Найпростішими тригонометричними функціями є: «sin», «cos», «tg», «ctg». Давайте розберемося, що це за функції, як та коли їх використовувати.

В першу чергу необхідно розібратися, що вони роблять. Тригонометричні функції вказують на співвідношення чогось до чогось (кожна функція є унікальною) в залежності від заданого кута (значення). Сам кут (значення) може задаватися як у градусах так і в радіанах.

Щоб було зрозуміло про які співвідношення йде мова, розглянемо декілька прикладів:

Співвідношення у прямокутному трикутнику:

Наприклад «sin» кута «А» будемо шукати так: Беремо протилежний до нього катет (катет, що знаходиться навпроти нього) в нашому випадку це «ВС» та ділимо на гіпотенузу цього трикутника «АВ» (у прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди знаходиться навпроти кута «90⁰» (прямого кута)). Тобто отримаємо: «sinA = /BC/AB»

«cos» кута «А» шукаємо за тими ж міркуваннями. Прилеглий це той катет який якби торкається до кута (утворює його) тобто в нашому випадку прилеглим катетом до кута «А» є катет «АС». Отже отримаємо: «cosA = /AC/AB»

Знайдемо також «tg» та «ctg» кута «А». Оскільки ми вже знаємо який катет є прилеглим, а який протилежним, то можемо відразу записати: «tgA = /BC/AC», «ctgA = /AC/BC». Звісно, якщо не відомо який катет прилеглий, а який протилежний, то необхідно їх шукати як описано при пошуку «sin» та «cos».

Якщо необхідно знайти значення тригонометричних функцій для кута «В», то необхідно виконати аналогічні дій як і для пошуку значень кута «А». Прилеглим катетом до кута «В» є «ВС», а прилеглим «АС», гіпотенуза так і залишилася «АВ» (оскільки трикутник ми не змінювали). Отже отримаємо:

«sinB = /AC/AB», «cosB = /BC/AB», «tgB = /AC/BC», «ctgB = /BC/AC»

Часто використовують такі значення кутів для тригонометричних функцій: «0⁰», «30⁰», «45⁰», «60⁰», «90⁰». Тому значення функцій при таких кутах необхідно знати, а решту можна буде вивести. Отже:

	00	300	450	600	900
sin	0	/1/2	/√2/2 або /1/√2	/√3/2	1
cos	1	/√3/2	/√2/2 або /1/√2	/1/2	0
tg	0	/1/√3 або /√3/3	1	√3	-
ctg	-	√3	1	/1/√3 або /√3/3	0

На перший погляд здається, що цю табличку доволі складно запам’ятати, але не хвилюйтеся. Зараз буде декілька способів як це можна зробити.

Отже, розглянемо значення «sin». Вони всі на справді зв’язані однією формулою «/√N/2» де замість «N» необхідно підставляти числа від 0 до 4. Тобто «sin⁡0⁰ = /√0/2 = /0/2 = 0», «sin⁡30⁰ = /√1/2 = /1/2», «sin⁡45⁰ = /√2/2», «sin⁡60⁰ = /√3/2», «sin⁡90⁰ = /√4/2 = /2/2 = 1».

У «cos» аналогічна ситуація. Просто починаємо підставляти у зворотному порядку «cos⁡0⁰ = /√4/2 = /2/2 = 1», «cos⁡30⁰ = /√3/2», «cos⁡45⁰ = /√2/2», «cos⁡60⁰ = /√1/2 = /1/2», «cos⁡90⁰ = /√0/2 = /0/2 = 0», або просто запам’ятовуємо, що значення «sin» та «cos» є якби віддзеркаленнями одне одного, адже «sin0⁰ = cos90⁰; sin30⁰ = cos60⁰» і так далі.

В подальшому для формул будемо використовувати не «А» чи «В», а «X». «X» - градусна або радіальна міра кута.

Оскільки «sin» та «cos» є немов віддзеркаленням один одного, то виникає така властивість:

sin²X + cos²X = 1

Варто зауважити, що ця властивість дійсна лише у тому випадку, коли у «sin» та «cos» однакова градусна або радіальна міра. Це на справді не складно перевірити:

sin² 30 + cos² 30 = (/1/2)² + (/√3/2)² = 1²2² + √3²2² = /1/4 + /3/4 = /1 + 3/4 = /4/4 = 1

sin² 30 + cos² 60 = (/1/2)² + (/1/2)² = 1²2² + 1²2² = /1/4 + /1/4 = /1 + 1/4 = /2/4 = /1/2

Детальніше про дії зі степенями ви можете прочитати тут.

Функції «tg» та «ctg» можна записувати за допомогою «sin» і «cos». Ось як це виглядатиме: «tgX = /sinX/cosX», «ctgX = /cosX/sinX» (такий запис зручно запам’ятовувати через «ctg»; оскільки в нього перша буква «С», то першим має бути «Cos», а в «tg» навпаки). Такий запис дуже допомагає у випадках, коли ви не пам’ятаєте, що таке «tg» та «ctg» у трикутнику (тобто, відношення яких сторін) але пам’ятаєте запис через «sin» та «cos». Тоді можна в ручну вивести співвідношення. Наприклад, знайдемо що таке «tg» кута «А» з нашого трикутника «АВС».

tgA = /sinA/cosA = /BC/AB ∶ /AC/AB = /BC/AB ∙ /AB/AC = /BC/AC

Знаючи це можна знаходити будь які значення «tg» та «ctg». Наприклад:

tg30 = /sin⁡30/cos⁡30 = /1/2 ∶ /√3/2 = /1/2 ∙ /2/√3 = /1/√3 = /√3/3

Аналогічно можна знаходити інші кути. В кінці коли отримали «/1/√3» помножили чисельник та знаменник на «√3» щоб позбутися ірраціональності у знаменнику (радикалу/кореня).

Можливо ви вже помітили, що функції «tg» та «ctg» між собою дуже подібні. Різниця лише в заміні місцями чисельника та знаменника. Тому можна записати, що «tgX = /1/ctgX» і навпаки «ctgX = /1/tgX». Не вірите? Давайте перевіримо разом. Отже:

tgX = /1/ctgX = 1 ∶ /cosX/sinX = 1 ∙ /sinX/cosX = /sinX/cosX

Аналогічно можна зробити і з «ctg».

Враховуючи все вище описане можна зробити висновок, що: «tgX ∙ ctgX = 1».

Можливо у вас виникне запитання «що буде, якщо розписати наприклад «tg» або «ctg» які є в степені, наприклад у квадраті?». На справді нічого страшного не відбудеться. В такому випадку «sin» та «cos» будуть просто в такому ж степені як і «tg» чи «ctg».

Тут є цікава властивість:

Але на справді тут не має ні якої магії. Розглянемо детально, що відбувається:

Аналогічно буде і з «ctg». Отже, якщо розписати «tg» або «ctg» на «sin» та «cos» потім звести до спільного знаменника і скористатися формулою «sin²X + cos²X = 1» отримаємо цілком очікуваний результат.

Під час читання статі ви зустрічалися зі словом «радіани». Щоб не вдаватися у подробиці запам’ятайте, що радіани це аналог градусів. Але оскільки радіани частіше використовують в тригонометричних функціях необхідно знати як вони записуються. В першу чергу потрібно запам’ятати, що в них використовується «π» - число Піфагора але тепер воно рівне не «3,14», а «180⁰». Перетворювати їх одне в одне не так вже і складно. Наприклад, якщо необхідно перетворити градуси у радіани, то виконуємо таку послідовність: Ділимо градуси які хочемо перетворити на «180⁰» (у звичайний дріб) після чого до отриманого числа в чисельник записуємо «π».

Приклад: переведемо «45⁰» у радіани. «45⁰180⁰ = /1/4; /1∙π/4 = /π/4»; переведемо «90⁰» у радіани. «90⁰180⁰ = /1/2; /1∙π/2 = /π/2»

Переводити радіани у градуси ще простіше. Необхідно просто замінити «π» на «180⁰».

Приклад: переведемо «/π/3» у градуси. «/π/3 = 180⁰3 = 60⁰».

Навчіться добре переводити одні величини в інші! І пам’ятайте, що частіше доводиться працювати з радіанами чим з градусами, тому звикайте писати у них.

Підведемо підсумки. Основні формули які необхідно знати:

«sin²X + cos²X = 1»

«tgX = /sinX/cosX»

«ctgX = /cosX/sinX»

«tgX = /1/ctgX» «ctgX = /1/tgX»

«tgX ∙ ctgX = 1»

«1 + tg²X = sin²Xcos²X»

«1 + ctg²X = sin²Xsin²X»

Гаразд. Нам тепер відомо які значення набувають тригонометричні функції до «90⁰» або до «/π/2» включно. Виникає логічне запитання. А як знайти їх значення, якщо дано кут який більший за «90⁰» чи «/π/2»? В таких випадках дуже зручно використовувати одиничне коло.

Одиничне коло – це коло центр якого знаходиться в початку координат, а радіус рівний одиниці. На справді можна використовувати коло будь якого радіусу але тоді доводиться ділити значення на радіус цього кола.

Отже, якщо радіус кола буде рівний одиниці (R = 1), то отримаємо такі значення для тригонометричних функцій (у якості значень кута виступає значення «а»):

"sin⁡ a = y"; "cos⁡ a = x"; "tg a = /y/x = /sin ⁡a/cos ⁡a"; "ctg a = /x/y = /cos ⁡a/sin ⁡a".

«sin ⁡a = y» - ордината точки «P_a», «cos⁡ a = x» - абсциса точки «P_a».

А, якщо буде коло довільного радіусу, то:

"sin ⁡a = /y/R"; "cos ⁡a = /x/R"; "tg a = /y/x"; "ctg a = /x/y"

Зверніть увагу! Значення «sin» та «cos» не виходять за межі кола (вони є обмеженими функціями). Просто кажучи їх значення не можуть бути за меншими за «-1» та більшими за «1» включаючи. «tg» та «ctg» є не обмеженими.

sinX ∈ [-1; 1]

cosX ∈ [-1; 1]

Наприклад: sinX = 2; cosX = -3 – не існує.

Зображення тангенса і котангенса в колі:

АВ – вісь тангенсів, "АВ || Oy", «tg a = y_AR»; Якщо «R = 1», то «tg a = y_A1 = y_A» - ордината відповідної точки осі тангенсів.

ВС – вісь котангенсів, "ВС || Oх", «ctg a = x_AR»; Якщо «R = 1», то «ctg a = x_A1 = x_A» - абсциса відповідної точки осі котангенсів.

Знаки тригонометричних функцій:

Коло осями координат ділиться на 4 чверті. Оскільки повне коло це «360» градусів або «2π» радіан, то кожна чверть містить в собі «90» градусів або «/π/2» радіан. Градусні міри точок перетину кола та системи координат («0⁰», «90⁰», «/π/2» і тд.) не належать жодній чверті.

Оскільки ми вже знаємо, що «sin» є значеннями осі «y», то відповідно він буде додатній у «I» та «II» чверті, а від’ємний у «III» та «IV»; «cos» є значеннями осі «x», то він буде додатній у «I» та «IV», а від’ємний у «II» та «III»; «tg» та «ctg» є відношенням «x» й «y», тому вони будуть додатними у «I» та «III», від’ємними у «II» та «IV».

Також не лише значення функцій можуть бути додатні чи від’ємні. Кути також бувають додатними, якщо їх відкладають проти годинникової стрілки та від’ємними, якщо за годинниковою стрілкою.

Тут у багатьох може виникнути запитання «що ж робити, якщо дано від’ємні градуси або радіани?». На справді все на багато простіше чим здається на перший погляд. В дію ступає парність та непарність тригонометричних функцій (детальніше про властивості функції читайте тут). Отже єдиною парною функцією є «cos» всі інші є непарними. Отримаємо:

"cos⁡(-X) = cos⁡X"; "sin⁡(-X) = -sin⁡X"; "tg(-X) = -tgX"; "ctg(-X) = -ctgX"

Знаходження не стандартних (табличних) значень кутів

Наприклад: «120», «210», «315» градусів

Синус (sin):

У випадках коли необхідно знайти «sin» не зовсім стандартних кутів «120», «135», «210» та інші. Є доволі проста та дієва схема. Якщо градусна міра кута є меншою за «270» градусів, то необхідно від кута відняти «90» градусів, потім від «90» градусів відняти отриманий результат. Після чого необхідно знайти чому буде рівний «sin» тієї градусної міри, що вийшла після другого віднімання. Якщо градусна міра кута є більшою за «270» градусів (четверта чверть), то тоді необхідно відняти від кута «360» градусів.

1) sin 120⁰ = ?:

120⁰ – 90⁰ = 30⁰

90⁰ – 30⁰ = 60⁰

sin 60⁰ = /√3/2

2) sin 210⁰ = ?:

210⁰ – 90⁰ = 120⁰

90⁰ – 120⁰ = - 30⁰

sin (-30⁰) = - sin 30⁰ = - /1/2

3) sin 315⁰ = ?:

315⁰ – 360⁰ = - 45⁰

sin (- 45⁰) = - sin 45⁰ = - /√2/2

Косинус (cos):

Для знаходження «cos» кута не табличного значення необхідно виконати подібні дії як і для «sin». У випадку якщо є кут градусна міра якого є в межах від «90» до «270» то від нього необхідно відняти «180» градусів і перед косинусом поставити знак «-». Також варто пам’ятати, що «cos» це парна функція. А якщо градусна міра кута є від «270» до «360» градусів, то необхідно віднімати «360». В цьому випадку «-» не ставимо.

1) cos 120⁰ = ?:

120⁰ - 180⁰ = - 60⁰

cos 120⁰ = - cos (- 60⁰) = - cos 60⁰ = - /1/2

2) cos 210⁰ = ?:

210⁰ - 180⁰ = 30⁰

cos 210⁰ = - cos 30⁰ = - cos 30⁰ = - /√3/2

3) cos 315⁰ = ?:

315⁰ - 360⁰ = - 45⁰

cos 315⁰ = cos (- 45⁰) = cos 45⁰ = /√2/2

Для значення «tg» та «ctg» на багато простіше шукати через «sin» та «cos».

Гаразд. З від’ємними та не стандартними кутами розібралися, а що ж робити, якщо кути є більшими за «360» градусів чи «2π» радіан? Тут знову ж не має нічого складного. Тригонометричні функції є періодичними (детальніше про властивості функції читайте тут). Функції «sin X» та «cos X» мають періодичність «T = 360⁰ = 2π», а «tg X» та «ctg X» мають періодичність «T = 180⁰ = π». Якщо число «Т» - період функції, то і число «n∙T», де (n є Z) – також період цієї функції (Т – найменший період):

sin⁡X = sin(X + 2πn), n ϵ Z

tgX = tg(X + πn), n ϵ Z

Якщо пояснити простими словами, то період це значення через яке повториться якась подія. Наприклад, візьмемо звичайний годинник з циферблатом на 12 годин. У нього стрілки годинника зійшлися об дванадцятій годині (12.00 або 00.00) і знову ж вони там зійдуться лише через дванадцять годин. Оскільки в тригонометричних функціях значення визначають за допомогою одиничного кола яке має в собі «360» градусів, «2π» радіан, то обравши якась точку на колі ми опинимося в ній зробивши повний оберт («360» градусів, «2π» радіан).

Наприклад: «sin⁡(750⁰) = sin⁡(360⁰∙2 + 30⁰) = sin⁡(30⁰) = /1/2»

Формули додавання та віднімання кутів:

sin⁡(α + β) = sin⁡α ∙ cos⁡β + cos⁡α ∙ sin⁡β

sin⁡(α - β) = sin⁡α ∙ cos⁡β - cos⁡α ∙ sin⁡β

cos⁡(α + β) = cos⁡α ∙ cos⁡β - sin⁡α ∙ sin⁡β

cos⁡(α - β) = cos⁡α ∙ cos⁡β + sin⁡α ∙ sin⁡β

tg(α + β) = /tgα + tgβ/1 - tgα ∙ tgβ; α, β, α + β ≠ /π/2 + πk, k ∈ Z

tg(α - β) = /tgα - tgβ/1 + tgα ∙ tgβ; α, β, α - β ≠ /π/2 + πk, k ∈ Z

Формули подвійного, потрійного та половинного кутів

sin⁡2α = 2sin⁡α ∙ cos⁡α = 2tgα1 + tg²α

cos⁡2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a = 1 - tg²a1 + tg²a

tg2α = 2tgα1 - tg²α

sin3α = 3 sinα - 4 sin³α

cos3α = 4 cos³α - 3 cosα

tg3α = 3 tgα - tg³α1 - 3 tg²α

Формули зниження степеня

sin²α = /1 - cos⁡2α/2

cos²α = /1 + cos⁡2α/2

tg²α = /1 - cosα/1 + cosα

Перетворення суми і різниці тригонометричних функцій на добуток

sin⁡α + sin⁡β = 2sin⁡(/α + β/2) ∙ cos⁡(/α - β/2)

sin⁡α - sin⁡β = 2sin(/α - β/2) ∙ cos(/α + β/2)

cos⁡α + cos⁡β = 2cos⁡(/α + β/2) ∙ cos(/α - β/2)

cos⁡α - cos⁡β = -2sin(/α + β/2) ∙ sin(/α - β/2) = 2sin(/α + β/2) ∙ sin(/β - α/2)

tgα + tgβ = /sin⁡(α + β)/cos⁡α · cos⁡β

tgα - tgβ = /sin⁡(α - β)/cos⁡α · cos⁡β

ctgα + ctgβ = /sin⁡(α + β)/sin⁡α · sin⁡β

ctgα - ctgβ = /sin⁡(α - β)/sin⁡α · sin⁡β

Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму та різницю

sin⁡α ∙ sin⁡β = /cos⁡(α - β) - cos⁡(α + β)/2

cos⁡α ∙ cos⁡β = /cos⁡(α - β) + cos⁡(α + β)/2

sin⁡α ∙ cos⁡β = /sin⁡(α - β) + sin⁡(α + β)/2