Одночлен. Його властивості

Виконуючи будь-які дії з числами в результаті ми отримаємо також число.

Для прикладу знайдемо результат виразу: «3 ∙(5 - 1)».

Виконаємо першу дію в дужках: «5 – 1 = 4».

Далі помножимо «3» на отриманий результат: «3 ∙ 4 = 12».

Як помітно, в результаті ми отримали одне єдине число.

Вираз який складається з одного єдиного числа називають «одночленом». Вважають, що одночлен це вираз у якого є лише множення/ділення та степінь/корінь і не має дії додавання/віднімання. При цьому даний вираз має бути спрощеним. Наприклад, коли є вираз «2 ∙ 6», то нам варто виконати дію множення.

Розглянемо декілька одночленів: «17», «-/3/4», «a²», «-/3b/c», «-15a³ b⁵».

Зауважимо, що одночленами можуть бути вирази у яких є і цифри, і букви, але не має дій додавання/віднімання.

Цифро-буквеного виразу не варто боятися. Ми можемо виконувати з ним усі дії. Лише зауважимо, що виконувати дії додавання/віднімання виразів можна лише тоді, коли біля них знаходяться однакові букви.

Для прикладу: «7a – 4a = 3a». Це запам’ятати доволі просто, якщо ми уявимо, що «а» це скорочено від «апельсин». То, в такій ситуації, отримаємо: «7 апельсинів – 4 апельсини = 3 апельсини». Якщо ж ми матимемо різні букви: «2а + 5с», то дії виконати не можливо. Наприклад, можемо вважати «а» скороченням від «абрикоси» і «с» скороченням «сливи». Ви ж не будете казати, що маєте «сім абрикосів», «сім слив» чи «сім абрикосо-слив». Ви так і залишите «2 абрикоси і 5 слив». Одночлени в яких є абсолютно однакові букви в якості множників (числа можуть відрізнятися) називаються подібними. Але варто розуміти, що одночлени «3a» та «/5/a» є різними. Адже, в першому «а» є множником, а у другому дільником.

Коли ви маєте цифро-буквений вираз, то на справді ви маєте «число помножити на букву». Наприклад, «54a» це теж саме, що «54 ∙ a» і навпаки «72 ∙ c» теж, що «72c». При ділені логіка така ж як і у звичайних числах. Тобто, «/a/3» це теж саме, що «a ∶ 3» і навпаки.

Враховуючи це, при множенні ви можете переставляти букви. Тобто, запис «a ∙ b» (частіше ви будете зустрічати такий вигляд «ab») аналогічний запису «b ∙ a» (тобто, «ba»). Дане правило працює лише при множені! Пояснити це доволі просто «2 ∙ 3 = 6» і «3 ∙ 2 = 6», як помітно результат буде таким же. При ділені це не працює, адже «8 ∶ 2 = 4» і «2 ∶ 8 = 0,25», як помітно результати різні.

Дякуючи даній властивості ви можете виконувати додавання/віднімання в ситуаціях, коли маєте однакові букви але в різному порядку: «3ab + 5ba ↔ 3ab + 5ab = 8ab».

Для виконання дій додавання/віднімання букви мають бути абсолютно однаковими. Тому, якщо у них є різний степінь, то їх додавати/віднімати також не можна. Наприклад, у такому виразі «32a⁵ + 14a²» виконати додавання ми не зможемо, бо маємо «а» в різних степенях.

Якщо біля букви не має жодного числа, то там знаходиться «1». Тому, запис «a» варто сприймати як «1a» або «1 ∙ a». Відповідно, матимемо: «4a + a = 5a».

Між одночленами часто доводиться виконувати дії множення. В таких ситуаціях дуже зручно записувати подібне з подібним. Тобто, числа з числами, а однакові букви з однаковими буквами.

Розглянемо такий приклад: «-3a²b⁵c ∙ (-5a⁷bd)».

Отже, ми маємо множення одночленів. Для того щоб знайти результат напишемо подібне з подібним. Для зручності будемо використовувати дужки хоча вони є не обов’язковими. Враховуючи, що букви «c» та «d» зустрічаються лише один раз, то їх напишемо без дужок

-3a²b⁵c ∙ (-5a⁷bd) = (-3 ∙ (-5)) ∙ (a² ∙ a⁷) ∙ (b⁵ ∙ b) ∙ c ∙ d

Виконуючи правила множення чисел та властивості степеня будемо мати такий результат:

(-3 ∙ (-5)) ∙ (a² ∙ a⁷) ∙ (b⁵ ∙ b) ∙ c ∙ d = 15 ∙ a⁹ ∙ b⁶ ∙ c ∙ d

Або ми можемо написати це так:

15 ∙ a⁹ ∙ b⁶ ∙ c ∙ d = 15a⁹b⁶cd

Одночлен який максимально спрощений (виконані всі можливі дії) називають «одночленом стандартного виду». У попередньому прикладі «15a⁹b⁶cd» є одночленом стандартного виду, а «-3a²b⁵c ∙ (-5a⁷bd)» не є одночленом стандартного виду, оскільки в ньому не виконана дія множення.

Число, яке є в одночленові (числовий множник; його зазвичай пишуть по переду) називають «коефіцієнтом одночлена».

Наприклад, «15a⁹b⁶cd» коефіцієнтом одночлена є «15»; «a²» буде «1» (пам’ятаємо, що коли не має числа, то вважаємо, що там знаходиться «1»); «с3» даний вираз записаний не зовсім коректно (намагаються першим писати знак, число і букви в алфавітному порядку), але не зважаючи на це «3» є числовим множником.

Суму всіх степенів буквених виразів одночлена стандартного виду називають «степенем одночлена». Якщо в одночлена не має буквеного виразу, то його степінь є рівний «0».

Наприклад, знайдемо степінь одночлена «15a⁹b⁶cd». Для зручності з першу розберемося які тут є степені. В «a» степінь «9», «b» - «6», «c» та «d» - «1». Тому, степінь одночлена буде «9 + 6 + 1 + 1 = 17».

Багаточлен та дії з ним

Вираз який складається з декількох різних одночленів між якими є дія додавання/віднімання називається «багаточлен» (многочлен).

Для прикладу, вирази «3a + 4b», «7a³ + 11a²», «/a + b/a - c», «(3a - 2b)²» є багаточленами.

Звісно ж у багаточленові може бути додавання/віднімання подібних одночленів. Наприклад, «2ab + 4ac - ab + 3ac». Виконавши додавання/віднімання подібних одночленів ми отримаємо: «ab + 7ac». Аналогічно до одночлена ми можемо мати «багаточлен стандартного вигляду». Багаточлен стандартного вигляду складається з одночленів стандартного вигляду. Тобто, якщо ви не маєте подібних одночленів (відповідно не можете виконати дії додавання/віднімання) і при цьому у вас не має дужок, то ви маєте багаточлен стандартного вигляду.

Ви можете виконувати додавання/віднімання багаточленів. Для прикладу розглянемо додавання та віднімання таких виразів «3x² + 7x - 4» і «x² - 5x + 11».

Для правильності запису будемо брати обидва багаточлени у дужки.

Розглянемо додавання:

(3x² + 7x - 4) + (x² - 5x + 11)

Якщо перед дужками не має жодного знаку або стоїть знак «+» і при цьому дані дужки не множаться ні на що, то ми можемо просто забрати ці дужки:

(3x² + 7x - 4) + (x² - 5x + 11) = 3x² + 7x - 4 + x² - 5x + 11

Після чого нам залишається виконати дії додавання/віднімання з подібними числами (одночленами):

3x² + 7x - 4 + x² - 5x + 11 = 4x² + 2x + 7

Розглянемо віднімання:

(3x² + 7x - 4) - (x² - 5x + 11)

Якщо перед дужками стоїть знак «-» і при цьому дані дужки не множаться ні на що, то ми можемо забрати ці дужки але необхідно змінити знаки всіх чисел на протилежні:

(3x² + 7x - 4) - (x² - 5x + 11) = 3x² + 7x - 4 - x² + 5x - 11

Після чого нам залишається виконати дії додавання/віднімання з подібними числами (одночленами):

3x² + 7x - 4 - x² + 5x - 11 = 2x² + 12x - 15

Часто доводиться виконувати множення багаточлена на одночлен. В такій ситуації вам необхідно помножити одночлен на кожен одночлен багаточлена (пам’ятаємо, що багаточлен складається з одночленів стандартного вигляду). Дану ситуацію можна записати у вигляді: «a(b + c)» або «a ∙ (b+c)» (бувають моменти, коли ви маєте вигляд «(b + c)a» але в такій ситуації їх можна просто переставити місцями, після чого, ви отримаєте вигляд «a(b + c)»). Помноживши одночлен «a» на кожен одночлен багаточлена («b» та «c») ми отримаємо: «ab» та «ac». Можемо це записати у вигляді формули:

a(b + c) = ab + ac

Це запам’ятати доволі просто. Уявіть, що ви заходите в кімнату. Там знаходяться два ваших друга/подруги з якими ви ще не бачились. І як вихована людина ви привітаєтеся з ними. Це ж саме робить наша буква «a». Вона привіталася з «b» а потім привіталася з «c».

Виконувати дію множення вам варто починати з визначення знаку, далі множити числа між собою, а вже тоді однакові букви. Це буде на багато скоріше чим виконувати повний запис. Хоча розглянемо саме його:

2x(4y - 7z) = 2x ∙ 3y + 2x ∙ (-7z)

Це є повний запис. Ми його розглянули щоб чітко зрозуміти як відбувається процес множення. Виконаємо ж його за правилом множення одночленів:

2x ∙ 3y + 2x ∙ (-7z) = 6xy - 14xz

Розглянемо ще один приклад:

-3a(-9b + 2) = -3a ∙ (-9b) + (-3a) ∙ 2 = 27ab + (-6a) = 27ab - 6a

Як помітно повний запис це доволі довго. До того ж буває плутанина зі знаками. Краще за все відразу писати знак одночлена який знаходився перед дужками:

-3a(-9b + 2) = -3a ∙ (-9b) - 3a ∙ 2 = 27ab - 6a

Не відіграє ролі скільки доданків ви маєте у дужках. Вам все одно доведеться множити по черзі всі числа:

-2x(a² + 4a - 5) = -2x ∙ a² - 2x ∙ 4a - 2x ∙ (-5) = -2a²x - 8ax + 10x

Ви можете мати множення не лише одночлену на багаточлен, а і множення двох (може бути і більше) багаточленів. Це можна подати у вигляді: «(a + b)(c + d)».

Пам’ятаєте історію де ви входили у кімнату в якій знаходились ваші друзі? Зараз же ви входите у цю кімнату не самі але все одно будете вітатися по черзі зі своїми друзями. З першу ви, а потім людина яка зайшла разом з вами:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

По факту даний вираз можна написати ще так:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

Це вже буде виглядати як множення одночлена на багаточлен. Якщо вам буде так зручніше, то можете використовувати даний запис.

Розглянемо це на прикладі:

(x - 3y)(2a² - 3a + 4) = x∙2a² + x∙(-3a) + x∙3 - 3y∙2a² - 3y∙(-3a) - 3y∙4 = 2a²x - 3ax + 3x - 6a²y + 9ay - 12y