Для кращого розуміння як розв’язувати показникові рівняння вам варто ознайомитися з такими темами як степінь, корінь, лінійні рівняння, квадратні рівняння, методи розв’язування показникових рівнянь.

Основний принцип розв’язування показникових рівнянь полягає в тому, щоб звести рівняння до однієї основи та одного степеня.

1) Розв’язати рівняння «7^x = 9».

В першу чергу варто визначити тип рівняння. Враховуючи, що ми маємо основи «7» та «9» і перетворити їх в одну основу ми не зможемо, то ми будемо мати тип рівняння:

a^f(x) = b

Дане рівняння має розв’язки лише за умови, що «b» буде більшим за нуль («b > 0»). В нашому випадку «b = 9; 9 > 0». Також пам’ятаємо, що «a» має бути більшим за нуль і не рівним «1» («a > 0; a ≠ 1»). В нашому випадку «a = 7; 7 > 0; 7 ≠ 1». Отже, враховуючи, що ці умови в нас виконуються, то ми можемо розв’язати наше рівняння так:

f(x) = log_a ⁡b

Матимемо:

7^x = 9

x = log₇ ⁡9

Відповідь: log₇ ⁡9.

2) Розв’язати рівняння «2^x = -4».

В такому випадку ми також маємо рівняння типу «a^f(x) = b», де «b = -4». Оскільки, «b» має бути більшим за нуль («b > 0»), то це означає, що дане рівняння розв’язків не має.

x ∈ ∅

Відповідь: ∅.

3) Розв’язати рівняння «(/1/2)^{2x + 1} = /1/8».

Оскільки, ми маємо одне єдине число зі степенем «х», то дане рівняння можна віднести до типу «a^f(x) = b», але враховуючи, що «/1/8» ми можемо подати як «(/1/2)³», то наше рівняння набуде вигляду:

(/1/2)^{2x + 1} = (/1/2)³

Зверніть увагу, що ми отримали однакові основи («/1/2»). Тобто, наше рівняння набуло вигляд:

a^f(x) = a^g(x)

Де «a» має бути більшим за нуль і не рівним «1» («a > 0; a ≠ 1»). Дана умова виконується, тому ми можемо наше рівняння розв'язати за принципом:

a^f(x) = a^g(x)

f(x) = g(x)

Тобто, якщо основи є однаковими, то і степені є однаковими.

Відповідно, наше рівняння можна розв’язати так:

(/1/2)^{2x + 1} = (/1/2)³

2x + 1 = 3

Ми отримали лінійне рівняння. Розв’яжемо його:

2x = 3 - 1

2x = 2

x = 2 ∶ 2

x = 1

Відповідь: 1.

4) Розв’язати рівняння «5^2x ∙ 6^2x = 900».

В першу чергу звернемо увагу, що в лівій частині ми маємо множення двох чисел з одним степенем. Ми можемо їх об’єднати за формулою «aⁿ ∙ bⁿ = (ab)ⁿ». Таким чином замість двох різних основ ми отримаємо одну єдину.

5^2x ∙ 6^2x = (5 ∙ 6)^2x = 30^2x

Отже, наше рівняння набуде такого вигляду:

30^2x = 900

Дане рівняння схоже на тип «a^f(x) = b», але якщо ми виконаємо перетворення «900 = 30²», то отримаємо такий тип рівняння «a^f(x) = a^g(x)». Тобто, матимемо:

30^2x = 30²

Оскільки, основи є однаковими, то і степені будуть однаковими:

2x = 2

x = 2 ∶ 2

x = 1

Відповідь: 1.

5) Розв’язати рівняння «2^x ∙ 3^{x - 1} = 72».

В лівій частині рівняння ми маємо множення чисел, але в даній ситуації їх степені є різними. Ми можемо спробувати зробити їх однаковими. Для цього можна спробувати щось зробити з «3^{x - 1}». Враховуючи, що там є віднімання степенів, то можна скористатися формулою «a^{n - m} = aⁿ ∶ a^m».

Отже, матимемо:

3^{x - 1} = 3^x ∶ 3¹ = 3^x ∶ 3

Тоді, рівняння буде мати вигляд:

2^x ∙ 3^x ∶ 3 = 72

Ми отримали множення двох чисел з однаковим степенем. Скористаємося формулою «aⁿ ∙ bⁿ = (ab)ⁿ».

2^x ∙ 3^x = (2 ∙ 3)^x = 6^x

Тепер, наше рівняння має вигляд:

6^x ∶ 3 = 72

Враховуючи, що дане рівняння можна записати в спрощеному вигляді (це потрібно лише для того, щоб легше зрозуміти які дії варто зробити):

t ∶ 3 = 72

Отже, щоб знайти «t» нам необхідно дане рівняння помножити на «3»:

t ∶ 3 = 72 | ∙ 3

t = 72 ∙ 3

t = 216

Такі ж самі дії ми виконуємо з «6^x» (в реальності ми могли б не писати «t», а відразу «6^x»):

6^x ∶ 3 = 72 | ∙ 3

6^x = 72 ∙ 3

6^x = 216

Ми маємо тип рівняння «a^f(x) = b», але якщо «216» записати як «6³» («216 = 6³»), то отримаємо:

6^x = 6³

Тобто, це є тип «a^f(x) = a^g(x)». Враховуючи, що основи є однаковими, то і степені будуть однакові:

x = 3

Відповідь: 3.

6) Розв’яжіть рівняння «4^{x2 - 25} = 5^{x2 - 25}».

Враховуючи, що ми маємо лише два числа, при цьому їх степені є абсолютно однаковими, то ми будемо мати такий тип рівняння «a^f(x) = b^f(x)». Щоб його розв’язати необхідно все рівняння поділити на одне з цих чисел.

a^f(x) = b^f(x) | ∶ b^f(x)

a^f(x) : b^f(x) = b^f(x) : b^f(x)

a^f(x) : b^f(x) = 1

Та винести спільний степінь за дужки:

(a : b)^f(x) = 1

(/a/b)^f(x) = 1

Врахуємо, що будь-яке число в «0» степені буде рівне «1» («a⁰ = 1»). Тому, «1» можна написати як «(/a/b)⁰». Отримаємо:

(/a/b)^f(x) = (/a/b)⁰

Оскільки, основи є однакові, то і степені будуть однакові:

f(x) = 0

Використаємо даний спосіб, щоб розв’язати наше рівняння. Поділимо все рівняння на «5^{x2 - 25}»:

4^{x2 - 25} = 5^{x2 - 25} | ∶ 5^{x2 - 25}

4^{x2 - 25} : 5^{x2 - 25} = 5^{x2 - 25} : 5^{x2 - 25}

(/4/5)^{x2 - 25} = 1

Напишемо «1» як «(/4/5)⁰».

(/4/5)^{x2 - 25} = (/4/5)⁰

Врахуємо, що в нас однакові основи, тому і степені будуть однаковими:

x² - 25 = 0

Отримали не повне квадратне рівняння. Розв’яжемо його:

x² = 25

x = ± 25

x = ± 5

Відповідь: -5; 5.

7) Розв’яжіть рівняння «3∙5^{x + 2} - 12∙5^{x + 1} - 2∙5^x = 325».

Зверніть увагу, що ми маємо однакові основи. При цьому степені відрізняються на «плюс/мінус» якесь число. За допомогою формул «a^{n + m} = aⁿ ∙ a^m» і «a^{n - m} = aⁿ ∶ a^m» ми можемо зробити так, щоб в рівнянні вийшли однакові основи з однаковим степенем.

Отже, ми можемо виконати такі перетворення:

5^{x + 2} = 5² ∙ 5^x = 25 ∙ 5^x

5^{x + 1} = 5¹ ∙ 5^x = 5 ∙ 5^x

Тепер наше рівняння виглядатиме так:

3∙25∙5^x - 12∙5∙5^x - 2∙5^x = 325

Виконаємо спрощення.

75∙5^x - 60∙5^x - 2∙5^x = 325

Для візуального спрощення виконаємо заміну (даний крок є не обов’язковий і можна залишити все як є, тобто замість «t» продовжувати писати «5^x»):

5^x = t

75t - 60t - 2t = 325

Розв’яжемо отримане рівняння.

13t = 325

t = 325∶ 13

t = 25

Повернемось до заміни. Матимемо:

5^x = 25

5^x = 5²

x = 2

Відповідь: 2.

8) Розв’яжіть рівняння «4^{x + 1} - 5^{x - 1,5} = 5^{x + 0,5} - 2^{2x - 4}».

В даному рівнянні ми маємо три різні основи «4», «5», «2». Але при цьому ми можемо «4» написати як «2²», но в такому випадку отримаємо такий вигляд: «4^{x + 1} = (2²)^{x + 1} = 2^{2(x + 1)} = 2^{2x + 2}». Тобто, в степенях «5» ми будемо мати «х», а в степенях «2» у нас буде «2х». Можна спробувати розв’язувати так рівняння, але зверніть увагу, що з «2^{2x - 4}» ми можемо зробити основу «4». Тобто: «2^{2x - 4} = 2^{2(x - 2)} = (2²)^{x - 2} = 4^{x - 2}». Матимемо:

4^{x + 1} - 5^{x - 1,5} = 5^{x + 0,5} - 4^{x - 2}

Давайте перенесемо числа з основою «4» в одну частину, а з основою «5» в іншу частину:

4^{x + 1} + 4^{x - 2} = 5^{x + 0,5} + 5^{x - 1,5}

Оскільки, в наших степенях є «плюс/мінус» якесь число, то можна скористатися формулами «a^{n + m} = aⁿ ∙ a^m» і «a^{n - m} = aⁿ ∶ a^m» та спробувати спростити наше рівняння:

4 ∙ 4^x + 4^x ∶ 16 = 5^0,5 ∙ 5^x + 5^x ∶ 5^1,5

Винесемо за дужки спільні множники. Де є ділення, то відразу напишемо дріб

4^x · (4 + /1/16) = 5^x · (5^0,5 + 15^1,5)

В правій частині у нас є числа з дробовим степенем. А, дробовий степінь можна записати як корінь за формулою «an/m = (m/a)ⁿ»:

5^0,5 = 51/2 = 5

5^1,5 = 53/2 = (5)³

Отже, наше рівняння буде мати вигляд:

4^x · (4 + /1/16) = 5^x · (5 + 1(√5)³)

Зведемо до спільного знаменника:

4 + /1/16 = /4 · 16 + 1/16 = /64 + 1/16 = /65/16

5 + 1(√5)³ = √5 ∙ (√5)³ + 1(√5)³ = 5² + 1(√5)³ = 26(√5)³ = /26/5√5

Отже, матимемо:

4^x ∙ /65/16 = 5^x ∙ /26/5√5

Оскільки, в нас є лише множення/ділення виразів при цьому в нас числа мають однаковий степінь, то можна зробити так щоб числа зі степенем були ліворуч, а числа без степеня праворуч. Для цього поділимо на «5^x» і на «/65/16».

4^x ∙ /65/16 = 5^x ∙ /26/5√5 | ∶ 5^x ∶ /65/16

4^x5^x = /26/5√5 ∶ /65/16

(/4/5)^x = /26/5√5 ∙ /16/65

Спростимо праву частину:

/26/5√5 ∙ /16/65 = /2/5√5 ∙ 4²5 = 4^0,5 ∙ 4²5² ∙5^0,5 = 4^2,55^2,5 = (/4/5)^2,5

Отже, наше рівняння буде мати вигляд:

(/4/5)^x = (/4/5)^2,5

Враховуючи, що основи є однаковими, то і степені будуть однаковими:

x = 2,5

Відповідь: 2,5.

9) Розв’язати рівняння «2^{x + 1} = 3 - 2^2x».

Враховуючи, що основи в нас є однаковими, то варто зробити ще однаковими степені. Для цього ми можемо зробити наступні перетворення:

2^{x + 1} = 2¹ ∙ 2^x = 2 ∙ 2^x

2^2x = (2^x)²

Тепер, наше рівняння матиме такий вигляд:

2 ∙ 2^x = 3 - (2^x)²

Тобто, ми отримали однаковий вираз «2^x», но є ще зайвий степінь. Тому, для зручності краще виконати заміну змінної:

2^x = t

Матимемо:

2t = 3 - t²

Перенесемо все в ліву частину:

t² + 2t - 3 = 0

Отримали звичайне квадратне рівняння. Його розв’язками будуть:

t₁ = -3; t₂ = 1

Повертаємося до заміни:

При «t = -3»:

2^x = -3

x ∈ ∅

При «t = 1»:

2^x = 1

2^x = 2⁰

x = 0

Відповідь: 0.

10) Розв’язати рівняння «3∙2^2x + 2∙3^2x = 5∙6^x».

В даному рівнянні ми маємо три різні основи «2», «3», «6». При цьому ще є два різні степені «2х» та «х». Ми можемо «6» написати як «2 ∙ 3» і таким чином ми отримаємо лише дві основи.

6^x = (2 ∙ 3)^x = 2^x ∙ 3^x

Матимемо:

3∙2^2x + 2∙3^2x = 5∙2^x ∙ 3^x

Перенесемо все в одну частину:

3∙2^2x - 5∙2^x ∙ 3^x + 2∙3^2x = 0

Для того, щоб зробити одну єдину основу нам необхідно все рівняння поділити на «2^2x» або «3^2x»:

3∙2^2x - 5∙2^x ∙ 3^x + 2∙3^2x = 0 |∶3^2x

3∙ 2^2x3^2x - 5∙ 2^x ∙ 3^x3^2x + 2∙ 3^2x3^2x = 0

Спростимо рівняння:

3∙ 2^2x3^2x - 5∙ 2^x3^x + 2 = 0

Винесемо спільний степінь за дужки:

3∙(/2/3)^2x - 5∙(/2/3)^x + 2 = 0

Ми можемо виконати заміну:

(/2/3)^x = t

Після чого отримаємо таке рівняння:

3t² - 5t + 2 = 0

Розв’язуємо квадратне рівняння. Отримаємо такі розв’язки:

t₁ = 1; t₂ = /2/3

Повертаємося до заміни змінної:

При «t = 1»:

(/2/3)^x = 1

x = 0

При «t=/2/3»:

(/2/3)^x = /2/3

x = 1

Відповідь: 0; 1.