Ірраціональні нерівності
Нерівність називають ірраціональною, якщо вона містить змінну під знаком кореня.
Для розв’язання ірраціональних нерівностей часто використовують властивості нерівностей та методи розв’язування ірраціональних рівнянь.
Нерівності виду:
Якщо ми маємо нерівність у якій корінь є не парного степеня, то така нерівність буде мати завжди розв’язки. Для того щоб її розв’язати, варто обидві частини нерівності підняти до степеня в якому є корінь.
Продемонструємо на такому типі нерівності:
Пам’ятаємо, що число. Тоді наша нерівність буде мати такий вигляд:
f(x) > an
Яку залишається розв’язати.
Труднощі виникатимуть, коли ми матимемо корінь парного степеня. Варто пам’ятати, що під коренем парного степеня вираз завжди є більшим або рівним нулеві. Тому такі нерівності можуть не мати розв’язків.
Розглянемо наші нерівності окремо у вигляді таблиці.
a > 0
{ f(x) > an f(x) ≥ 0
{ f(x) ≥ an f(x) ≥ 0
a < 0
f(x) ≥ 0
a > 0
{ f(x) < an f(x) ≥ 0
{ f(x) ≤ an f(x) ≥ 0
a < 0
x ∈ ∅
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад:
Оскільки, ми маємо корінь парного степеня, то це означає, що ми матимемо обмеження Враховуючи, що корінь парного степеня є більшим за (за від’ємне число), то ми будемо діяти за правою частиною схеми Відповідно нам необхідно розв’язати лише нерівність
Це є квадратна нерівність. Детальніше можете прочитати тут.
Для розв’язання квадратної нерівності нам варто з першу розв’язати квадратне рівняння:
x2 + 1 = 0
x2 = -1
Таке рівняння розв’язків не має. Але пам’ятаємо, що нерівність може мати розв’язки. Враховуючи, що знак біля є (пам’ятаємо, що і знак нерівності є (тобто, вони збігаються), то нерівність має такий розв’язок:
x ∈ (-∞; +∞)
Отже, розв’язком початкової нерівності буде:
x ∈ (-∞; +∞)
Приклад 2:
Ми знаємо, що корінь парного степеня завжди є більший або рівний нулеві, а у нашій нерівності він є менший за від’ємне число. Тому, така нерівність не матиме розв’язків.
x ∈ ∅
Приклад 3: 3/x ≥ -2
Наш корінь є непарного степеня. Тому, такі нерівності будуть мати розв’язки завжди. Піднімемо нашу не рівність до третього степеня. Отримаємо:
x ≥ (-2)3
x ≥ -8
Отже, розв’язком початкової нерівності буде:
x ∈ [-8; +∞)
Нерівності виду:
У випадку, коли то нам достатньо просто забрати корінь (бо при непарному корені жодних обмежень не має). Після цього необхідно розв’язати отриману нерівність.
Продемонструємо це на вигляді нерівності: Інші нерівності розв’язуються аналогічно.
f(x) > g(x)
Після чого залишається розв’язати отриману нерівність.
У випадку, коли то у нас з’являється додаткове обмеження, що підкореневий вираз не може бути від’ємним. Тому маючи з цих нерівностей: ми матимемо систему нерівностей яка буде складатися з двох нерівностей. Перша нерівність утвориться, якщо просто забрати корінь; а друга нерівність це обмеження яке утвориться за умови, що під коренем парного степеня не може бути від’ємного числа, тому щоб записати другу нерівність потрібно написати підкореневий вираз який є меншим у початковій нерівності та вказати, що воно є нулеві.
Покажемо на прикладі нерівності: Решта нерівностей розв’язують аналогічно.
Для першої нерівності нам достатньо просто забрати корінь. Для другої варто визначити, що буде меншим чи Оскільки, є меншим, (орієнтуємося по знаку нерівності), то саме буде більшим-рівним нулеві. Тому будемо мати таку систему:
{/f(x) > g(x)/g(x) ≥ 0
Приклад:
Оскільки, ми маємо корінь парного степеня, то ми маємо її розв’язати за допомогою системи нерівностей. Де для першої нерівності нам достатньо забрати корінь, а для другої нерівності необхідно написати підкореневий вираз який є меншим, що він є за нуль. Враховуючи, що є меншим (дивимося на знак нерівності), то його підкореневий вираз має бути нулеві
Отже, нашу нерівність можна розв’язати за допомогою такої системи:
{/2 - x ≤ 2x + 1/2 - x ≥ 0
Розв’яжемо дану систему.
{/-x - 2x ≤ 1 - 2/-x ≥ -2
{/-3x ≤ -1 |∶(-3)/-x ≥ -2 |∙(-x)
{x ≥ 1/3x ≤ 2
Нанесемо наші розв’язки на одну координатну пряму. Розв’язки нерівності позначимо червоним кольором, а спільну частину обведемо зеленим кольором.
Отже, розв’язок початкової нерівності буде:
x ∈ [/1/3; 2]
Нерівності виду:
У таких нерівностях необхідно підняти обидві частини нерівності до степеня в якому є корінь. Також варто врахувати обмеження які виникатимуть у кожному з варіантів цих нерівностей. Розглянемо кожен вид окремо.
Розглянемо нерівності виду:
Якщо, ми маємо корінь не парного степеня, то варто просто підняти обидві частини нерівності до степеня в якому є корінь.
f(x) < [g(x)]n
f(x) ≤ [g(x)]n
У випадку, коли ми маємо корінь парного степеня, то ми матимемо обмеження, що під кореневий вираз має бути за нуль та корінь парного степеня є більшим-рівним нулеві. Отже, у нерівності де то у такій нерівності під кореневий вираз має бути більшим-рівним нулеві та корінь має бути рівний виразу який є більшим-рівним нулеві Отже, розв’язок нерівностей ми можемо записати у вигляді системи з трьох нерівностей.
{ f(x) < [g(x)]n f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0
{ f(x) ≤ [g(x)]n f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0
Розглянемо нерівності виду:
У випадку, коли ми маємо корінь в непарному степені, то нам достатньо підняти обидві частини нерівності до даного степеня.
f(x) > [g(x)]n
f(x) ≥ [g(x)]n
У випадку, коли корінь є в парному степені і він є більшим або більшим-рівним за вираз, що містить змінну «х», то тут варто розглядати дві системи розв’язки яких необхідно буде об’єднати.
Перша система буде розв’язуватися за умови, що вираз без кореня буде від’ємним. Враховуючи, що корінь парного степеня є завжди нулеві, то розв’язками такої нерівності буде число але нам ще необхідно буде розв’язати нерівність де під кореневий вираз є нулю (бо під коренем парного степеня не може бути від’ємного числа). Тобто, перша система нерівностей виглядатиме так (для обох нерівностей):
{/g(x) < 0/f(x) ≥ 0
Друга ж система буде розв’язуватися за умови, що вираз без кореня буде додатнім. В такому випадку нам необхідно підняти обидві частини нерівності до степеня в якому є корінь:
{ g(x) ≥ 0 f(x) > [g(x)]n
{ g(x) ≥ 0 f(x) ≥ [g(x)]n
Отже, загальне розв’язання таких нерівностей можна записати так:
{/g(x) < 0/f(x) ≥ 0
{ g(x) ≥ 0 f(x) > [g(x)]n
{/g(x) < 0/f(x) ≥ 0
{ g(x) ≥ 0 f(x) ≥ [g(x)]n
А розв’язками початкової нерівності буде об’єднання розв’язків системи.
Приклад:
Враховуючи, що ми маємо ситуацію, коли корінь є меншим за вираз, то це є такий вид нерівності:
n/f(x) < g(x)
Оскільки, ми маємо корінь парного степеня, то таку нерівність розв’язують враховуючи обмеження «корінь парного степеня не може бути рівний від’ємному числу» та «під коренем парного степеня не може бути від’ємного числа».
Отже, нашу нерівність можна розв’язати такою системою:
{ f(x) < [g(x)]n f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0
Матимемо:
{ 3x + 7 < (x + 1)n 3x + 7 ≥ 0 x + 1 ≥ 0
Розв’яжемо кожну нерівність окремо. Перша нерівність це квадратна, друга та третя – лінійна.
Розв’яжемо першу нерівність:
3x + 7 < (x + 1)2
3x + 7 < x2 + 2x + 1
-x2 + 3x - 2x + 7 - 1 < 0
-x2 + x + 6 < 0 |∙(-1)
x2 - x - 6 > 0
x1 = /-(-1) + √25/2 ∙ 1 = 3
x2 = /-(-1) - √25/2 ∙ 1 = -2
Розв’язки нерівності шукатимемо вже в кінці.
Розв’яжемо другу нерівність:
3x + 7 ≥ 0
3x ≥ -7 |∶3
x ≤ /-7/3
x ≤ -2/1/3
Розв’яжемо третю нерівність:
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1
Нанесемо наші розв’язки на координатну пряму. Першу нерівність позначимо червоним кольором, а їх спільну частину зеленим.
Отже, розв’язком початкової нерівності буде проміжок:
x ∈ (3; +∞)
Ірраціональні нерівності, що містять кілька коренів.
Нерівності виду чи розв’язують як аналогічні ірраціональні рівняння.
В першу чергу нам варто знайти ОДЗ (область допустимих значень).
Після чого, для своєї зручності, варто позбутися від’ємності сторін нерівності (зробити так щоб не було віднімання).
Та підняти обидві нерівності до степеня в якому є корінь (з великою ймовірністю отримаємо один з простих видів нерівності) та розв’язати отриману нерівність.
Розв’язок початкової нерівності буде переріз (спільна частина) ОДЗ та розв’язку нерівності.
Приклад:
Знайдемо ОДЗ. Оскільки під коренем парного степеня не може знаходитися від’ємне число, то для знаходження ОДЗ необхідно розв’язати таку систему:
{/9 - 2x ≥ 0/x + 3 ≥ 0
{/-2x ≥ -9 |∶(-2)/x ≥ -3
{/x ≤ 4,5/x ≥ -3
Отже, ОДЗ буде таким:
D(x) ∈ [-3; 4,5]
Враховуючи, що в обох частинах початкової нерівності ми не маємо дії віднімання (жодна з частин не може стати від’ємною і не доведеться розглядати додаткові обмеження), то ми можемо перейти до наступного кроку. Нам варто підняти обидві частини нерівності до квадрату (бо ми маємо корінь квадратний). Отримаємо:
(9 - 2x) + x + 3)2 > 12
Отримали просту нерівність виду яку можна розв’язати як об’єднання двох систем нерівностей:
{/g(x) < 0/f(x) ≥ 0
{ g(x) ≥ 0 f(x) > [g(x)]n
Розв’яжемо першу систему нерівностей:
{/x - 11 < 0/4(9 - 2x)(x + 3) ≥ 0
Перша нерівність є лінійною. Детальніше як їх розв’язувати ви можете прочитати тут.
x < 11
Розв’язком першої нерівності буде проміжок:
x ∈ (-∞; 11)
Друга нерівність це є складні нерівності (якщо розкрити дужки, то буде квадратна нерівність). Детальніше про неї ви можете прочитати тут.
Отже, вся нерівність буде за нуль коли обидва вирази в дужках будуть від’ємними або додатними на знак не впливає). Тому ми можемо розв’язати початкову нерівність сукупністю нерівностей:
{/9 - 2x ≥ 0/x + 3 ≥ 0
{/-2x ≥ -9 |∶(-2)/x ≥ -3
{/x ≤ 4,5/x ≥ -3
Нанесемо наші розв’язки на координатну пряму. Враховуючи, що початковий знак був то проміжки які є замальованими будуть мати знак а Також визначимо загальний знак проміжку.
Як помітно лише у проміжку загальний знак є Тому розв’язок другої нерівності буде:
[-3; 4,5]
Отже, перерізом (спільною частиною) першої системи нерівностей буде проміжок:
[-3; 4,5]
Розв’яжемо другу систему нерівностей:
{ x - 11 ≥ 0 4(9 - 2x)(x + 3) > (x - 11)2
Розв’яжемо першу нерівність:
x - 11 ≥ 0
x ≥ 11
Розв’язком першої нерівності буде проміжок:
x ∈ [11; +∞)
Розв’яжемо другу нерівність:
-9x2 + 36x - 13 > 0
Розв’яжемо квадратну нерівність за допомогою рівняння. Детальніше читайте тут
-9x2 + 36x - 13 = 0
Нанесемо розв’язки рівняння на координатну пряму та використаємо параболу. Оскільки, біля знаходиться знак то парабола буде вітками до низу, а враховуючи, що нерівність має бути за нуль, то нам необхідний проміжок в якому парабола є над віссю.
Тобто, розв’язком другої нерівності буде проміжок:
x ∈ (/6 - √23/3; /6 + √23/3)
Тепер варто знайти спільну частину обох нерівностей. Врахуємо, що буде близько а є близьким до Тобто, ми можемо приблизно знайти значення виразу та .
√23 ≈ 4,8
Далі будемо мати:
/6 + 4,8/3 ≈ 3,6
/6 - 4,8/3 ≈ 0,4
Нанесемо обидва розв’язки нерівності на одну координатну пряму та знайдемо їх переріз (спільну частину).
Як помітно в даних нерівностей не має спільної частини. Тому розв’язків цієї нерівності не має.
Виходить, що розв’язком початкової нерівності є проміжок першої системи:
[-3; 4,5]