Для того щоб розв’язати логарифмічну нерівність використовують ті ж самі принципи, що і при розв’язуванні логарифмічних рівнянь.

Детальніше про них ви можете дізнатися тут.

Нерівності виду: «log_af(x) > b», «log_a f(x) ≥ b», «log_a f(x) < b», «log_a f(x) ≤ b»

При розв’язувані нерівностей виду: «log_a f(x) > b», «log_a f(x) ≥ b», «log_a f(x) < b», «log_a f(x) ≤ b», де a > 0, a ≠ 1, b- будь-яке число, використовують такий же принцип як і при розв’язувані рівняння виду: «log_a f(x) = b». Єдина різниця, що замість знаку дорівнює («=») у нас є знак нерівності. Також при переході до розв’язування нерівності варто звернути увагу на основу логарифму:

Розглянемо на нерівності «log_a f(x) > b».

При «a > 1», отримаємо: f(x) > a^b

При «0 < a < 1», отримаємо: f(x) < a^b

Другий момент на який варто звернути увагу це значення які може набувати під логарифмічний вираз («f(x)»). Оскільки під логарифмічний вираз має бути більшим за нуль («f(x) > 0»), то ми маємо завжди слідкувати за цим. Тому можна буде розв’язувати логарифмічну нерівність за допомогою системи нерівностей, де перша нерівність це утворена при розв’язанні, а друга це умова де під логарифмічний вираз є більшим за нуль.

Розглянемо це у вигляді таблиці на прикладі нерівності «log_a ⁡f(x) ≥ b». Решта нерівностей розв’язуються аналогічно:

Варто розуміти, що умову «f(x) > 0» не обов’язково постійно писати. Вона необхідна лише тоді, коли під логарифмічний може набути від’ємних значень.

Приклад 1: log₅ ⁡x < 2

Основа логарифму є більшою за одиницю («5 > 1»), тому знак нерівності змінювати не потрібно.

Будемо мати таку нерівність:

x < 5²

x < 25

Як помітно під логарифмічний вираз може набути від’ємного значення, тому ми маємо врахувати умову, що під логарифмічний вираз має бути більшим за нуль:

x > 0

Отже будемо мати:

{/x < 25/x > 0

Або:

0 < x < 25

Отже, розв’язком початкової нерівності буде:

x ∈ (0; 25)

Відповідь: (0; 25).

Приклад 2: log_0,5⁡(7 - 2x) ≤ -6

Оскільки, основа логарифму є в межах від нуля до одиниці («0 < 0,5 < 1»), то знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:

7 - 2x ≥ 0,5^-6

Розв’яжемо отриману нерівність.

7 - 2x ≥ (/1/2)^-6

7 - 2x ≥ 2⁶

7 - 2x ≥ 64

-2x ≥ 64 - 7

-2x ≥ 57 |∶(-2)

x ≤ -28,5

Для гарантії можна розв’язати додаткову нерівність:

7 - 2x > 0

-2x > -7 |∶(-2)

x < 3,5

Отже, ми маємо таку систему нерівностей:

{/x ≤ -28,5/x < 3,5

Розв’язком цієї системи буде:

x ∈ (-∞; -28,5]

Відповідь: (-∞; -28,5].

Нерівності виду: «log_a f(x) > log_a g(x)», «log_a f(x) ≥ log_a g(x)», «log_a f(x) < log_a g(x)», «log_a f(x) ≤ log_a g(x)»

Коли ми маємо нерівність яка містить два логарифми з однаковими основами, то таку нерівність ми розв’язуємо подібним чином як і попередній тип. Тобто, якщо ми маємо основу, що є в межах від нуля до одиниці («0 < a < 1»), то знак нерівності змінюється на протилежний; якщо основа є більшою за одиницю («a > 1»), то знак нерівності не змінюється.

Враховуючи, що в обох випадках ми будемо мати один вираз з «х» меншим за інший, то нам не уникнути ситуації, коли під логарифмічний вираз набуває від’ємного значення. Щоб уникнути результату, коли під логарифмічний вираз набуває від’ємного значення нам варто вказувати, що вираз який є меншим буде більшим за нуль.

Подамо схему розв’язування нерівності «log_a⁡ f(x) ≥ log_a ⁡g(x)» у вигляді таблиці:

Приклад 1: log₂⁡(x² + x - 2) < log₂⁡⁡(2x + 10)

В нашій нерівності основа логарифмів є більшою за одиницю, тому знак нерівності не змінюється. Це означає, що ми будемо мати таку нерівність:

x² + x - 2 < 2x + 10

Оскільки, вираз «x² + x - 2» є меншим, то це означає, що він має бути більшим за нуль.

Отримаємо таку систему:

{ x² + x - 2 < 2x + 10 x² + x - 2 > 0

Розв’яжемо першу нерівність:

x² + x - 2 < 2x + 10

x² + x - 2 - 2x - 10 < 0

x² - x - 12 < 0

Пам’ятаємо, що квадратну нерівність краще розв’язувати її прирівнявши до нуля.

x² - x - 12 = 0

D = (-1)² - 4∙1∙(-12) = 1 + 48 = 49

x₁ = /-(-1) + √49/2 ∙ 1 = 4

x₂ = /-(-1) - √49/2 ∙ 1 = -3

Тепер розв’яжемо другу нерівність:

x² + x - 2 > 0

x² + x - 2 = 0

D = 1² - 4∙1∙(-2) = 1 + 8 = 9

x₁ = /-1 + √9/2 ∙ 1 = 1

x₂ = /-1 - √9/2 ∙ 1 = -2

Нанесемо обидва розв’язки на координатну пряму та знайдемо спільну частину обох нерівностей. Параболу нерівності «x² - x - 12 < 0» позначимо синім кольором, а «x² + x - 2 > 0» - червоним.

Отже, спільна частина нерівностей буде така (розв’язок початкової системи):

x ∈ (-3; -2)∪(1; 4)

Відповідь: (-3; -2)∪(1; 4).

Приклад 2: log_0,1x < log_0,1(2x - 5)

Оскільки, основа є в межах від нуля до одиниці («0 < 0,1 < 1»), то знак нерівності змінюється на протилежний. Отримаємо:

x > 2x - 5

Ми маємо, що вираз «2x - 5» має бути більшим за нуль. Після чого отримаємо таку систему нерівностей:

{/x > 2x - 5/2x - 5 > 0

Розв’яжемо дану систему:

{/x - 2x > -5/2x > 5

{/-x > -5 |∙(-1)/2x > 5 |∶2

{/x < 5/x > 2,5

Отже, розв’язок нерівності буде таким:

x ∈ (2,5; 5)

Відповідь: (2,5; 5).

Розв’язування складних логарифмічних нерівностей

У випадках, коли маємо складну логарифмічну нерівність (коли є декілька логарифмів з різними основами, у різному степені, декілька логарифмів та чисел), то їх варто розв’язувати так же як і складні логарифмічні рівняння. Тобто використовувати заміну змінної, логарифмічні перетворення (сума, різниця, тощо) та інші.

Приклад 1: log_0,5²⁡(x + 1) + log_0,5⁡(x + 1) - 2 ≥ 0

Оскільки, у нашій нерівності є однакові логарифми але в різному степені, то таку нерівність зручно розв’язувати заміною змінної.

Виконаємо заміну:

log_0,5 (x + 1) = t

Отримаємо:

t² + t - 2 ≥ 0

Ми отримали квадратну нерівність, а їх зручно розв’язувати через рівняння. Тому замінимо знак нерівності на знак рівності:

t² + t - 2 = 0

Та розв’яжемо отримане рівняння:

D = 1² - 4∙1∙(-2) = 1 + 8 = 9

t₁ = /-1 + √9/2 ∙ 1 = 1

t₂ = /-1 - √9/2 ∙ 1 = -2

Отже, будемо мати:

{/t ≥ 1/t ≤ -2

Повернемося до початкової змінної.

При «t ≥ 1», матимемо:

log_0,5(x + 1) ≥ 1

Оскільки основа логарифму є в межах від нуля до одиниці («0 < 0,5 < 1»), то знак нерівності зміниться на протилежний:

x + 1 ≤ 0,5¹

x + 1 ≤ 0,5

x ≤ 0,5 - 1

x ≤ -0,5

Також врахуємо умову, що під логарифмічний вираз має бути більшим за нуль:

x + 1 > 0

x > -1

Отже, перший розв’язок буде такий:

x ∈ (-1; -0,5]

При «t ≤ -2», матимемо:

log_0,5⁡(x + 1) ≤ -2

Оскільки основа логарифму є в межах від нуля до одиниці («0 < 0,5 < 1»), то знак нерівності зміниться на протилежний:

x + 1 ≥ 0,5^-2

x + 1 ≥ (/1/2)^-2

x + 1 ≥ 4

x ≥ 4 - 1

x ≥ 3

Також врахуємо умову, що під логарифмічний вираз має бути більшим за нуль:

x + 1 > 0

x > -1

Отже, Другий розв’язок буде такий:

x ∈ [3; +∞)

Остаточний розв’язок початкової нерівності буде такий:

x ∈ (-1; -0,5]∪[3; +∞)

Приклад 2: log_{^{2x - 1}3} ⁡2 < 0

Враховуючи, що змінна «х» є в основі, то ми не можемо завчасно дізнатися якою буде основа логарифму. Тому нам варто розглянути обидва варіанти.

Але перед цим варто знайти ОДЗ. Оскільки, основа не може бути від’ємною та рівною одиниці, то будемо мати такі обмеження:

{ /2x - 1/3 > 0 /2x - 1/3 ≠ 1

{/2x - 1 > 0/2x - 1 ≠ 3

{/2x > 1/2x ≠ 3 + 1

{ x > /1/2 x ≠ 1

Отже, ОДЗ буде таким:

D(x) ∈ (/1/2; 2)∪(2; +∞)

Припустимо, що основа є в межах від нуля до одиниці:

0 < /2x - 1/3 < 1

Розв’яжемо подвійну нерівність:

0 < 2x - 1 < 3

0 + 1 < 2x < 3 + 1

1 < 2x < 4

1 < 2x < 4 | : 2

/1/2 < x < 2

Тоді розв’язуючи нашу нерівність варто змінити знак на протилежний. Отримаємо:

2 > (2x - 1/3)⁰

2 > 1

Виходить, що при будь-яких значеннях змінної «х» ми будемо мати розв’язок.

x ∈ R

Врахувавши ОДЗ будемо мати такий розв’язок:

x ∈ (/1/2; 2)∪(2; +∞)

Разом із обмеженнями основи (основа є в межах від нуля до одиниці) будемо мати такий остаточний розв’язок:

x ∈ (/1/2; 2)

Припустимо, що основа є більшою за одиницю:

2x-1)/3 > 1

Тоді знак нерівності змінювати не потрібно:

2 < (2x - 1/3)⁰

2 < 1

Така нерівність не має розв’язків при будь-яких значеннях змінної «х»:

x ∈ ∅

Об’єднавши наші розв’язки отримаємо такий остаточний розв’язок:

x ∈ (/1/2; 2)

Відповідь: (/1/2; 2).

Приклад 3: log_0,4x + log_0,4(x - 1) ≥ log_0,4⁡(x + 3)

В даній нерівності у нас є декілька логарифмів з однаковою основою. Щоб розв’язати таку нерівність варто її звести до найпростіших. Для цього використовують логарифмічні перетворення.

Перед тим як ми будемо зводити до найпростішого вигляду варто знайти ОДЗ. Враховуючи, що під логарифмічний вираз не може бути меншим за нуль, то матимемо такі обмеження:

{/x > 0/x - 1 > 0/x + 3 > 0

{/x > 0/x > 1/x > -3

ОДЗ буде таким:

D(x) ∈ (1; +∞)

Тепер ми можемо скористатися властивостями логарифму та звести нашу нерівність до простішого вигляду.

Скористаємося властивістю суми («log_a⁡b + log_a⁡c = log_a⁡bc») в лівій частині та отримаємо:

log_0,4⁡(x(x - 1)) ≥ log_0,4⁡(x + 3)

Отже, ми маємо такий тип нерівності:

log_a⁡ f(x) ≥ log_a ⁡g(x)

Враховуючи, що основа є в межах від нуля до одиниці («0 < 0,4 < 1»), то знак нерівності змінюється на протилежний. Отримаємо:

x(x - 1) ≤ x + 3

Оскільки, вираз «x(x - 1)» є меншим, то це означає, що він має бути більшим за нуль.

x(x - 1) > 0

Отже ми будемо мати таку систему нерівностей:

{/(x(x - 1) ≤ x + 3/x(x - 1) > 0

Розв’яжемо першу нерівність:

x(x - 1) ≤ x + 3

x² - x ≤ x + 3

x² - x - x - 3 ≤ 0

x² - 2x - 3 ≤ 0

Розв’яжемо квадратну нерівність через рівняння:

x² - 2x - 3 = 0

D = (-2)² - 4∙1∙(-3) = 4 + 12 = 16

x₁ = /-(-2) + √16/2 ∙ 1 = 3

x₂ = /-(-2) - √16/2 ∙ 1 = -1

Розв’яжемо другу нерівність:

x(x - 1) > 0

Розв’яжемо квадратну нерівність через рівняння:

x(x - 1) = 0

x₁ = 0

x₂ - 1 = 0

x₂ = 1

Нанесемо наші розв’язки на координатну пряму. Будемо мати дві параболи. Розв’язок нерівності «x(x - 1) ≤ x + 3» намалюємо синім кольором, а нерівності «x(x - 1) > 0» - червоним. Спільну частину виділимо зеленим.

Отже, розв'язок даної системи буде:

x ∈ [-1; 0)∪(1; 3]

Врахуємо ОДЗ («(1; +∞)») початкової нерівності та будемо мати її (початкової нерівності) розв’язок:

x ∈ (1; 3]

Відповідь: (1; 3].