Ми вже проходили основні поняття з комбінаторики. Ми вже розбирались, що таке перестановка з «n» елементів («P_n»), розміщення з «m» по «n» елементів («A/n/m») та сполучення з «m» по «n» елементів («C/n/m»). Але пригадаємо формули: «P_n = n!», «A/n/m = /n!/(n - m)!» та «C/n/m = /n!/m! (n - m)!».

Можливі такі ситуації, що дані формули можуть знаходитися у рівняннях або нерівностях. В таких ситуаціях, зазвичай, змінну «х» розміщують на місці «m» або/і «n».

В цих формулах нам необхідно буде використовувати поняття факторіала. Пригадаємо, що «n!» означає, що ми будемо множити всі натуральні числа від «1» до «n» включно.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n - 2)∙(n - 1)∙n

За цією формулою нам доведеться розписувати наші формули «P_n», «A/n/m» та «C/n/m». Після чого виконувати спрощення та зводити рівняння до одного з базових типів.

Також, відразу зауважимо обмеження, які в даних типах рівнянь та нерівностей використовуються.

Якщо ви маєте «P_n», то вираз який стоїть замість «n» обов’язково має бути більшим-рівним за нуль та натуральним:

n ≥ 0; n ∈ N

Якщо ви маєте «A/n/m» або «C/n/m», то вираз який стоїть замість «m» обов’язково має бути більшим-рівним за нуль, а вираз який стоїть замість «n» має бути більшим-рівним за «m» і обидва вирази мають бути натуральними:

0 ≤ m ≤ n; n ∈ N

Дані обмеження ми будемо в основному використовувати під час розв’язання нерівностей. Це буде славнозвісне ОДЗ (область допустимих значень).

Розберемося з цим детальніше.

Розв’язати рівняння: «P_{x + 2} = 42P_x».

Метод 1.

Враховуючи, що «х» ми маємо біля «Р». Це буде схожим на лінійне рівняння. Тому, варто зробити «х = число». Для цього поділимо весь вираз на «P_x».

P_{x + 2} = 42P_x | ∶ P_x

P_{x + 2}P_x = 42

Для розв’язування даного рівняння нам варто скористатися формулою «P_n = n!». Скориставшись нею наше рівняння набуде такого вигляду:

/(x + 2)!/x! = 42

Тепер, варто скористатися поняттям факторіала. Де, будемо мати «x! = 1∙2∙3∙…∙x» і «(x + 2)! = 1∙2∙3∙…∙x∙(x + 1)∙(x + 2)». При цьому вираз «1∙2∙3∙…∙x∙(x + 1)∙(x + 2)» ми можемо записати у вигляді «x!∙(x + 1)∙(x + 2)». Отже, наше рівняння набуде вигляду:

/x!∙(x + 1)∙(x + 2)/x! = 42

Як помітно, то «х!» є в чисельнику та знаменнику. Відповідно, ми можемо його скоротити. Після чого, отримаємо рівняння такого вигляду:

(x + 1)∙(x + 2) = 42

Розкриємо дужки та перенесемо все в одну частину.

x² + 2x + x + 2 - 42 = 0

Спростимо дане рівняння.

x² + 3x - 40 = 0

Отримали звичайне квадратне рівняння. Методи розв’язування ви можете прочитати тут. А, розв’язками даного рівняння є:

x₁ = 5; x₂ = -8

Оскільки, факторіал працює лише з натуральними числами, то розв’язком початкового рівняння буде «5».

Метод 2.

В рівняннях які можна звести до типу «дріб з «х» = число» можна використати ще один метод. Розглянемо його. Відразу візьмемо крок де ми мали «дріб = число»:

/(x + 2)!/x! = 42

Зверніть увагу, що чисельник та знаменник відрізняються на «2» (в чисельнику «х + 2», а у знаменнику лише «х»; відповідно «х + 2 – х = 2» - від чисельника відняли знаменник). То, це означає, що число «42» потрібно розкласти на два послідовні множники (якби різниця між чисельником та знаменником було «3», то ми б розкладали на «3» послідовні множники).

Отже, два послідовні множники які дадуть в результаті «42» будуть «6» та «7» (бо «6 ∙ 7 = 42»). Тому, наше рівняння можна записати так:

/(x + 2)!/x! = 6 ∙ 7

Пам’ятаємо, якщо число помножити та поділити одночасно на якесь число, то нічого не зміниться. Скориставшись цим правилом ми можемо «6 ∙ 7» одночасно помножити та поділити на «5!». Тобто, на всі числа від «1» до «5» включно.

/(x + 2)!/x! = /5! ∙ 6 ∙ 7/5!

Після чого, вираз «5! ∙ 6 ∙ 7» можна буде записати як «7!».

/(x + 2)!/x! = /7!/5!

Врахувавши, що кожен вираз є з факторіалом, то звідси, ми отримаємо, що «х + 2 = 7» і «х = 5». Звісно, для гарантії варто виконати перевірку.

Другий метод використовують у простих рівняннях. Тому, для гарантії варто орієнтуватися та вчитися розв’язувати саме першим методом.

Метод 3.

Третій метод по факту є об’єднанням двох попередніх методів. Ми можемо звести рівняння до множення виразів (дужок) і прирівняти їх до числа як в першому методі.

(x + 1)∙(x + 2) = 42

Та, розкласти праве число на множники як в другому методі.

(x + 1)∙(x + 2) = 6 ∙ 7

Після чого залишається підібрати «x» таким чином, щоб ліва частина вийшла такою ж як права. Це можливо при «x = 5».

Даний спосіб можливий внаслідок того, що факторіал має бути завжди натуральним числом (цілим, додатним). Тому, всі варіанти коли «x» є дробовим або від’ємним відкидаються.

Розв’язати рівняння: «C/x/2 = 45».

Скористаємося формулою «C/n/m = /n!/m! · (n - m)!» і перепишемо ліву частину рівняння.

/x!/2!(x - 2)! = 45

Врахуємо властивість факторіала. Будемо мати: «2! = 1 ∙ 2 = 2», «x!= 1∙2∙3∙…∙(x - 2)∙(x - 1)∙x». При чому, вираз «1∙2∙3∙…∙(x - 2)∙(x - 1)∙x» можна записати у вигляді «(x - 2)!∙(x - 1)∙x». Матимемо:

/(x - 2)!∙(x - 1)∙x/2(x - 2)! = 45

В чисельнику та у знаменнику ми маємо «(x - 2)!», тому можна їх скоротити. Отримаємо:

/(x - 1)∙x/2 = 45

Щоб позбутися від знаменнику (тобто, від «2») ми можемо помножити все рівняння на «2».

/(x - 1)∙x/2 = 45 |∙2

(x - 1)∙x = 90

Розкриємо дужки та перенесемо все в одну сторону.

x² - x - 90 = 0

Отримали квадратне рівняння, розв’язками якого є «-9» і «10». Відповідно, розв’язком початкового рівняння буде «10».

Спробуємо ще розв’язати другим способом. Розпочнемо відразу з вигляду:

/x!/2!(x - 2)! = 45

Врахуємо, що «2! = 2» і відразу позбудемося від «2» помноживши все рівняння на «2».

/x!/2(x - 2)! = 45 |∙2

/x!/(x - 2)! = 90

Врахуємо, що різниця між чисельником та знаменником різниця є «2» («х – (х – 2) = х – х + 2 = 2»), то це означає, що «90» потрібно розкладати на два послідовні множники «90 = 9∙10».

/x!/(x - 2)! = 9 ∙ 10

Помножимо і поділимо вираз «9 ∙ 10» на «8!». Отримаємо:

/x!/(x - 2)! = /8! ∙ 9 ∙ 10/8!

Перепишемо вираз «8! ∙ 9 ∙ 10» як «10!». Отримаємо:

/x!/(x - 2)! = /10!/8!

Отже, в нашому випадку матимемо, що «х = 10» і «х – 2 = 8». Тобто, розв’язком є «х = 10». Звісно, не забувайте виконати перевірку!

Аналогічний результат ви отримаєте користуючись третім методом. Після того як ви виконали скорочення факторіалів та отримали множення виразів в лівій частині, а в правій частині число:

(x - 1)∙x = 90

Ви можете розкласти праву частину на таку ж саму кількість множників як і в лівій частині. При цьому дані множними потрібно підбирати таким чином, щоб можна було обрати одне єдине значення «x».

(x - 1)∙x = 9∙10

x = 10

Розв’язати рівняння: «C/x + 2/4 = x² - 1».

Скористаємося формулою «C/n/m = /n!/m! (n - m)!» і перепишемо ліву частину рівняння.

/(x + 2)!/4!(x + 2 - 4)! = x² - 1

/(x + 2)!/4!(x - 2)! = x²-1

Врахуємо властивість факторіала для дробу і формулу скороченого множення для правої частини («a² - b² = (a - b)(a + b)»). Будемо мати:

/(x-2)!∙(x-1)∙x∙(x+1)∙(x+2)/24(x - 2)! = (x - 1)(x + 1)

Скоротимо в чисельнику та знаменнику вираз «(x - 2)!»:

/(x-1)∙x∙(x+1)∙(x+2)/24 = (x - 1)(x + 1)

Позбудимось від знаменника помноживши все рівняння на «24»:

/(x-1)∙x∙(x+1)∙(x+2)/24 = (x - 1)(x + 1) |∙24

(x-1)∙x∙(x+1)∙(x+2) = 24(x-1)(x+1)

Зауважте, що в лівій та в правій частині ми маємо вирази «х – 1» та «х + 1». Ми можемо на них скоротити (поділити все рівняння). Отримаємо:

x∙(x + 2) = 24

Залишається відкрити дужки, перенести все в одну частину (прирівняти до нуля) та розв’язати отримане рівняння.

x² + 2x - 24 = 0

Розв’язками даного рівняння є:

x₁ = -6; x₂ = 4

Розв’язком початкового рівняння буде «4».

Зверніть увагу. Коли ми вивчали дробово-раціональні рівняння, то казали, що не можна ділити на вирази з «х», але в даному рівнянні ми це зробили (як і у всіх попередніх). Це все через те, що ми за замовчуванням не можемо мати ділення на нуль.

Розв’язати рівняння: «С/x + 1/x - 2 + 2С/x + 1/3 = 6(x - 1)».

Зверніть увагу. Ми маємо доданок «С/x + 1/x - 2». Тобто, на місці «m» та «n» ми маємо вираз з «х». В реальності нам це нічим не завадить і можна відразу скористатися формулою для «C/n/m». Але, якщо ви хочете щоб на місці «m» було число, а не вираз з «х», то вам варто скористатися формулою: «C/n/m = C/n/n - m». Інші формули ви можете пригадати з уроку комбінаторики. В такому випадку ми б отримали:

С/x + 1/x - 2 = С/x + 1/x + 1 - (x - 2) = С/x + 1/x + 1 - x + 2 = С/x + 1/3

Коли ми скористалися даним перетворенням, то нам дуже пощастило і ми отримали два однакових вирази «С/x + 1/3». Тому, наше рівняння тепер має такий вигляд:

С/x + 1/3 + 2С/x + 1/3 = 6(x - 1)

3С/x + 1/3 = 6(x - 1)

Ми можемо відразу все рівняння поділити на «3»:

3С/x + 1/3 = 6(x - 1) |∶3

С/x + 1/3 = 2(x - 1)

Скористаємося формулою «C/n/m = /n!/m! · (n - m)!» і перепишемо ліву частину рівняння.

/(x + 1)!/3!(x + 1 - 3)! = 7(x - 1)

/(x + 1)!/3!(x - 2)! = 7(x - 1)

Скористаємося властивостями факторіала.

/(x - 2)!(x - 1)x(x + 1)/6(x - 2)! = 7(x - 1)

Скоротимо наші вирази.

/(x - 1)x(x + 1)/6 = 7(x - 1)

Позбудемось від знаменника помноживши все рівняння на «6» і поділимо все рівняння на «х – 1», бо воно є спільним для обох частин.

/(x - 1)x(x + 1)/6 = 2(x - 1) | ∙6 ∶(x - 1)

x(x + 1) = 12

Відкриємо дужки та перенесемо все в одну частину.

x² + x - 12 = 0

Розв’яжемо отримане рівняння. Його розв’язками будуть:

x₁ = -4 і x₂ = 3

А, розв’язком початкового рівняння буде «3».

Розв’язати рівняння: «С/x + 8/x + 3 = 5A/x + 6/3».

Для того, щоб більше виразів скоротити ми можемо все рівняння поділити на «A/x + 6/3». Матимемо:

С/x + 8/x + 3 = 5A/x + 6/3 |∶ A/x + 6/3

С/x + 8/x + 3 ∶ A/x + 6/3 = 5

Скористаємося формулами комбінаторики:

/(x + 8)!/(x + 3)!(x + 8 - (x + 3))! ∶ /(x + 6)!/(x + 6 - 3)! = 5

Виконаємо спрощення:

/(x + 8)!/5!(x + 3)! ∶ /(x + 6)!/(x + 3)! = 5

Ми маємо ділення двох дробів. Пам’ятаємо, що в таких випадках лівий дріб залишається без змін, знак ділення замінюється множенням і правий дріб перевертається («/a/b : /c/d = /a/b ∙ /d/c»).

/(x + 8)!/5!(x + 3)! ∙ /(x + 3)!/(x + 6)! = 5

Скоротимо наші дроби:

/(x + 7)(x + 8)/5! = 5

Позбудемось від знаменника помноживши весь вираз на «5!».

/(x + 7)(x + 8)/5! = 5 | ∙5!

(x + 7)(x + 8) = 5 ∙ 5!

Відкриємо дужки та перенесемо все в одну частину.

x² + 15x + 56 - 600 = 0

x² + 15x - 544 = 0

Розв’язки даного рівняння будуть:

x₁ = 17; x₂ = -32

Але нам підходить лише «х = 17».

Розв’язати рівняння: «P_{x + 3} = 720A/x/5 ∙ P_{x - 5}».

Зведемо наше рівняння до вигляду «вираз = число». Для цього поділимо все рівняння на «A/x/5 ∙ P_{x - 5}»:

P_{x + 3} = 720A/x/5 ∙ P_{x - 5} | ∶ A/x/5 ∙ P_{x - 5}

P_{x + 3} : A/x/5 : P_{x - 5} = 720

Перепишемо наше рівняння скориставшись формулами комбінаторики:

(x + 3)! ∶ /x!/(x - 5)! ∶ (x - 5)! = 720

Виконаємо перетворення дробів (через ділення):

/(x + 3)!/(x - 5)! ∙ /(x - 5)!/x! = 720

Скоротимо наші дроби. Отримаємо:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 720

Щоб не розкривати дужки спробуємо знайти розв’язки методом підбору. Для цього «720» потрібно розкласти на три послідовні множники. Бо в лівій частині ми маємо три дужки які є послідовними множниками. Отже, «720» ми можемо розкласти як «8 ∙ 9 ∙ 10». Отже, матимемо:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8∙9∙10

Не складно здогадатися, що в такому випадку ми матимемо «х = 7».

Розв’язати нерівність: «A/x/3 - A/x - 1/3 ≤ 36».

Скористаємося формулами комбінаторики:

/x!/(x - 3)! - /(x - 1)!/(x - 1 - 3)! ≤ 36

/x!/(x - 3)! - /(x - 1)!/(x - 4)! ≤ 36

Спростимо наші дроби:

(x - 2)(x - 1)x - (x - 3)(x - 2)(x - 1) ≤ 36

Відкриємо дужки:

x³ - 3x² + 2x - x³ + 6x² - 11x + 6 ≤ 36

Перенесемо все в одну частину та спростимо нашу нерівність:

3x² - 9x - 30 ≤ 0

Поділимо всю нерівність на «3»:

3x² - 9x - 30 ≤ 0 | ∶ 3

x² - 3x - 10 ≤ 0

Знайдемо розв’язки рівняння «x² - 3x - 10 = 0». Це будуть «х = 5» і «х = -2».

І розв’язком даної нерівності буде:

x ∈ [-2; 5]

Також пам’ятаємо про обмеження формули «A/n/m», а саме: «0 ≤ m ≤ n». Зробимо дану перевірку по «A/x - 1/3» (бо тут вираз «х – 1» є меншим за «х»). В нас вийде:

x - 1 ≥ 3

x ≥ 4

І розв’язком даної нерівності буде:

x ∈ [4; +∞)

Залишається знайти лише спільну частину даних розв’язків. Це буде:

x ∈ [4; 5]

Коли ми маємо систему рівнянь із використанням формул комбінаторики, то нам необхідно спрощувати рівняння до базових типів (лінійних, квадратних і так далі). Звісно ж можна виконувати спрощення як в системі так і в рівняннях по окремості.

Розв’язати систему: « { C/x/y = C/x/y + 2 C/x/2 = 153 ».

Як помітно у другому рівнянні ми маємо лише одну єдину змінну («х»). Отже, ми можемо відразу знайти значення цієї змінної.

C/x/2 = 153

По факту це є звичайне рівняння які ми розв’язували раніше. Скористаємось формулою комбінаторики:

/x!/2!(x - 2)! = 153

Пам’ятаємо, що «2!» це буде «2». Тому, ми можемо все рівняння помножити на «2»:

/x!/2(x - 2)! = 153 |∙2

/x!/(x - 2)! = 306

Оскільки це є простим рівнянням, то ми можемо його вирішити методом підбору. Враховуючи, що чисельник і знаменник мають різницю «2» («х – (х – 2) = х – х + 2 = 2»), то це означає, що число «306» потрібно розкласти на два послідовні множники. Це будуть числа «17» та «18» («17 ∙ 18 = 306»).

/x!/(x - 2)! = 17 ∙ 18

Зведемо праву частину до факторіала. Для цього помножимо і поділимо праву частину на «16!».

/x!/(x - 2)! = /(16! ∙ 17 ∙ 18 )/16!

/x!/(x - 2)! = /18!/16!

Отже, будемо мати, що «х! = 18!». Тому:

x = 18

Підставимо це в перше рівняння та розв’яжемо його знайшовши значення змінної «у»:

C/x/y = C/x/y + 2

При «х = 18»:

C/18/y = C/18/y + 2

Для спрощення поділимо все рівняння на один з виразів «C/18/y» або «C/18/y + 2».

C/18/y = C/18/y + 2 | ∶ C/18/y + 2

C/18/y ∶ C/18/y + 2 = 1

Скористаємося формулами комбінаторики:

/18!/y!(18 - y)! ∶ /18!/(y + 2)!(18 - y - 2)! = 1

/18!/y!(18 - y)! ∶ /18!/(y + 2)!(16 - y)! = 1

Маємо ділення двох дробів:

/18!/y!(18 - y)! ∙ /(y + 2)!(16 - y)!/18! = 1

Виконаємо скорочення: «18!» з «18!», «у!» з «(у + 2)!» та «(18 – у)!» з «(16 - у)!». Зауважимо, що «(18 – у)!» можна написати як «(16 - y)!(17 - y)(18 - y)». Матимемо:

/(y + 1)(y + 2)/(18 - y)(17 - y) = 1

Скористаємось «метеликом» та помножимо все навхрест:

(y + 1)(y + 2) = (18 - y)(17 - y)

Тепер можна розкрити дужки:

y² + 2y + y + 2 = 306 - 18y - 17y + y²

y² + 3y + 2 = 306 - 35y + y²

Перенесемо все в одну частину та виконаємо спрощення:

y² + 3y + 2 - 306 + 35y - y² = 0

38y - 304 = 0

Отримали звичайне лінійне рівняння. Розв’яжемо його:

38y = 304

y = 304 ∶ 38

y = 8

Не забувайте виконувати перевірку. В даному випадку, що виконується умова:

x ≥ y + 2 ≥ 0

Отже, розв’язком даної системи є пара чисел:

(18; 8)

Розв’язати систему: « { A/x/y + 3C/x/y = 90 A/x/y - 2C/x/y = 40 ».

Враховуючи, що в першому і в другому рівнянні ми маємо абсолютно однакові вирази «A/x/y» та «C/x/y», то можна для візуального спрощення використати заміну змінної. Для прикладу «a = A/x/y» і «b = C/x/y». Будемо мати:

{/a + 3b = 90/a - 2b = 40

Розв’яжемо дану систему методом додавання. Для цього помножимо перше рівняння на «2», а друге на «3».

{/a + 3b = 90 | ∙ 2/a - 2b = 40 | ∙ 3

{/2a + 6b = 180/3a - 6b = 120

Виконаємо додавання двох рівнянь. Пам’ятаємо, що ліва частина рівняння додається до лівої частини, а права до правої.

2a + 6b + 3a - 6b = 180 + 120

5a = 300

a = 300 ∶ 5

a = 60

Знайдемо тепер змінну «b»:

60 + 3b = 90

3b = 90 - 60

3b = 30

b = 30 ∶ 3

b = 10

Повернемося до нашої заміни:

{ A/x/y = 60 C/x/y = 10

Важливо! Всі ці дії ми могли виконувати із початковою системою. Заміна була необхідна для візуального спрощення. Вона була (заміна) не обов’язковою.

Скористаємося формулами комбінаторики в кожному рівнянні:

A/x/y = 60

/x!/(x - y)! = 60

C/x/y = 10

/x!/y!(x - y)! = 10

З другого рівняння виразимо «/x!/(x - y)!». Для цього помножимо все рівняння «у!»:

/x!/y!(x - y)! = 10 | ∙ y!

/x!/(x - y)! = 10y!

Зверніть увагу. І в першому, і в другому рівнянні ми маємо однакові частини «/x!/(x - y)!». Якщо в двох рівняннях є однакові частини, то дві інші частини теж будуть рівними (однаковими). Отже, будемо мати, що права частина першого рівняння («60») та права частина другого рівняння («10у!») будуть рівними:

10y! = 60

10y! = 60 | ∶ 10

y! = 6

Врахуємо, що «6» це «3!» (бо «3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6»). Отже, будемо мати:

y = 3

Знайдемо значення змінної «х»:

/x!/(x-y)! = 60

При «у = 3»:

/x!/(x-3)! = 60

Врахувавши, що рівняння є простим, то ми можемо спробувати розв’язати його методом підбору. Зауважимо, що різниця між чисельником та знаменником є «3». А, це означає, що «60» потрібно розкласти на «3» послідовні множники. Це будуть числа «3», «4», «5»:

/x!/(x-3)! = 3 ∙ 4 ∙ 5

Помножимо та поділимо праву частину на «2!»:

/x!/(x-3)! = /2!∙3∙4∙5/2!

Матимемо:

/x!/(x-3)! = /5!/2!

Отже:

x = 5

Також, виконуються обмеження по формулах комбінаторики:

0 ≤ y ≤ x

Тому, розв’язком початкової нерівності є пара чисел:

(5; 3)