Aрифметичні дії з цілими числами
Число перед яким стоїть знак «+» (також у випадку коли перед числом не має знаку «+» або «-») називають додатним. Якщо перед числом стоїть знак «-», то його називають від’ємним.
Наприклад: - додатні числа; - від’ємні числа
Також є число воно не відноситься ні до додатних ні до від’ємних.
Варто зауважити, що знак числа це знак який стоїть перед самим числом. Він може бути лише або Якщо перед числом не має ні якого знаку але стоїть дужка, знак множення/ділення або перед числом нічого не має, то вважають, що число є додатнім і перед ним стоїть знак але його не пишуть щоб запис (приклад). Знак пишуть завжди.
В даній статі розглянемо основні дії з числами на прикладі цілих чисел (це зроблено для простоти). Детальніше як працювати з іншими типами чисел ви можете ознайомитися в наступних уроках.
Правила дій з цілими числами:
Ми розглянемо найпростіші дії з числами, а саме додавання, віднімання, множення та ділення.
Додавання чисел відбувається у тих випадках, коли обидва числа мають однакові знаки. Тобто коли обидва числа є зі знаками (якщо перед числом не має ні якого знаку, то вважають, що воно є зі знаком або Тоді перед результатом необхідно поставити їх спільний знак, а самі числа додати.
Наприклад:
- Тут не ставився перед та Тому вважаємо, що вони є обидва додатними.
- Обидва числа є зі знаком тому їх результат буде з таким же знаком. А числа ми додаємо. В дужках демонстративно показано.
На справді ці приклади приведені для простоти і є не зовсім правильними. Оскільки є дуже багато різних нюансів на рахунок цих дій. В подальшому ми їх розглянемо.
Віднімання чисел відбувається у тих випадках, коли числа мають різні знаки. Тобто, коли одне число є зі знаком а інше з
В такому випадку робимо такі дії:
1. Ставимо знак більшого числа (це буде знаком результату)
2. Від більшого числа віднімаємо менше
Наприклад:
більшим тому результат буде зі знаком
більшим тому результат зі знаком
Також часто доведеться зустрічати випадок коли відбувається додавання або віднімання додатного чи від’ємного числа.
Наприклад:
Тут варто запам’ятати такі правила:
1. Коли йде підряд два знаки, то їх необхідно розділяти дужками
2. Якщо йде два знаки підряд і ці знаки є або (мова йде, що не знаки помножити або поділити, а саме плюс або мінус), то їх можна перетворити в один. Якщо знаки є однаковими, то буде знак Якщо знаки є різними, то буде
послідовно йдуть знаки Вони є різними тому ми можемо замінити їх одним знаком Після чого отримаємо:
- тут є які знаходяться в дужках. В першу чергу необхідно виконати дію в дужках (детальніше буде описано нижче). Отже отримали такий вигляд: Пам’ятаємо, якщо перед числом не має ні якого знаку, то воно вважається зі знаком І по факту ми маємо такий вигляд: Тут послідовно йдуть однакові знаки (а саме тому можна їх замінити на один «+» (оскільки знаки є однаковими).
- знову ж таки необхідно в першу чергу виконати дію в дужках Після чого отримаємо: Отже перед стоїть два знаки, а це означає, що їх можна замінити одним. Оскільки знаки є однакові, то заміняємо на знак Перед «5» також є два знаки але вони різні, тому заміняємо знаком Отримаємо: Після чого виконуємо дію віднімання:
Два числа які відрізняються одне від одного лише знаком, називаються протилежними числами. Наприклад:
Додавання та віднімання чисел в яких є більше чим дві цифри краще за все виконувати у стовпчик. Для цього необхідно написати числа одне під одним прижимаючись до правого краю та між числами по переду і по середині поставити відповідний знак. Підчас додавання чи віднімання краще за все писати більше число з верху. Після чого виконувати відповідні дії. Розглянемо детальніше на прикладі та Якщо нижнє число є меншим, то ви можете залишити як порожні клітинки (показано в додаванні) так і написати на їх місці нуль (показано при відніманні).
Отже числа написані одне під одним. Тепер необхідно їх додавати. Починаємо з правого краю. Додаємо числа колонками (рядками) (для наглядності виділимо числа що додаватимуться однаковим кольором). Якщо при додаванні сума чисел є більшою за дев’ять, то необхідно буде одиниці запам’ятати (права цифра це буде а десятки додати до наступної суми цифр.
Наприклад:
| + | 1 | 4 | 8 | 5 | 0 |
| 3 | 3 | 7 | 6 | ||
| 1 | 8 | 2 | 2 | 6 | |
тому пишемо а додаємо до суми і повторюємо те ж. Тобто, пишемо, а додаємо до суми
Віднімання виконується подібним чином. Пишемо числа одне під одним прижимаючись до правого краю. З верху для зручності пишіть більше число, а потім не забутьте врахувати знак різниці.
Віднімаємо від верхнього числа нижнє (також для зручності позначено однаковими кольорами). Якщо верхнє число є меншим за нижнє, то необхідно «позичити» у лівого числа «1» і після цього ми можемо до нашого числа додати «10» та виконувати віднімання. А ліве число у якого позичали одиницю відповідно зменшується на цю одиницю.
| - | 1 | 4 | 8 | 5 | 0 |
| 0 | 3 | 3 | 7 | 6 | |
| 1 | 0 | 4 | 7 | 4 | |
Як помітно «0» є меншим за «6» тому позичаємо «1» у «5» і будемо мати після чого вже від «10» будемо віднімати «6». Потім переходимо до наступного числа. Оскільки ми у нього вже позичили «1», то там буде вже не «5», а і від «4» потрібно віднімати «7». Оскільки «4» менше за «7», то потрібно позичити «1» у «8» і будемо мати і від «14» віднімаємо «7».
Множення
Дію множення позначають так або так Також часто між дужками чи між буквеними виразами знаки множення не використовують.
Наприклад: «3xy»
Множення чисел можна назвати «скороченим додаванням». Це варто пояснити на прикладі.
- як бачите тут три рази додавалася сімка. Тому такий запис можна замінити на Тобто множення це додавання однакових чисел або виразів певну кількість разів.
Також для запам’ятовування ви можете використовувати табличку множення.
Тут також є свої хитрощі.
1. Зверніть увагу, що наприклад та дають однаковий результат. Цим можна та потрібно користуватися!
2. Оскільки множення це «скорочене додавання», то наприклад:
Тобто ви можете вивчити лише декілька важливих (найпростіших) чисел які множаться і вже відносно них рахувати. Як показано на прикладах.
Розберемося зі знаком. Тут все доволі просто. Якщо знаки чисел при множенні є однаковими, то результат буде зі знаком «+», а якщо знаки чисел різні, то зі знаком «-».
Наприклад:
- знаки чисел є однаковими отже результат буде зі знаком «+». Після чого залишається лише помножити «3» на «4». Отримаємо:
- знаки чисел є різними отже результат буде зі знаком «-». Після чого залишається лише помножити «5» на «2». Отримаємо:
Множити числа в яких є дві та більше цифри краще за все у стовпчик. Розглянемо як це відбувається на прикладі
В першу чергу необхідно написати числа які множаться одне під одним прижавши їх до правого краю. Знак чисел при цьому не враховується. А знак множення має бути перед цими числами і немов між ними. Не має значення яке число писати з верху, а яке знизу.
| × | 3 | 7 | 2 |
| 6 | 3 |
Після цього виконуємо множення так:
1. Множимо праве верхнє число по черзі на кожне нижнє. При цьому, якщо добуток чисел вийшов більшим за «9», то ми пишемо праву цифру, а решту додаємо до наступного добутку (аналогічно як при додаванні).
2. Повторюємо по черзі такі ж дії з наступними верхніми числами (множимо по черзі одне верхнє на кожне із нижніх) але результат множення починаємо писати зі зміщенням на одну цифру (мають утворюватися своєрідні сходинки).
3. Після чого необхідно додати всі отримані числа як описано раніше.
| × | 3 | 7 | 2 | |
| 6 | 3 | |||
| 1 | 2 | 6 | ||
| 4 | 4 | 1 | ||
| 1 | 8 | 9 | ||
| 2 | 3 | 4 | 3 | 6 |
Отже, розберемося, що відбулося. В першу чергу ми помножили «2» на «3» отримали «6». Потім «2» необхідно написати, а «1» пам’ятаємо. Оскільки з низу вже закінчилися числа, то цю «1» ми також записуємо в наступну клітинку. Числа знизу закінчилися, то переходимо до наступного верхнього числа. Після чого необхідно знову повторити множення на нижні числа. «1» записуємо в стовпець під «7»! А «2» додамо до наступного добутку. після чого «4» пишемо і «4» пам’ятаємо, але оскільки знизу числа закінчилися, то «4» що пам’ятали пишемо. Тепер переходимо до наступного верхнього числа і аналогічно множимо «9» пишемо під «3» (верхньою), Зверніть увагу на «сходинки» які утворилися. І останній крок це додавання отриманих чисел. На місці пропусків для зручності ви можете писати «0».
Ділення
Ділення чисел доволі різноманітне. Ділення чисел записують так Наприклад: де ліве число від знаку ділення називають діленим, тобто «число, що ділиться (ділять)»; праве («2») – дільником, тобто «число, що ділить»; а їх результат часткою. У цьому розділі ми будемо розбиратися лише в головному принципі ділення. Тобто розглядатимемо цілочисельне ділення або ділення з остачею.
Знак результату під час ділення визначається так само як і під час множення чисел.
Можливі такі випадки ділення:
1. Якщо ділене є меншим за дільник, то кажуть, що ділення не можливе.
Наприклад:
2. Якщо ділене та дільник є однаковими, то їх результат буде «1». Коли числа є однаковими але з різними знаками, то може бути «-1».
Наприклад:
3. Якщо ділене є більшим за дільник, то відбувається ділення чисел.
Розглянемо ділення числа «174» на «2».
В першу чергу необхідно правильно записати числа у стовпчик.
«Дії» будуть записуватися послідовно. Кожна дія відділяється підкресленням (це зроблено для зручності, часто буває, що певні етапи пропускаються).
Починають ділити з лівого краю «діленого».
Оскільки дільник складається лише з однієї цифри, то ми повинні відразу взяти лише одну цифру (якщо дільник складається з двох цифр, то беремо дві ліві цифри діленого, якщо з трьох – три і так далі).
Перша цифра яка зустрічається це «1». Вона є меншою за дільник відповідно ділення не відбудеться, тому необхідно взяти ще наступну цифру. Тобто тепер ми маємо ділити не «1», а «17» на «2».
Тут можна скористатися «дитячим» методом і запитати себе «скільки «2» влазить у «17»». Відповідь «8», бо або через множення Тут варто зауважити, що дане число не може бути більшим за те яке ділимо. Відповідно «8» необхідно записати де знаходиться частка, а «16» під «17».
Після чого необхідно відняти «16» від «17» і отримаємо «1».
На цьому етапі ви відразу можете помітити чи зробили все правильно. Оскільки результат після віднімання має бути меншим за дільник! У нас вийшло «1», а «1» є менше за «2» тому все зробили правильно. Також варто зауважити, що може вийти «0» але в цьому помилки не буде. І необхідно буде продовжувати ділити, якщо це буде можливо.
Якщо після цих дій у нас залишаються цифри які ще не були поділені у діленому (в нашому випадку це «4»), то їх необхідно поділити. Оскільки у нас залишилася «1» після віднімання, то до неї ми дописуємо «4» і отримаємо «14» яке необхідно поділити на «2». У випадку, якщо після віднімання залишився «0», то ми просто переписуємо ці числа.
Після чого необхідно повторювати ці дії поки не закінчяться цифри діленого.
Числа діленого закінчилися та після останнього віднімання залишився «0». Це означає, що число поділилося націло. Якщо ж залишилося якесь число, то його можна записати як остачу.
Зазвичай остачу записують в круглих дужках.
Наприклад: