Для того, щоб виконувати завдання із логарифмічними перетвореннями вам обов’язково варто ознайомитися з такими темами як: властивостями степеня, властивостями кореня, властивостями логарифмів.

Повторення даних тем дозволить вам легше сприймати написану інформацію, а також дозволить побачити інші методи вирішення. Адже, саме в логарифмічних перетвореннях є найбільша кількість методів, щоб розв’язати одне і теж завдання.

Також, нагадаємо основне питання, яке ми маємо ставити собі при обчисленнях логарифмічних виразів. Маючи «log_a⁡b» воно звучатиме так: до якого степеня необхідно піднести основу «a», щоб отримати число «b».

1. Обчислити: «log₇⁡1».

Ми можемо скористатися властивістю логарифма: «log_a⁡1 = 0». Або, запитаємо себе: «до якого степеня необхідно підняти «7», щоб отримати «1»?». Відповідь: «до «0» степеня» (бо «7⁰ = 1»).

Отже, будемо мати:

log₇1 = 0

2. Обчислити: «log₁₉19».

Тут, ми можемо скористатися властивістю логарифма: «log_a⁡a = 1». Або, запитати себе: «до якого степеня необхідно підняти «19», щоб отримати «19»?». Відповідь: «до «1» степеня» (бо «19¹ = 19»).

Отже, будемо мати:

log₁₉⁡19 = 1

3. Обчислити: «lg⁡ 1000».

В першу чергу пригадаємо, що «lg⁡ a» означає логарифм з основою «10» (тобто, «lg⁡ a = log₁₀⁡a»).

Після чого ми можемо задати собі питання: «до якого степеня необхідно підняти «10», щоб отримати «1000»?». Відповідь: «до «3» степеня» (бо «10³ = 1000»).

Отже:

lg⁡ 1000 = 3

4. Обчислити: «log_8⁡32».

Якщо ви поставите собі запитання: «до якого степеня необхідно підняти «8», щоб отримати «32», то не зможете на нього відповісти чітко. Бо, «8¹ = 8» і «8² = 64». Тобто, у вас має бути не цілий степінь. Як же його знайти? На справді, ми можемо, звести все до однієї основи. Оскільки: «2³ = 8» і «2⁵ = 32», то очевидно, що варто обрати основою «2». Матимемо:

log₈32 = log_2³2⁵

Після чого, ми можемо скористатися властивостями логарифма. А, саме: «log_a⁡bⁿ = n∙log_a⁡b» і «log_a^m⁡b = /1/m∙log_a⁡b». Матимемо:

log_2³2⁵ = 5 ∙ /1/3 ∙ log₂2 = /5/3 ∙ log₂⁡2

Врахувавши умову, що «log_a⁡a = 1», то отримаємо:

/5/3 ∙ log₂2 = /5/3 ∙ 1 = /5/3

Звісно ж це можна залишити як є або перевести в мішаний дріб.

5. Обчислити: «log₅⁡#1#3/5».

Можна помітити, що ми маємо схожі основи. Виконаємо перетворення в підлогарифмічному виразі («#1#3/5»).

Ми можемо переписати корінь у вигляді дробового степеня користуючись формулою «m#aⁿ = a^n/m». Матимемо:

#1#3/5 = #1#5^1/3

Тепер, можна перевернути число при цьому не забуваємо змінити знак його степеня на протилежний.

#1#5^1/3 = 5^{- 1/3}

Отже, наш логарифм матимем вигляд:

log₅#1#3/5 = log₅5^{- 1/3}

Скориставшись нашим питанням або формулою «log_a⁡bⁿ = n ∙ log_ab», матимемо:

log₅5^{- 1/3} = -/1/3 ∙ log₅5

Врахувавши «log_a⁡a = 1», отримаємо:

-/1/3 ∙ log_5⁡5 = -/1/3 ∙ 1 = -/1/3

6. Обчислити: «9^log_3⁡14».

Розглянувши наш приклад можна зауважити, що ми маємо число степенем якого є логарифм. Тому, спробуємо підібрати формулу з наступних варіантів «a^log_a⁡b = b» і «a^log_b⁡c = c^log_b⁡a». В реальності нам підходить як перша, так і друга формула. Різниця лише в діях, які вам доведеться додатково виконувати. Розгляньмо обидва варіанти.

Варіант 1. За допомогою формули «a^log_a⁡b = b». Щоб скористатися даним способом нам необхідно на відповідних місцях зробити однакові числа. Відповідно, можна написати «9 = 3²». Будемо мати:

9^log₃⁡14 = (3²)^log₃⁡14

Тепер, у нас є теж декілька способів якими ми можемо скористатися, щоб продовжити розв’язання. Перша формула якою можна скористатися це «(a^b)^c = a^b∙c», а друга «(a^b)^c = (a^c)^b». Якщо скористатися першим способом, то будемо мати:

(3²)^log₃⁡14 = 3^{2∙log₃⁡14}

І доведеться скористатися формулою «n∙log_a⁡b = log_a⁡bⁿ». Отримаємо:

3^{2∙log₄⁡14} = 3^{log₃⁡14 2}

Після чого можна буде скористатися формулою «a^log_ab = b».

Якщо ж ви скористаєтеся способом «(a^b)^c = (a^c)^b», то вам буде простіше:

(3²)^log₃⁡14 = (3^log₃14)²

Як бачите, логарифмічні вирази мають доволі багато способів. Тому, повертаємося до нашого прикладу. Продовжимо з виразу «(3^log₃14)²». Та скористаємося формулою «a^log_a⁡b = b». Отримаємо:

(3^log₃⁡14)² = 14² = 196

Як бачите, наш перший спосіб поділився ще на різні методи. Тепер, розглянемо розв’язання початкового виразу другим способом за допомогою формули «a^log_b⁡c = c^log_b⁡a». Будемо мати:

9^log₃⁡14 = 14^log_3⁡9

Ми можемо без проблем порахувати «log₃⁡9».

log_3⁡9 = 2

І отримаємо:

14^log₃⁡9 = 14² = 196

7. Обчислити: «(log_20⁡4 + log₂₀⁡5)(log₁₂⁡288 - log₁₂⁡2)».

Ми маємо додавання/віднімання логарифмів з однаковими основами. Пригадаємо формули, які можна використати в таких випадках. При додаванні: «log_a⁡b + log_a⁡c = ⁡log_a⁡(bc)», при відніманні: «log_a⁡b - log_a⁡c = ⁡log_a⁡(/b/c)».

Оскільки, в перших дужках ми маємо додавання, то скористаємося першою формулою. Отримаємо:

log_20⁡4 + log_20⁡5 = log_20⁡(4∙5) = log_20⁡20 = 1

В других дужках ми маємо віднімання логарифмів з однаковими основами, тому скористаємося другою формулою. Матимемо:

log_12⁡288 - log_12⁡2 = log_12⁡(/288/2) = log₁₂⁡144 = 2

Після виконання всіх обчислень будемо мати:

(log₂₀⁡4 + log₂₀⁡5)(log_12⁡288 - log₁₂⁡2) = 1∙2 = 2

8. Обчислити: «#log₄⁡8 ∙ log₈⁡36#log_4⁡6».

Ми маємо множення/ділення логарифмів. Варто пригадати, які є формули з даними діями. Ми маємо: «log_a⁡b ∙ log_b⁡c = log_a⁡c», «#log_a⁡b#log_a⁡c = log_c⁡b». Перевіримо чи можна скористатися першою формулою та обчислити чисельник. Як бачимо, ми маємо у двох різних логарифмах однакові підлогарифмічний вираз та основу логарифма (число «8»). Тому, можна даною формулою користуватися. Матимемо:

log₄⁡8 ∙ log₈36 = log_4⁡36

Отже:

#log_4⁡8 ∙ log₈⁡36#log₄⁡6 = #log_4⁡36#log_4⁡6

Як бачимо, логарифми, які в нас є мають однакові основи. Тому, ми маємо повне право скористатися другою формулою. Матимемо:

#log_4⁡36#log_4⁡6 = log_6⁡36

Поставивши собі основне питання (до якого степеня необхідно підняти «6», щоб отримати «36»?) отримаємо відповідь:

log_6⁡36 = 2

9. Знайдіть «log_3⁡(/b/9)», якщо «log_3⁡b = 6».

Ми бачимо, що є значення «log_3⁡b = 6», але вираз «log₃⁡(/b/9)» має ділення підлогарифмічних виразів. Пригадаємо, що таке можливо коли є віднімання двох логарифмів з однаковими основами. Тобто, використаємо формулу: «log_a⁡(/b/c) = log_a⁡b - log_a⁡c». І отримаємо:

log₃⁡(/b/9) = log₃⁡b - log₃⁡9

Підставимо значення «log₃⁡b = 6» та обчислимо «log_3⁡9 = 2». Будемо мати:

log_3⁡b - log_3⁡9 = 6 - 2 = 4

10. Знайти «log_2⁡/a/b», якщо «log₂⁡/b/a = 7».

Зверніть свою увагу, що ми маємо схожі логарифми. Вони відрізняються лише підлогарифмічними виразами. Вони є перевернутими. А, скориставшись властивістю степеня «/a/b = (/b/a)^-1» будемо мати:

log_2⁡/a/b = log_2⁡(/b/a)^-1

Тепер, винесемо степінь за логарифм:

log_2⁡(/b/a)^-1 = -1 ∙ log₂/b/a

Використаємо початкове значення й отримаємо:

-1 ∙ log₂⁡/b/a = -1 ∙ 7 = -7

Отже:

log_2⁡/a/b = -7

11. Обчислити: «log₂⁡3 ∙ log_9⁡16 ∙ log_4⁡10 ∙ lg⁡ 128».

Тут ми маємо множення декількох логарифмів. Тому, можна буде скористатися формулою «log_a⁡b ∙ log_b⁡c = log_a⁡c» (або хоча б спробувати нею скористатися). Почнемо з тих множників в яких можемо виконати спрощення. А, це можливо, якщо ми маємо у двох логарифмах однакова основа та підлогарифмічний вираз. Таке є у множниках «log_4⁡10 ∙ lg⁡ 128». Чому? Бо вираз «lg» означає, що ми маємо логарифм з основою «10», тобто «lg⁡ a = log₁₀⁡a». Отже, будемо мати:

log_4⁡10 ∙ lg⁡ 128 = log_4⁡128

Отримали такий вигляд:

log_2⁡3 ∙ log₉⁡16 ∙ log₄⁡10 ∙ lg ⁡128 = log₂⁡3 ∙ log_9⁡16 ∙ log_4⁡128

Як бачимо, в нас не має більше схожих основ та підлогарифмічних виразів. Можемо спробувати звести наші числа до подібних за допомогою властивостей степеня. Адже, ми можемо сказати, що: «9 = 3²», «16 = 2⁴ = 4²» (можна подати за основою «2» і скоротити з лівим логарифмом або за основою «4», і скоротити з правим логарифмом), «4 = 2²», «128 = 2⁷».

log_2⁡3 ∙ log₉⁡16 ∙ log_4⁡128 = log_2⁡3 ∙ log_3²2⁴ ∙ log_2²2⁷

Тепер, можна винести степінь за дужки скориставшись правилом «log_a^mbⁿ = /n/m log_a⁡b». Отримаємо:

log_3²2⁴ = /4/2 · log_3⁡2 = 2 · log₃⁡2

log_2²2⁷ = /7/2 · log₂⁡2 = /7/2

Остаточний вигляд буде:

log_2⁡3 ∙ log_3²2⁴ ∙ log_2²2⁷ = log₂⁡3 ∙ 2 · log_3⁡2 ∙ /7/2 = 7 · log₂⁡3 ∙ log_3⁡2

Враховуючи, що «log_a⁡b ∙ log_b⁡a = 1» отримаємо:

7 · log₂⁡3 ∙ log_3⁡2 = 7

12. Обчислити: «(91/2^{- log₉⁡4} + 36^{log₂₁₆⁡8}) ∙ 25^log_5⁡2».

Виконаємо перетворення кожного виразу окремо, оскільки вони є не залежними між собою.

Розпочнемо з першого виразу. Пригадаємо, що відніманні степенів можливе лише при діленні однакових чисел «a^{n - m} = aⁿ ∶ a^m». Тому, матимемо:

91/2^{- log₉⁡4} = 91/2 ∶ 9^log₉⁡4

Тепер, скористаємося властивостями «an/m = m#aⁿ» та «a^log_a⁡b = b». Матимемо:

91/2 ∶ 9^log₉⁡4 = 9 ∶ 4 = 3 ∶ 4 = 0,75

Перейдемо до спрощення другого виразу («36^{log₂₁₆⁡8}»). В першу чергу потрібно спробувати записати числа через однакову основу:

36 = 6²

216 = 6³

8 = 2³

Зауважимо, що перетворення «8 = 2³» ми зробили виключно через те, що числа вдалося записати через однаковий степінь. Цього можна було б не робити.

Матимемо:

36^{log₂₁₆⁡8} = (6²)^log₆₃23

Винесемо степені з під логарифму:

(6²)^log₆₃23 = (6²)3/3^log₆⁡2 = (6²)^log_6⁡2

За допомогою властивості степеня «(aⁿ)^m = (a^m)ⁿ» ми можемо подати наш вираз у вигляді «a^log_a⁡b = b». Тобто:

(6²)^log₆⁡2 = (6^log_6⁡2)² = 2² = 4

Залишилося спростити третій вираз. Скористаємося тією ж логікою, що і в другому виразі:

25^log_5⁡2 = (5²)^log₅⁡2 = (5^log_5⁡2)² = 2² = 4

Отже, маємо такий результат:

(91/2^{- log₉⁡4} + 36^{log₂₁₆⁡8}) ∙ 25^log_5⁡2 = (0,75 + 4) ∙ 4 = 4,75 ∙ 4 = 19