Лінійні рівняння з однією змінною
Ви не одноразово розв’язували подібні приклади:
2 + 5 = ?
32 - 4 = ?
4 ∙ 5 – 17 = ?
Ці приклади є доволі простими. Необхідно лише виконати відповідні дії з числами, що знаходяться з ліва від знаку «=» та записати результат замість «?». Тобто нам необхідно знайти Результат.
Наприклад: Коли ми до «2» додамо «5» то отримаємо «7».
Отже:
2 + 5 = 7;
32 – 4 = 28;
4 · 5 – 17 = 20 – 17 = 3
Спробуємо розв'язати задачу:
У Максима було 32 яблука. Він віддав Марічці 4 яблука. Скільки яблук залишилося у Максима?
Давайте розв'яжемо задачу.
Отже: 32 – 4 = ?; 32 – 4 = 28
Зараз ми розглянемо приклади з невідомим числом яке і будемо знаходити:
- 6 = 3
: 2 = 16
Зверніть увагу. У нас більше не має знаку «?» але з'явився «х» який і є нашим невідомим числом. «х» в майбутньому називатимемо змінною. Таких прикладів є надзвичайно багато і вони часто зустрічаються у повсякденному житті. Розглянемо ситуації які відбувалися з кожним.
Задача: У вас була певна кількість яблук. Ви зірвали з дерева ще 3 яблука і у вас стало 7 яблук. Скільки яблук у вас було з самого початку?
Розв’язання: Оскільки нам не відома кількість яблук яка була з самого початку, то ми замість цього числа напишемо «х». Після чого до «х» додаємо «3», оскільки «зірвали ще 3 яблука» і їх сума буде рівна «7».
Отже отримаємо таке рівняння: х + 3 = 7, де х – початкова кількість яблук, 3 яблука ми зірвали і додали до своїх, 7 – скільки яблук у вас було в самому кінці.
Як нам знайти скільки яблук було з самого початку?
Від кінцевої кількості відняти яблука, що додали (зірвали). Давайте це напишемо.
х = 7 – 3; виконавши дії справа від знаку «=» отримаємо: запис означає, що знайшли змінну «х».
Важливо! Після того як знайшли змінну «х» необхідно зробити перевірку написавши (підставивши) у рівнянні замість «х» число яке знайшли.
4 + 3 = 7, виконаємо дій з ліва від «=» отримаємо: 7 = 7. Отже «х» знайшли правильно.
Розглянемо загальний спосіб розв’язання таких рівнянь:
a ∙ x + b = 0; - це загальний вигляд лінійного рівняння з однією змінною. Де x – змінна, a і b – деякі числа. Не варто намагатися зараз запам’ятати цю назву.
Тоді таке рівняння розв’язується так:
1) Розділяємо відомі (числа, що без «х») та невідомі (числа, що з «х»).
2) Перенесемо невідомі в одну сторону, а відомі в іншу відносно знаку «=». Важливо! При перенесенні необхідно змінити знак на протилежний. З «+» на «-» та навпаки з «-» на «+».
3) При необхідності виконуємо дії з числами (додаємо або віднімаємо)
4) Якщо поруч з «х» стоїть якесь число (наприклад «2 ∙ х») то необхідно зробити щоб «х» стояв сам. У випадку коли:
a ∙ x = b, x = b : a
x : a = b, x = a ∙ b
a : x = b, x = a : b
Тобто щоб «х» залишився сам, нам необхідно виконати протилежну дію з правою частиною.
5) Виконати перевірку
Розглянемо це на практиці:
Візьмемо загальне рівняння a ∙ x + b = 0
1) У нашому випадку відомі та невідомі вже є розділеними.
2) «a ∙ x» - залишимо з ліва від знаку «=» (якщо між числом та «х» стоїть знак множення або ділення то вони вважаються одним цілим), а «b» перенесемо в іншу сторону з іншим знаком (було «+ b», а стане «- b»).
Отже отримаємо:
a ∙ x = - b
3) У нас не має дій які необхідно виконати (наприклад таких: х = 2 + 3, тут необхідно виконати дію додавання чисел 2 і 3)
4) Як бачимо у нас «х» стоїть не сам. Тому виконаємо протилежну дію та отримаємо:
x = -/b/a – це і є нашим розв'язком
5) Залишилося виконати перевірку підставивши у початкове рівняння замість «х» наший розв'язок:
a ∙ (-/b/a) + b = 0
Виконавши всі дії зліва від «=» отримаємо 0.
Отже у нас буде "0 = 0" це означає, що ми все розв’язали правильно.
Зауважимо: a ∙ x = b – у такого рівняння є три варіанти розв’язку.
1) Існує лише один розв’язок. При: "а ≠ 0" тоді "х = b : a". Наприклад: "-3x = 6; x = 6 : (-3); x = -2"
2) Немає розв’язків. При "a = 0", "b ≠ 0". "0х = b". Наприклад: "2x - 2x = 7; 0x = 7; 0 = 7"
3) Є безліч розв’язків. При "a = 0", "b = 0". "0x = 0". В такому випадку «х» може бути будь-яким числом. Наприклад: "2x - 2x = 0; 0 = 0"
Розглянемо на реальному прикладі:
3 ∙ (x – 4) = 24
1) Якщо у рівнянні є дужки, то їх необхідно розкрити в першу чергу для того щоб розділити відомі (числа, що без «х») та невідомі (числа, що з «х»).
Отже розкриємо дужки у лівій частині рівняння (зліва від знаку «=») за таким принципом (детальніше читайте тут): a∙(b ± c) = a∙b ± a∙c
3 ∙ x – 3 ∙ 4 = 24 (далі замість «3 ∙ х» будемо писати «3х»)
2) Наступним кроком після розкриття дужок йде виконання дій додавання, віднімання і так далі відомих до відомих, а невідомих до невідомих в обох частинах. Не можна виконувати числа які знаходяться у різних частинах рівняння (по різні сторони від «=»). В даному прикладі таких дій не має тому відразу перейдемо до наступного кроку.
3x – 12 = 24
3) У третьому кроці необхідно перенести відомі в одну сторону від «=», а не відомі в іншу обов’язково необхідно змінити знак у чисел які переносяться в протилежну сторону. Зазвичай переносять невідомі у ліву частину, а відомі у праву але ніхто не забороняє зробити навпаки. Також важливо знати, якщо поміняти ліву та праву частини рівняння повністю місцями то знаки в обох частинах залишаться такими ж як і були.
Перенесемо «- 12» у праву частину (невідомі залишаємо зліва, а відомі перенесемо в право) при цьому змінивши знак на протилежний (протилежна сторона – протилежний знак).
3х = 24 + 12
4) Четвертий крок це по факту повторення другого кроку. Тобто необхідно додати або відняти (виконати дії з числами) відомі до відомих, не відомі до невідомих. Виконаємо дії в правій частині:
3х = 36
5) Необхідно зробити щоб «х» був сам. Оскільки у нас «3» множиться на «х» то необхідно «36» розділити на «3» (виконати протилежну дію).
х = 36 : 3 = 12
6) Виконаємо перевірку
3 ∙ (12 – 4) = 24
3 ∙ 8 = 24
24 = 24
Зліва та справа однакові числа отже ми розв’язали (знайшли змінну «х») правильно.
Спробуємо розв’язати ще декілька прикладів:
1) 3х – 4 + 5х = 36
8х - 4 = 36
8х = 36 + 4
8х = 40
х = 40 : 8
х = 5
3 ∙ 5 - 4 + 5 ∙ 5 = 36
36 = 36
2) 4 – 5x = 6 – 2(x + 2)
4 – 5x = 6 - 2x – 4
4 – 5x = 2 – 2x
- 5x + 2x = 2 – 4
- 3x = - 2
х = -2 : (-3)
х = 2 : 3
Практика:
Скільки розв’язків має рівняння:
1) 2х + 7х = 9х
2) 3х + 5х = 6х
3) 2x – 1 = 2 + 2x
Розв’язати рівняння:
1) 2(x – 1) = 2x – 2
2) 3x – 2(8 – 5x) = 12x
Задача: У вас було 10 гривень. Ви зайшли у магазин та купили пляшку води після чого у вас залишилося 3 гривні. Скільки коштувала пляшка води?