Систему двох лінійних рівнянь з двома змінними зазвичай записують у такому вигляді:

{a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂

Розв’язок системи записується так: (значення змінної «х»; значення змінної «у»). Важливо! Між числами має бути саме « ; » оскільки « . », « , » може сприйматися як відділення цілих від дробових чисел, а « : » як дію ділення. Приклад (4 ; 3,5)

В залежності від рівнянь можливі такі три випадки:

Є три способи розв’язати систему рівнянь з двома змінними. Розглянемо їх.

Перший спосіб: Графічний

Складність цього способу заключається у тому, що необхідно все правильно намалювати. Також необхідно знати як будується та чи інша функція. Цей спосіб варто використовувати коли систему не вдається розв’язати алгебраїчним способом (двома нижніми способами).

Розв’яжемо таку систему:

{/x - y = 5/2x + y = 4

Для зручності виразимо з обох рівнянь змінну «у». Отримаємо:

{/y = x - 5/y = 4 - 2x

Тепер необхідно побудувати графіки цих функцій. Оскільки це рівняння прямих, а прямі можна побудувати маючи дві точки, то складемо таблиці для побудови. Детальніше читайте тут.

y = x - 5
x	3	5
y	-2	0

y = 4 - 2x
x	1	2
y	2	0

Після побудови графіків функцій отримали точку перетину цих функцій. Відповідно координати цієї точки є розв’язками системи рівнянь.

Тобто маємо «(3; -2)».

Бувають ситуації коли графіки функцій не перетинаються, тоді система не має розв’язків.

Якщо графіки функцій накладаються один на одного то система має безліч розв’язків.

Варто зауважити, що графічний спосіб є не завжди зручний через те, що розв’язок може знаходитися доволі далеко від початку координат або через те, що необхідно доволі точно виконувати побудову.

Другий спосіб: Додавання

Цей спосіб зручно використовувати у тих випадках, коли після додавання зникне одна зі змінних («х» або «у»). При додаванні рівнянь частина з невідомими першого рівняння додається до частини з невідомими другого рівняння, відповідно частина з відомими першого рівняння до частини з відомими другого рівняння. Зникнути може будь яка змінна («х» або «у». Якщо ви використовуєте інші позначення, то відповідно зникнути має одна із ваших змінних).

Розглянемо це на прикладі:

{/x + y = 3/x - y = 1

Перший крок: У цьому випадку при додаванні рівнянь у нас зникне змінна «у». Зараз для зручності напишемо ліві частини у дужках. Це необхідно щоб побачити як відбувається додавання. В подальшому цей крок будемо пропускати.

(х + у) + (х – у) = 3 + 1

х + у + х – у = 3 + 1

Другий крок: Виконаємо дії (розкриваємо дужки та додаємо/віднімаємо), після чого отримаємо таке рівняння:

2х = 4

Отже, ми отримали лінійне рівняння з однією змінною. Якщо на цьому етапі у вас залишилася ще одна змінна то варто перевірити попередні кроки на наявність помилок. Оскільки у нас все добре то продовжимо розв’язувати. Зараз нам необхідно розв’язати лінійне рівняння з однією змінною. Як їх розв’язувати читайте тут (буде посилання).

х = 2

Третій крок: Коли знайдена одну зі змінних можна знайти другу змінну. Для цього необхідно підставити отримане значення у будь яке рівняння з початкової системи замість відповідної змінної.

Підставимо у перше рівняння системи:

2 + у = 3

Четвертий крок: Зверніть увагу, що знову вийшло лінійне рівняння з однією змінною. Якщо вийшло не так перевірте попередні кроки! Розв’яжемо дане рівняння.

у = 3 – 2

у = 1

Підставимо значення «х» у друге рівняння (щоб ви переконалися, що не має значення у яке рівняння підставляти значення знайденої змінної).

2 – у = 1

Як видно після підстановки вийшло лінійне рівняння з однією змінною яке необхідно розв’язати.

- у = 1 – 2

- у = - 1

у = 1

Результати вийшли однаковими. Це доказує, що не має значення у яке рівняння підставляти першу знайдену змінну для пошуку іншої.

П’ятий крок: Необхідно перевірити чи знайдені значення змінних є розв’язками системи. Не ігноруйте цей крок! Підставимо знайденні значення у будь яке рівняння з початкової системи.

2 + 1 = 3

3 = 3

Зліва та справ від знаку «=» однакові числа отже пара чисел «(2; 1)» є розв’язком системи.

Розв’яжемо ще одну систему.

{/2x + 3y = 7/x - 2y = 0

Зверніть увагу, якщо ми просто додаємо рівняння, то в такому випадку жодна зі змінних не скоротиться. Розглянемо нашу систему. Якщо помножити друге рівняння на «-2» то при додаванні змінна «х» скоротиться. Звісно можна було розділити перше рівняння на «-2» але тоді там виникнуть дроби з якими на багато складніше працювати. Тому намагайтеся уникати ділення. Отже після множення другого рівняння системи на «-2» маємо таку систему:

{/2x + 3y = 7/-2x + 4y = 0

Тепер можемо додавати перше рівняння системи до другого. Отримаємо таке рівняння (після виконання дій):

7у = 7

у = 1

Отже значення «у = 1». Знайдемо «х» підставивши значення «у» у будь яке початкове рівняння. На справді можна підставляти і у рівняння після того як ми його помножили або поділили на якесь число. Але так робити не варто. Оскільки ви могли зробити помилку при множені чи ділені.

Підставимо значення «у» у друге рівняння системи:

х – 2∙1 = 0

х = 1

Виконаємо перевірку. Підставимо значення у перше рівняння:

2∙2 + 3∙1 = 7

7 = 7

Отже пара чисел «(2 ; 1 )» є розв’язком системи.

Третій спосіб: Спосіб підстановки

Цей спосіб полягає в тому, щоб виразити одну змінну через іншу. Після чого необхідно підставити це значення замість відповідної змінної у друге рівняння. Він дуже подібний до попереднього способу.

Розглянемо його на попередній системі:

{/2x + 3y = 7/x - 2y = 0

З другого рівняння дуже зручно виразити «х» оскільки він стоїть сам.

{/2x + 3y = 7/x = 2y

Тепер нам необхідно замість «х» у першому рівнянні поставити «2у».

{/2 · 2y + 3y = 7/x = 2y

У першому рівнянні системи зникла змінна «х». Якщо цього не відбулося це означає, що була допущена помилка і варто перевірити попередні дії. Розв’язавши окремо перше рівняння знайдемо «у». З цього моменту наступні кроки будуть такими ж як і у попередньому способі.

4у + 3у = 7

7у = 7

у = 1

Підставляємо значення «у» у будь яке початкове рівняння системи і знаходимо «х». Зараз для зручності підставимо у друге рівняння.

х – 2∙1 = 0

х = 2

Перевірку виконували в попередньому способі. Пара чисел «(2 ; 1)» є розв’язком даної системи.

Як видно не зважаючи від способу результат вийшов однаковий.

Цей спосіб зручно використовувати в тих випадках коли є дробові числа або їх не вдасться уникнути. Також цей спосіб краще використовувати у складніших системах. Наприклад, коли у системі більше двох рівнянь та змінних або коли рівняння системи є не лінійними, а наприклад квадратичними або кубічними.