Ми вже з вами розібралися, що означає рівняння з однією змінною/невідомою. Давайте ж розберемося, які рівняння називають з двома змінними/невідомими.

Уявіть собі ситуацію, у вас є двісті гривень. Одна пачка сухариків коштує двадцять гривень, а пачка чіпсів шістдесят гривень. Вам потрібно купити «вкусняхи» на всі гроші, бо в іншому випадку ви нічого не отримаєте. Ось тепер питання. «А які варіанти покупки у вас є?».

Хтось може відповісти:

Як бачите, варіантів є доволі багато. І кожен з них має право на життя. А ще, спробуйте знайти четвертий варіант 😊

При цьому в якості двох невідомих виступає «кількість пачок сухариків» та «кількість пачок чіпсів». Якщо першу невідому позначити «х», а другу «у», то сума грошей, яку ми витратимо на покупку сухариків буде «20х», а чіпсів – «60у» (вартість помножена на кількість).

Після чого ми можемо записати рівняння витрат:

20x + 60y = 200

Розв’язок рівняння з двома змінними ми можемо записати у вигляді пари чисел:

(x; y)

Пара чисел «(x; y)» називається розв’язком рівняння, якщо після підстановки цих чисел замість «x» та «y» рівність стає правильною.

І, якщо згадати варіанти покупок, які ми називали, то можна записати наступні відповіді:

(10; 0), (4; 2), (1; 3)

У задачі про покупки ми можемо купувати лише цілу невід’ємну кількість пачок, тому розв’язків буде лише кілька. Але якщо розглядати саме рівняння «20x + 60y = 200» і дозволити «x» та «y» бути дробовими або від’ємними числами, ми будемо мати безліч розв’язків.

Отже, рівняння з двома змінними - це такі рівняння, у яких містяться дві змінні. Рівняння з двома змінними може мати один, кілька або безліч розв'язків - залежно від самого рівняння та множини, у якій шукаємо розв'язки. Наприклад, рівняння «x + y = 5» має безліч розв'язків, якщо «x» та «y» можуть набувати будь-яких дійсних значень. Якщо рівняння має багато розв'язків, ми можемо знаходити окремі його розв'язки. Для цього нам необхідно замість однієї зі змінних підставити якесь число. Після чого ми знаходимо значення іншої змінної. Звісно, що потрібно звернути увагу на умови задачі.

Як знайти розв'язок рівняння з двома змінними?

Наприклад, знайти два розв’язки рівняння «2x-5y=8».

Знайдемо перший розв’язок. Для цього замість «х» підставимо для прикладу «-1» («x = -1»). Будемо мати:

2∙(-1) - 5y = 8

-2 - 5y = 8

-5y = 8 + 2

-5y = 10

y = 10 ∶ (-5)

y = -2

Перевіримо отриманий розв'язок. Для цього підставимо обидва числа в початкове рівняння:

2∙(-1) - 5∙(-2) = -2 + 10 = 8

Отримали такий же результат як і в правій частині, отже, розв’язки знайдено правильно.

Відповідно, розв’язком початкового рівняння є пара чисел:

(-1; -2)

Знайдемо другий розв’язок. Тепер, наприклад, підставимо «4» замість «у» («y = 4») та знайдемо значення «х»:

2x - 5∙4 = 8

2x - 20 = 8

2x = 8 + 20

2x = 28

x = 28 ∶ 2

x = 14

Перевірка:

2∙14 - 5∙4 = 28 - 20 = 8

Отже, другою парою чисел яка є розв’язком, початкового рівняння буде:

(14; 4)

Для демонстрації усіх розв’язків, потрібно будувати графік прямої. Що ми і зробимо в наступних уроках вивчаючи «лінійну функцію».