Для того щоб успішно розв’язувати практичні завдання вам варто ознайомитися з теоретичним матеріалом: основні властивості, логарифмічні рівняння.

1. log₅(x + 3) = 2

Ми маємо найпростіше логарифмічне рівняння вигляду «log_a⁡f(x) = b». Таке рівняння можна розв’язати так:

f(x) = a^b

У нашому випадку будемо мати:

x + 3 = 5²

Після чого залишається розв’язати отримане рівняння:

x + 3 = 25

x = 25 - 3

x = 22

Відповідь: 22.

2. log_{x + 2}(4x + 5) = 2

Ми маємо найпростіше логарифмічне рівняння вигляду «log_a⁡ f(x) = b». Рівняння такого вигляду будуть мати розв’язки за умови «a > 0; a ≠ 1». Тобто, після того як ми знайдемо розв’язки рівняння необхідно перевірити умову «a > 0; a ≠ 1». Таке рівняння можна розв’язати так:

f(x) = a^b

У нашому випадку будемо мати:

4x + 5 = (x + 2)²

Розв’яжемо отримане рівняння.

Для нашої зручності поміняємо частини місцями (пам’ятаємо, що у випадку, коли ми змінюємо повністю частини місцями, то знаки можна не міняти).

(x + 2)² = 4x + 5

Розв’яжемо наший приклад:

x² + 4x + 4 = 4x + 5

x² + 4x + 4 - 4x - 5 = 0

x² - 1 = 0

x² = 1

x = ± √1

x = ± 1

Для перевірки наших розв’язків варто їх підставити у «x + 2».

При «х = 1» матимемо:

1 + 2 = 3

Результат є більшим за нуль та не рівним одиниці, а основа не може бути рівна одиниці. Тому, розв’язок «х = 1» нам підходить.

При «х = -1» матимемо:

-1 + 2 = 1

Результат вийшов рівним одиниці. Тому розв’язок «х = -1» нам не підходить.

Відповідь: 1.

3. 2log₂⁡x - log₂⁡(2-x) = 0

Оскільки, в нашому прикладі є лише два логарифми з однаковою основою, то ми маємо такий тип прикладу: «log_a⁡ f(x) = log_a⁡ g(x)». Такий тип прикладів можна розв’язати так:

{/f(x) = g(x)/f(x) > 0/g(x) > 0

Для цього зробимо стандартний вигляд нашого прикладу. Перенесемо для цього «-log₂⁡(2 - x)» у протилежну сторону.

2log₂⁡x = log₂⁡(2 - x)

Також у лівій частині у нас є «2» перед логарифмом. Необхідно зробити чистий логарифм. Скористаємося властивістю логарифма: «n·log_a⁡b = log_a⁡bⁿ».

log₂⁡x² = log₂⁡(2 - x)

Розв’яжемо наше рівняння:

x² = 2 - x

x² + x - 2 = 0

D = 1² - 4∙1∙(-2) = 1 + 8 = 9

x₁ = /-1 + √9/2 ∙ 1 = 1

x₂ = /-1 - √9/2 ∙ 1 = -2

Тепер необхідно перевірити щоб під логарифмічні вирази не були меншими за нуль. Підставимо наші розв’язки.

При «х = 1» будемо мати: «х = 1», «2 – х = 2 – 1 = 1» - обидва вирази є додатними, тому розв’язок «х = 1» нам підходить.

При «х = -2» будемо мати: «х = -2», «2 – (-2) = 2 + 2 = 4» - перший під логарифмічний вираз є від’ємним, тому розв’язок «х = -2» нам не підходить.

Відповідь: 1.

4. lg⁡ (x⁴ - 10x²) = lg⁡ 3x³

Оскільки, в нашому прикладі є лише два логарифми з однаковою основою, то ми маємо такий тип прикладу: «log_a⁡ f(x) = log_a⁡ g(x)». Такий тип прикладів можна розв’язати так:

{/f(x) = g(x)/f(x) > 0/g(x) > 0

Будемо мати:

x⁴ - 10x² = 3x³

Перенесемо все в одну сторону:

x⁴ - 3x³ - 10x² = 0

x²(x² - 3x - 10) = 0

x² = 0 або x² - 3x - 10 = 0

Розв’яжемо перше рівняння:

x = 0

Розв'яжемо друге рівняння:

x² - 3x - 10 = 0

D = (-3)² - 4∙1∙(-10) = 9 + 40 = 49

x₁ = /-(-3) + √49/2 ∙ 1 = 5

x₂ = /-(-3) - √49/2 ∙ 1 = -2

Тепер необхідно перевірити щоб під логарифмічні вирази не були меншими за нуль. Підставимо наші розв’язки.

При «х = 5» будемо мати: «x⁴ - 10x² =625 - 250 = 375», «3x³ = 375» - обидва вирази є додатними, тому розв’язок «х = 5» нам підходить.

При «х = -2» будемо мати: «x⁴ - 10x² = 16 - 40 = -24», «3x³ = -24» - обидва під логарифмічні вирази є від’ємним, тому розв’язок «х = -2» нам не підходить.

Відповідь: 5.

5. log₂⁡(3∙2^x - 4) = x

В нашому прикладі є один логарифм який рівний виразу з «х», то це є тип прикладу «log_a⁡f(x) = g(x)». Розв’яжемо наший приклад так:

f(x) = a^g(x)

Будемо мати:

3∙2^x - 4 = 2^x

Розв’яжемо даний приклад. Це у нас є показникове рівняння. Детальніше як їх розв’язувати читайте тут.

3∙2^x - 4 - 2^x = 0

2∙2^x = 4 |∶2

2^x = 2

x = 1

Відповідь: 1.

6. log/2/2(x-16) - log₂⁡(x-16) - 2 = 0

В даному прикладі є декілька однакових логарифмі але в різних степенях та є звичайне число. Такий приклад можна розв’язати використавши заміну змінної.

Замінимо «log₂⁡(x - 16)» на «t». Після чого наше рівняння буде мати такий вигляд:

t² - t - 2 = 0

Розв’яжемо наше рівняння:

t² - t - 2 = 0

D = (-1)² - 4∙1∙(-2) = 1 + 8 = 9

t₁ = /-(-1) + √9/2 ∙ 1 = 2

t₂ = /-(-1) - √9/2 ∙ 1 = -1

Повернемося до старої змінної та отримаємо:

При «t = 2» матимемо:

log₂⁡(x - 16) = 2

x - 16 = 2²

x = 4 + 16

x = 20

При «t = -1» матимемо:

log₂⁡(x - 16) = -1

x - 16 = 2^-1

x = /1/2 + 16

x = 16/1/2

Відповідь: 16/1/2; 20.

7. log₃⁡x + log₉⁡x + log₈₁⁡x = 7

В нашому прикладі є декілька логарифмів з різними основами. Ми не можемо користуватися властивостями логарифмів, якщо вони мають різні основи. Тому спробуємо звести все до однієї основи.

Оскільки «9» та «81» ми можемо написати як «3» в степені, то зведемо до основи «3».

Врахуємо: «9 = 3²» і «81 = 3⁴», то отримаємо:

log₃⁡⁡x + log_3²⁡⁡x + log_3⁴⁡⁡x = 7

Тепер варто позбутися степенів, що є в основі. Для цього скористаємося властивістю логарифма:

log_aⁿ ⁡b = /1/n · log_a⁡b

Будемо мати:

log₃⁡⁡x + /1/2 log₃⁡⁡⁡x + /1/4 log₃⁡⁡⁡x = 7

Оскільки в нашому прикладі є декілька доданків, що містять «log₃⁡⁡⁡x», то ми можемо винести його за дужки:

log₃⁡⁡⁡x ∙ (1 + /1/2 + /1/4) = 7

log₃⁡⁡⁡x ∙ /7/4 = 7

Зведемо це до вигляду «log_a⁡ f(x) = b». Для цього нам необхідно поділити весь приклад на «7» та помножити на «4», тобто ми можемо помножити все рівняння на «/4/7». Матимемо:

log₃⁡⁡⁡x ∙ /7/4 = 7 |∙/4/7

log₃⁡⁡⁡x = 4

Розв’яжемо наше рівняння за принципом:

log_a⁡f(x) = b

f(x) = a^b

Матимемо:

x = 3⁴

x = 81

Відповідь: 81.

8. log₅⁡⁡⁡(x-1) + log₅⁡⁡⁡(x-2) = log₅⁡⁡⁡(x+2)

В нашому прикладі є декілька логарифмів з однаковою основою, тому ми можемо скористатися властивостями логарифмів. В лівій частині рівняння можна скористатися властивістю суми логарифмів з однаковими основами:

log_a⁡b + log_a⁡c = log_a⁡(b ∙ c)

Будемо мати:

log₅⁡⁡⁡[(x-1)(x-2)] = log₅⁡⁡⁡(x+2)

Тепер ми маємо рівняння вигляду «log_a⁡f(x) = log_a⁡g(x)» і ми зможемо його розв’язати так:

f(x) = g(x)

Матимемо:

(x - 1)(x - 2) = x + 2

Розв’яжемо отримане рівняння:

x² - 2x - x + 2 = x + 2

x² - 3x + 2 - x - 2 = 0

x² - 4x = 0

x(x - 4) = 0

x₁ = 0; x₂ - 4 = 0

x₁ = 0; x₂ = 4

Тепер варто перевірити наші розв’язки. Підставимо у під логарифмічні вирази.

При «х = 0»:

Підставимо у «х – 1»: «0 – 1 = -1» - результат вийшов від’ємним, тому розв’язок «х = 0» нам не підходить.

При «х = 4»:

Підставимо у «х – 1»: «4 – 1 = 3»; у «х – 2»: «4 – 2 = 2»; у «х + 2»: «4 + 2 = 6» - усі результати вийшли додатними, тому розв’язок «х = 4» нам підходить.

Відповідь: 4.

9. log₂⁡x ∙ log₄⁡x ∙ log₈⁡x = 36

Ми маємо декілька логарифмів з різними основами. Оскільки: «4 = 2²» і «8 = 2³», то ми можемо звести наші логарифми до основи «2».

log₂⁡x ∙ log_2²⁡x ∙ log_2³⁡x = 36

Позбудимося степеня в основі:

log_aⁿ⁡b = /1/n log_a⁡b

Матимемо:

log₂⁡x ∙ /1/2log₂⁡x ∙ /1/3log₂⁡x = 36

/1/6log/2/3⁡x = 36

/1/6log/2/3⁡x = 36 |∙6

log/2/3⁡x = 216

log₂⁡x = 3/216

log₂⁡x = 6

x = 2⁶

x = 64

Відповідь: 64.