»:

x² - 1 = 0

x² = 1

x = ± √1

x = ± 1

Знайдемо «не розв’язки»:

x² + 2x + 1 ≠ 0

(x + 1)² ≠ 0

x + 1 ≠ 0

x ≠ -1

В нашому прикладі збігаються «розв’язок» та «не розв’язок» «-1». Тому необхідно його відкинути. Залишається лише один розв’язок початкового рівняння «1».

Відповідь: 1.

6. /(x - 3)(x - 5)/x - 2 = 0

Ми маємо один єдиний дріб який дорівнює нулеві. Розв’язками такого прикладу будуть числа при яких чисельник буде рівний нулеві, але необхідно відкинути числа при яких знаменник перетвориться у нуль. Тому наший приклад можна переписати як систему де чисельник рівний нулеві, а знаменник не рівний нулю.

{/(x - 3)(x - 5) = 0/x - 2 ≠ 0

Знайдемо «розв’язки»:

(x - 3)(x - 5) = 0

x - 3 = 0 або x - 5 = 0

x = 3 або x = 5

Знайдемо «не розв’язки»:

x - 2 ≠ 0

x ≠ 2

Оскільки наші «розв’язки» та «не розв’язки» не збігаються, то відкидати ні чого не потрібно. Отже, розв’язками початкового рівняння будуть числа «3», «5».

Відповідь: 3; 5.

7. /3x + 4/x + 1 = 2

Ми маємо приклад в якому дріб рівний числу. Такі приклади зручно розв’язувати використовуючи «метелик». Для цього напишемо під числом у знаменнику «1». Пам’ятаємо, що при множенні чи діленні на «1» ми будемо мати такий же результат.

/3x + 4/x + 1 = /2/1

Перед тим як використовувати метелик варто написати, що знаменник у якому є змінна «х» не може бути рівний нулеві. Будемо мати:

x + 1 ≠ 0

х ≠ -1

Тепер як ми знаємо «не розв’язки» рівняння ми можемо використовувати правило метелика. Після, чого можемо знайти розв’язки рівняння. Отримаємо:

1(3x + 4) = 2(x + 1)

3x + 4 = 2x + 2

3x - 2x = 2 - 4

x = -2

Ми отримали розв’язок «-2» та не розв’язок «-1». Оскільки, вони не збігаються, то розв’язком початкового рівняння буде «-2».

Відповідь: -2.

8. /x - 6/x - 2 - /x - 8/x = 0

В нашому прикладі є два дроби. Для зручності перенесемо один з дробів у праву частину.

/x - 6/x - 2 = /x - 8/x

Такі приклади зручно розв’язувати використовуючи спосіб метелика. Але оскільки у знаменнику є змінна «х», то варто відкинути значення «х» при яких знаменники перетворюються у нуль.

х - 2 ≠ 0 та х ≠ 0

х ≠ 2 та х ≠ 0

Після, того як знайшли «не розв’язки» варто скористатися метеликом та розв’язати отримане рівняння.

х(х - 6) = (х - 2)(х - 8)

x² - 6x = x² - 8x - 2x + 16

x² - 6x = x² - 10x + 16

x² - 6x - x² + 10x - 16 = 0

4x - 16 = 0

4x = 16

x = /16/4

x = 4

Отже, у нас є розв’язок «4» та не розв’язки «0» та «2». Оскільки, вони не збігаються, то розв’язком початкового рівняння буде «4».

Відповідь: 4.

9. /1/x - 7 + /1/x + 4 = 0

Ми маємо два дроби, то таке рівняння буде зручно розв’язувати, якщо перенести один з дробів перенести у протилежну сторону.

/1/x - 7 = -/1/x + 4

В правій частині є дріб перед яким є знак мінус «-». Занесемо цей мінус до чисельника:

/1/x - 7 = /-1/x + 4

Перед тим як користуватися метеликом варто відразу знайти значення «х» при яких знаменник може перетворитися у нуль. Тому напишемо, що наші знаменники не рівні нулеві.

x - 7 ≠ 0 та x + 4 ≠ 0

x ≠ 7 та x ≠ -4

Після того як ми знайшли «не розв’язки» знайдемо «розв’язки» рівняння. Скористаємося метеликом:

1(x + 4) = -1(x - 7)

Та розв’яжемо отримане рівняння.

x + 4 = -x + 7

x + x = 7 - 4

2x = 3

x = /3/2

x = 1,5

Оскільки, «розв’язок» та «не розв’язок» не збігаються, то розв’язком початкового рівняння буде «1,5».

Відповідь: 1,5.

10. 6x + 14x² - 9 + 7x² + 3x = /6/x - 3

Приклади в яких є декілька дробів можна розв’язувати багатьма способами. Ми ж перенесемо все в одну сторону для того щоб в одній частинні був нуль.

6x + 14x² - 9 + 7x² + 3x - /6/x - 3 = 0

Тепер спробуємо зробити з цих дробів один єдиний дріб. Для цього необхідно звести їх до одного знаменника. Для нашої зручності варто розкласти знаменники на множники.

Перший знаменник «x² - 9» можемо розкласти за формулою скороченого множення «a² - b² = (a - b)(a + b)». Будемо мати:

x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3)

У другому знаменнику «x² + 3x» ми можемо винести змінну «х» за дужки. Матимемо:

x² + 3x = x(x + 3)

А з третім знаменником ми нічого зробити не зможемо, тому залишимо його як є. Тепер наший приклад має такий вигляд:

/6x + 14/(x-3)(x+3) + /7/x(x+3) - /6/x - 3 = 0

Тепер необхідно звести до спільного знаменника. За основу беремо знаменник першого дробу «(x - 3)(x + 3)». Після, чого необхідно дописати до нашого знаменника все, що є в інших знаменниках але не має у спільному.

Наприклад, другий знаменник «x(x + 3)» має «х» якого не має в спільному знаменнику. Тому «х» ми маємо дописати до спільного знаменника. А «х + 3» вже є у спільному знаменнику, тому його не записуємо. Тепер наший загальний знаменник виглядає так: «x(x – 3)(x + 3)».

Тепер перейдемо до третього знаменника «х – 3». Оскільки, такий множник вже є у спільному знаменнику, то його не записуємо. Отже, наший спільний знаменник остаточно виглядає так: «x(x – 3)(x + 3)».

Після, того як знайшли спільний знаменник варто знайти додаткові множники до кожного чисельника.

Щоб знайти додаткові множники необхідно дописати до чисельника все, що є у спільному знаменнику але не має у знаменнику до якого шукаємо множник.

Тобто, коли ми шукатимемо додаткові множники до першого дробу в якому знаменник такий: «(x – 3)(x + 3)», то ми маємо помножити на «х». Бо спільний знаменник є таким: «x(x – 3)(x + 3)». І відповідно все, що є спільним («(x – 3)(x + 3)») ми пропускаємо, а що різне («х»), то дописуємо як множник до чисельника.

До другого чисельника додатковим множником буде: «х - 3». Оскільки, спільна частина у загального знаменника та знаменника в другому дробові є «х(х + 3)», а різне: «х - 3».

До третього чисельника додатковим множником буде «х(х + 3)». Оскільки, однакова частина в загального знаменника і у третього знаменника є «х - 3», а різним «х(х + 3)».

Остаточний вигляд буде такий:

/x(6x+14)+7(x-3)-6x(x+3)/x(x - 3)(x + 3) = 0

Отже, ми маємо один єдиний дріб який дорівнює нулеві. Такий приклад розв’язуємо так: чисельник прирівнюємо до нуля; а знаменник пишемо, що не рівний нулеві (бо на нуль ділити не можна).

Знайдемо не розв’язки:

x(x - 3)(x + 3) ≠ 0

x ≠ 0 або x - 3 ≠ 0 або x + 3 ≠ 0

x ≠ 0 або x ≠ 3 або x ≠ -3

Після того як знайшли «не розв’язки» необхідно знайти «розв’язки» прирівнявши чисельник до нуля:

x(6x + 14) + 7(x - 3) - 6x(x + 3) = 0

Розв’яжемо отримане рівняння.

6x² + 14x + 7x - 21 - 6x² - 18x = 0

3x - 21 = 0

3x = 21

x = /21/3

x = 7

Оскільки, «розв’язки» та «не розв’язки» не збігаються, то будемо мати розв’язком початкового рівняння «7».

Відповідь: 7.

11. /7/(x + 2)(x - 3) - 4(x - 3)² = 4(x + 2)²

Ми маємо декілька дробів. Перенесемо все в одну сторону.

/7/(x + 2)(x - 3) - 4(x - 3)² - 4(x + 2)² = 0

Вже знаменники розкладені на множники, тому з ними нічого робити не потрібно і можна відразу почати зводити до одного знаменника.

Оскільки, ми маємо у знаменниках однакові вирази які відрізняються лише степенем, то у спільний знаменник необхідно записувати вирази з максимальним степенем. Тому спільний знаменник буде таким: «(x - 3)²(x + 2)²».

Після того як знайшли спільний знаменник варто знайти додаткові множники до чисельників.

Коли є однакові множники але з різними степенями, то додатковим множником буде вираз який є в степені різниці степенів де від степеня спільного знаменника віднімаємо степінь в якому є вираз обраного знаменника. У першому дробі знаменник такий: «(x + 2)(x - 3)», а спільний знаменник: «(x - 3)²(x + 2)²». І додатковими множником буде «(x + 2)^2-1(x - 3)^2-1», тобто: «(x + 2)(x - 3)». Від степеня «2» віднімаємо «1», бо «2» це степінь загального знаменника, а «1» - степінь першого знаменника.

До другого дробу додатковий множник буде: «(x + 2)²», бо «(x - 3)²» є спільним.

До третього дробу додатковий множник буде: «(x - 3)²», бо «(x + 2)²» є спільним.

Після, чого будемо мати такий приклад:

7(x+2)(x-3)-4(x+2)²-3(x-3)²(x + 2)²(x - 3)² = 0

Ми маємо один дріб який рівний нулю. Такий приклад буде мати розв’язок, коли чисельник дорівнює нулеві. Але необхідно відкинути ті розв’язки при яких знаменник буде рівний нулеві.

Знайдемо «не розв’язки», для цього напишемо, що знаменник не рівний нулеві:

(x + 2)²(x - 3)² ≠ 0

x + 2 ≠ 0 або x - 3 ≠ 0

x ≠ -2 або x ≠ 3

Тепер знайдемо «розв’язки». Для цього прирівняємо чисельник до нуля:

7(x + 2)(x - 3) - 4(x + 2)² - 3(x - 3)² = 0

7x² + 14x - 21x - 42 - 4x² - 16x - 16 - 3x² + 18x - 27 = 0

-5x - 85 = 0

-5x = 85

x = /85/-5

x = -17

Відповідь: -17.

12. (/x+1/2x-1)⁴ - 8(/x+1/2x-1)² = 9

Деколи в прикладах доводиться використовувати замінну змінної. У нас є абсолютно однакові дроби «/x + 1/2x - 1» але вони є у різних степенях. Також вираз «(/x + 1/2x - 1)⁴» можна розписати як «((/x + 1/2x - 1)⁴)²». Ми можемо використати замінну:

(/x + 1/2x - 1)² = t

В результаті отримаємо такий приклад:

t² - 8t = 9

Тепер залишається розв’язати отримане рівняння.

t² - 8t - 9 = 0

D = (-8)² - 4∙1∙(-9) = 64 + 36 = 100

t₁ = /-(-8) + √100/2 ∙ 1 = /8 + 10/2 = 9

t₂ = /-(-8) - √100/2 ∙ 1 = /8 - 10/2 = -1

Повернемося до старої заміни:

При «t = 9», отримаємо:

(/x + 1/2x - 1)² = 9

Позбудемося від квадрата:

/x + 1/2x - 1 = ± √9

/x + 1/2x - 1 = ± 3

Отже, будемо мати два варіанти:

/x + 1/2x - 1 = 3

/x + 1/2x - 1 = -3

Обидва випадки є коли дріб рівний числу. Тому ми будемо їх розв’язувати методом метелика. Оскільки, обидва дроби мають однаковий знаменник, то можна відразу знайти якому числу не може дорівнювати «х». Для цього напишемо, що знаменник не рівний нулеві.

2x - 1 ≠ 0

2x ≠ 1

x ≠ /1/2

Тепер знайдемо розв’язки обох рівнянь.

Для першого будемо мати:

/x + 1/2x - 1 = /3/1

1(x + 1) = 3(2x - 1)

x + 1 = 6x - 3

x - 6x = -3 - 1

-5x = -4

x = /-4/-5

x = 0,8

Для другого:

/x + 1/2x - 1 = /-3/1

1(x + 1) = -3(2x - 1)

x + 1 = -6x + 3

x + 6x = 3 - 1

7x = 2

x = /2/7

Оскільки «розв’язки» та «не розв’язки» не збігаються, то обидва варіанти розв’язків нам підходять.

Розв’яжемо приклад при «t = -1»:

(/x + 1/2x - 1)² = -1

Оскільки число в парному степені не може дорівнювати від’ємному число, то такий приклад розв’язків не має.

Відповідь: /2/7; 0,8.

13. x² + x - 5x + 3xx² + x - 5 + 4 = 0

Якщо в другому доданку написати «3» перед дробом, то будемо мати:

x² + x - 5x + 3xx² + x - 5 + 4 = 0

Як помітно ці дроби є однаковими просто один з них є перевернутим. Тому, якщо використати замінну:

x² + x - 5x = t

Тоді вираз «xx² + x - 5» заміниться так:

xx² + x - 5 = /1/t

Отже, отримаємо таке рівняння:

t + 3/1/t + 4 = 0

t + /3/t + 4 = 0

Врахуємо, що наший знаменник не може бути рівний нулеві:

t ≠ 0

Після, чого помножимо весь вираз на «t», отримаємо:

t + /3/t + 4 = 0 |∙t

t² + 4t + 3 = 0

Розв’яжемо отримане рівняння:

D = 4² - 4∙1∙3 = 16 - 12 = 4

t₁ = /-4 + √4/2 ∙ 1 = /-4 + 2/2 = -1

t₂ = /-4 - √4/2 ∙ 1 = /-4 - 2/2 = -3

Повернемося до старої заміни.

x² + x - 5x = t

Оскільки, у знаменнику є «х», то варто відкинути значення при яких знаменник перетвориться у нуль. Тобто:

x ≠ 0

Скористаємося метеликом при подальшому розв’язанні.

При «t = -1», отримаємо:

x² + x - 5x = /-1/1

x² + x - 5 = -x

x² + x - 5 + x = 0

x² + 2x - 5 = 0

D = 2² - 4∙1∙(-5) = 4 + 20 = 24

x₁ = /-2 + √24/2 ∙ 1 = /-2 + 2√6/2 = -1 + √6

x₂ = /-2 - √24/2 ∙ 1 = /-2 - 2√6/2 = -1 - √6

При «t = -3», отримаємо:

x² + x - 5x = /-3/1

x² + x - 5 = -3x

x² + x - 5 + 3x = 0

x² + 4x - 5 = 0

D = 4² - 4∙1∙(-5) = 16 + 20 = 36

x₁ = /-4 + √36/2 ∙ 1 = /-4 + 6/2 = 1

x₂ = /-4 - √36/2 ∙ 1 = /-4 - 6/2 = -5

«Розв’язки» та «не розв’язки» не збігаються, тому відкидати нічого не потрібно.

Відповідь: -1 + √6; -1 - √6; 1; -5.