Для того щоб успішно розв’язувати практичні завдання вам варто ознайомитися з теоретичним матеріалом. Це можна зробити тут.

1. Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії «3»; «5,5»; «8»; «…».

Нам необхідно знайти «a₃₁⁡⁡», тобто «n = 31». Оскільки, послідовність задана набором чисел, то будемо мати: «a₁⁡⁡ = 3», «a₂⁡⁡ = 5,5», «a₃ ⁡⁡= 8».

Для знаходження довільного члену прогресії можна використати формулу:

a_n ⁡⁡= a_k ⁡⁡+ d(n - k), n > k

В якості «a_n⁡⁡» візьмемо «a_3⁡⁡1», де «n = 31»; замість «a_k⁡⁡» візьмемо «a₁⁡⁡», де «k = 1». Але нам не відома різниця прогресії «d».

Різницю прогресії можемо знайти за формулою:

d = a_{n + 1}⁡ ⁡- a_n⁡⁡

Тобто можемо взяти такі члени прогресії «a₂⁡⁡», «a₁⁡⁡». Отримаємо:

d = a₂ ⁡⁡- a₁⁡⁡ = 5,5 - 3 = 2,5

Тепер у нас є всі данні для знаходження «a₃₁⁡⁡». Підставимо всі числа та отримаємо:

a₃₁⁡⁡ = 3 + 2,5(31 - 1) = 3 + 2,5∙30 = 3 + 75 = 78

Відповідь: 78.

2. В арифметичній прогресії «a₁ ⁡⁡= -2,7», «a₁₆⁡⁡ = 1,8». Знайти різницю прогресії.

Оскільки, нам відомі два члени прогресії та необхідно знайти різницю прогресії, то ми можемо скористатися формулою для знаходження довільного члену прогресії:

a_n ⁡⁡= a_k ⁡⁡+ d(n - k), n > k

В якості «a_n⁡⁡» візьмемо «a₁₆⁡⁡», де «n = 16»; замість «a_k⁡⁡» візьмемо «a₁⁡⁡», де «k = 1». Отримаємо:

1,8 = -2,7 + d(16 - 1)

Звідси ми можемо знайти «d» розв’язавши лінійне рівняння. Детальніше можете прочитати тут.

1,8 + 2,7 = 15d

15d = 4,5

d = 4,5 ∶ 15

d = 0,3

Відповідь: 0,3.

3. Обчислити номер члена прогресії «23,5»; «24,82»; «26,14»; «…» який дорівнює «28,78».

За умовою задачі нам не відомо яка точно є прогресія. Тому необхідно виконати перевірку. Якщо це арифметична прогресія, то різниця між числами має бути однаковою. Отже, маємо, що «23,5» перший член прогресії, «24,82» другий, «26,14» третій. Знайдемо різницю між другим та першим, третім та другим членами прогресії.

24,82 – 23,5 = 1,32

26,14 – 24,82 = 1,32

Різниця між числами є однаковою, тому це є арифметична прогресія. Також ми відразу знайшли різницю прогресії «d = 1,32».

Оскільки, нам необхідно знайти порядковий номер члена прогресії який рівний «28,78». Це означає, що нам відомий «a_n⁡⁡» член прогресії і необхідно знайти «n».

Для знаходження «n» ми можемо скористатися формулою знаходження довільного члена прогресії:

a_n⁡⁡ = a_k⁡ ⁡+ d(n - k), n > k

В якості «a_n⁡⁡» візьмемо «a_n⁡⁡ = 28,78», де «n = ?»; замість «a_k⁡⁡» візьмемо «a₁ ⁡⁡= 23,5», де «k = 1»; «d = 1,32». Отримаємо:

28,78 = 23,5 + 1,32(n - 1)

Отже, ми вже можемо знайти «n». Розв’яжемо отримане рівняння:

28,78 - 23,5 = 1,32(n - 1)

/5,28/1,32 = n - 1

4 + 1 = n

n = 5

Тут варто зауважити, що порядковий номер не може бути дробовим або від’ємним числом. Тому, якщо у вас вийде дробове або від’ємне число, то варто перевірити на наявність помилок.

Відповідь: 5.

4. Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює «48». Знайти чотирнадцятий член прогресії.

За умовою задачі ми маємо «a₈⁡⁡ + a₂₀⁡⁡ = 48». Необхідно знайти «a₁₄⁡⁡».

Оскільки «14 – 8 = 6» і «20 – 14 = 6», то ми маємо, що чотирнадцятий член прогресії є рівновіддаленим від шостого та двадцятого члена прогресії. Це означає, що чотирнадцятий член прогресії можна знайти за рівновіддаленими членами прогресії:

a_n⁡⁡ = a_{n - k} ⁡⁡+ a_{n + k}⁡⁡2

Отже, будемо мати:

a₁₄ ⁡⁡= a₈⁡⁡+a₂₀⁡⁡2

a₁₄⁡⁡ = /48/2 = 24

Відповідь: 24.

5. В арифметичній прогресії «a₁₀⁡⁡ + a₁₄⁡⁡ = 26,8». Знайти «a₂₁⁡⁡», якщо «a₃⁡⁡ = 3,2».

В арифметичній прогресії, якщо виконується така властивість:

p + l = n + m

То будемо мати таке:

a_p⁡⁡ + a_l⁡⁡ = a_n⁡ ⁡+ a_m⁡⁡

Оскільки: «10 + 14 = 24» та «3 + 21 = 24». То ми матимемо, що:

a₃ ⁡⁡+ a_2⁡⁡1 = a_1⁡0⁡ + a_1⁡4⁡

Підставимо всі відомі данні та отримаємо:

3,2 + a₂₁⁡⁡ = 26,8

a₂₁⁡⁡ = 26,8 - 3,2

a₂₁⁡ ⁡= 23,6

Відповідь: 23,6.

6. Знайти десятий член прогресії, якщо: «a₅ ⁡⁡+ a₇ ⁡⁡+ a₁₂⁡⁡ + a₁₆⁡⁡ = 48».

Нам необхідно знайти десятий член прогресії («a_1⁡⁡0»).

Тут варто скористатися формулами знаходження довільного члена прогресії за рівновіддаленими членами прогресії.

a_n⁡⁡ = a_{n - k}⁡⁡ + a_{n + k}2

Наприклад:

a₁₀⁡⁡ = a_10-4 + a₁₀₊₄2 = a₆⁡⁡+a₁₄⁡⁡2

2a₁₀ ⁡⁡= a₆ ⁡⁡+ a₁₄⁡⁡

Чому обрали саме «a₆⁡⁡», «a₁₄⁡⁡»? За умовою задачі ми маємо: «a₅⁡⁡», «a₇⁡⁡», «a₁₂⁡⁡», «a₁₆⁡⁡» які між собою додаються. І «a₆⁡⁡» є рівновіддаленим від «a₅⁡⁡» та «a₇⁡⁡», а «a₁₄⁡⁡» рівновіддалений від «a₁₂⁡⁡» та «a₁₆⁡⁡». Тому ми можемо знайти «a₆⁡⁡» та «a₁₄⁡⁡».

a₆⁡⁡ = a₅⁡⁡ + a₇⁡⁡2

2a₆⁡⁡ = a₅⁡ ⁡+ a₇⁡⁡

a₁₄⁡⁡ = a_1⁡⁡2 + a_1⁡⁡62

2a_1⁡⁡4 = a₁₂⁡⁡ + a_1⁡⁡6

Отже, тепер наше рівняння виглядатиме так:

2a₆⁡⁡ + 2a₁₄⁡⁡ = 48

2(a₆⁡⁡ + a₁₄⁡⁡) = 48

2 ∙ 2a₁₀⁡⁡ = 48

a₁₀⁡⁡ = 48 ∶ 4

a₁₀ ⁡⁡= 12

Відповідь: 12.

7. Знайти найбільший від’ємний член арифметичної прогресії, у якої «a₁⁡⁡ = 101», «d = -7».

Найбільшим від’ємним членом прогресії буде перше від’ємне число. Для того щоб не шукати в ручну та не вгадувати порядковий номер першого від’ємного члена прогресії можна знайти кількість членів прогресії з таким же знаком як і після обраного члена прогресії.

Оскільки у нас відомий перший член прогресії та він є додатним, то знайдемо скільки є додатних членів прогресії після першого.

Для цього варто скористатися такою формулою:

m = |a_kd⁡⁡|

Якщо відкинути дробову частину (тобто залишити лише ціле число) від отриманого результату «m», то ми знайдемо кількість членів прогресії після К-того члена прогресії з таким же знаком.

m = |a₁d|

m = |/101/-7|

m = 14/3/7

Отже, будемо мати «14» членів прогресії з таким же знаком як і перший (оскільки саме від першого починали рахувати). Це означає, що ми маємо «1 + 14 = 15» членів прогресії зі знаком «+» (порядковий номер члена прогресії від якого рахуємо + кількість членів прогресії з таким же знаком).

Звідси отримаємо, що «16» член прогресії вже буде з протилежним знаком. Перевіримо скориставшись формулою знаходження довільного члену прогресії:

a_n⁡⁡ = a_k ⁡⁡+ d(n - k), n > k

a₁₆ ⁡⁡= a₁ ⁡⁡+ d(16 - 1)

a₁₆⁡⁡ = 101 - 7∙15

a₁₆⁡⁡ = 101 - 105

a₁₆⁡⁡ = -4

Відповідь: -4.

8. Який номер має перший від’ємний член арифметичної прогресії «11,3»; «10,4»; «9,5»; «…»?

Прогресія задана набором чисел. Тому ми будемо мати, що перше число це є перший член прогресії, друге – другий і так далі: «a₁⁡⁡ = 11,3», «a₂⁡⁡ = 10,4», «…».

Якщо ми дізнаємося кількість додатних членів прогресії, то зможемо дізнатися яким по порядку буде перший від’ємний член прогресії.

Дізнаємося скільки членів прогресії з таким же знаком є після першого члена за формулою:

m = |a₁d|

У нас є не відомою різниця прогресії «d». Знайдемо її:

d = a₂⁡ ⁡- a₁⁡⁡

d = 10,4 - 11,3

d = -0,9

Тепер знайдемо кількість членів прогресії з таким же знаком як і перший член прогресії (необхідно брати лише цілу частину від ділення).

m = |/11,3/-0,9|

m = 12/5/9

m = 12

Отже, ми маємо «1 + 12 = 13» (перший член прогресії + кількість членів прогресії з таким же знаком, що йдуть після нього) додатних членів прогресії. Це означає, що починаючи з «14» члена прогресії починаються члени прогресії з протилежним знаком (в нашому випадку від’ємні). Щоб переконатися зробіть перевірку та знайдіть чотирнадцятий член прогресії.

Відповідь: 14.

9. В арифметичній прогресії тридцять членів. Знайти суму всіх членів прогресії, якщо перший її член дорівнює «– 12», а останній - «75».

Оскільки в арифметичній прогресії є тридцять членів, то маємо: «n = 30». Відомий перший член прогресії «a₁ ⁡⁡= -12» та останній «a₃₀⁡⁡ = 75» Для знаходження суми певної кількості членів прогресії коли відомий перший та останній член прогресії, можна скористатися такою формулою:

S_n ⁡⁡= a₁⁡⁡ + a_n⁡⁡2 · n

S₃₀⁡⁡ = /-12 + 75/2∙30

S₃₀⁡⁡ = /63 ∙ 30/2

S₃₀⁡⁡ = 63 ∙ 15

S₃₀⁡⁡ = 945

Відповідь: 945.

10. Знайти суму перших десяти членів арифметичної прогресії, якщо «a₄⁡⁡ = 10», «a₇⁡⁡ = 19».

Суму перших «n» членів арифметичної прогресії можна знайти за формулою:

S_n ⁡⁡= a₁ ⁡⁡+ a_n⁡⁡2 · n

Оскільки необхідно знайти суму перших десяти членів прогресії («n = 10»), то будемо мати таку формулу:

S_1⁡⁡0 = a₁ ⁡⁡+ a₁₀⁡⁡2 · 10

Нам не відоме значення виразу «a₁⁡⁡ + a₁₀⁡⁡», але ми можемо скористатися властивістю рівної суми. Тобто, якщо:

p + l = n + m

Будемо мати:

a_p⁡⁡ + a_l⁡ ⁡= a_n⁡⁡ + a_m⁡⁡

В нашому випадку маємо: «4 + 7 = 11» і «1 + 10 = 11», тобто ми будемо мати:

a₁⁡⁡ + a₁₀ ⁡⁡= a₄⁡⁡ + a₇⁡⁡

Підставимо данні які маємо та отримаємо:

a₁⁡⁡ + a₁₀⁡⁡ = 10 + 19 = 29

Тепер ми можемо знайти суму перших десяти членів прогресії:

S₁₀⁡⁡ = /29/2 ∙ 10 = 29 ∙ 5 = 145

Відповідь: 145.

11. Знайти суму перших тридцяти членів арифметичної прогресії «-8»; «-5»; «-2»; «…».

Наша прогресія задана набором чисел, то будемо мати: «a₁⁡⁡ = -8», «a₂ ⁡⁡= -5», «a₃⁡⁡ = -2», «…».

Оскільки необхідно знайти суму перших тридцяти членів прогресії, то маємо: «n = 30».

Суму перших «n» членів арифметичної прогресії можна знайти за формулою:

S_n⁡⁡ = 2a₁⁡⁡ + d(n-1)2 · n

Нам ще не відома різниця прогресії. Знайдемо її віднявши від другого члену прогресії перший (тому, що ми маємо два послідовні члени прогресії):

d = a₂ ⁡⁡- a₁⁡⁡

d = -5 - (-8) = -5 + 8 = 3

Тепер у нас є всі данні для знаходження суми перших тридцяти членів арифметичної прогресії:

S₃₀⁡⁡ = /2∙(-8) + 3(30 - 1)/2 ∙ 30

S₃₀⁡⁡ = /-16 + 3∙29/2 ∙ 30

S₃₀⁡⁡ = 1065

Відповідь: 1065.

12. В арифметичній прогресії «a₈⁡⁡ = 6». Знайти «S_1⁡⁡5».

Необхідно знайти суму перших п’ятнадцяти членів арифметичної прогресії. Тобто будемо мати: «n = 15».

Оскільки нам не відома різниця прогресії або два члени прогресії, то для знаходження ми можемо використати таку формулу:

S_n ⁡⁡= a₁ ⁡⁡+ a_n⁡⁡2 · n

Тобто будемо мати:

S₁₅ ⁡⁡= a₁ ⁡⁡+ a₁₅⁡⁡2 · ∙ 15

Але нам не відомі «a₁⁡⁡» та «a₁₅⁡⁡». Перевіримо чи ми можемо знайти їх за допомогою «a₈⁡⁡». Оскільки: «15 – 8 = 7» та «8 – 1 = 7», то це означає, що «a₁⁡⁡» та «a₁₅⁡⁡» є рівновіддаленими від «a₈⁡⁡». Тому ми можемо використати формулу знаходження будь-якого члену прогресії за рівновіддаленими від нього:

a_n⁡⁡ = a_{n - k} ⁡⁡+ a_{n + k}2, n > k

Підставимо наші значення і будемо мати:

a₈ ⁡⁡= a₁⁡⁡ + a₁₅⁡⁡2

Як бачите ми можемо замінити цілий вираз «a₁⁡⁡ + a₁₅⁡⁡2» на «a₈⁡⁡». Після чого знайти суму.

S₁₅⁡⁡ = a₈⁡⁡ ∙ 15

S₁₅⁡⁡ = 6 ∙ 15

S₁₅⁡⁡ = 90

Відповідь: 90.

13. Знайти знаменник геометричної прогресії, якщо «b₃⁡⁡ = 5,2»; «b₆⁡⁡ = 17,55».

Оскільки нам відомі члени прогресії, а необхідно знайти знаменник прогресії, то можна скористатися формулою знаходження довільного члена геометричної прогресії.

b_n ⁡⁡= b_k⁡⁡q^{n - k}⁡⁡, n > k

Візьмемо в якості «b_n⁡⁡» «b₆⁡⁡», де «n = 6»; замість «b_k⁡⁡» буде «b₃⁡⁡», де «k = 3». Будемо мати:

b₆ ⁡⁡= b₃⁡⁡q^{6 - 3}

b₆⁡⁡ = b₃⁡⁡q³⁡⁡

Звідси можемо знайти знаменник прогресії:

q³⁡⁡ = b₆⁡⁡b₃⁡⁡

q = 3b₆⁡⁡b₃

q = 3/17,55/5,2

q = 3/3,375

q = 1,5

Відповідь: 1,5.

14. Які два числа потрібно поставити між числами «8» і «125», щоб вони усі разом утворили геометричну прогресію.

Оскільки ми маємо чотири члени прогресії, то будемо мати такі члени прогресії: «b₁⁡⁡ = 8», «b₂ ⁡⁡= b₁⁡⁡q», «b₃⁡⁡ = b₁⁡⁡q²⁡⁡», «b₄⁡⁡ = 125».

Нам не відомий знаменник прогресії. Знайдемо його:

b₄⁡⁡ = b₁⁡⁡q³⁡⁡

q³ ⁡⁡= b₄⁡⁡b₁⁡⁡

q = 3/125/8

q = 2,5

Маючи знаменник прогресії ми можемо знайти другий та третій член.

b₂ ⁡⁡= 8 ∙ 2,5 = 20

b₃ ⁡⁡= 8 ∙ 2,5²⁡ ⁡= 50

Відповідь: 20; 50.

15. У геометричній прогресії «b₂⁡⁡ ∙ b₇⁡⁡ = 38,2». Знайти «b₄⁡⁡», якщо «b₅ ⁡⁡= 2».

Враховуючи, що ми маємо чотири члени прогресії та добуток двох з них, то перевіримо чи виконується рівність:

p + l = n + m

Будемо мати: «2 + 7 = 9» та «4 + 5 = 9». Оскільки, суми чисел є однакові, то буде виконуватися властивість:

b_p⁡⁡ ∙ b_l ⁡⁡= b_n⁡⁡ ∙ b_m⁡⁡

Маємо:

b₄ ⁡⁡∙ b₅⁡⁡ = b₂⁡⁡ ∙ b₇⁡⁡

b₄⁡⁡ = b₂⁡⁡ ∙ b₇⁡⁡b₅⁡⁡

Підставимо наші данні:

b₄⁡⁡ = /38,2/2

b₄⁡⁡ = 19,1

Відповідь: 19,1.

16. Знайти «|b₉⁡⁡|», якщо «b₄⁡⁡b₈⁡⁡b₁₀⁡⁡b_1⁡⁡4 = 625».

Нам необхідно знайти дев’ятий член прогресії. Перевіримо чи можемо знайти його через члени прогресії задані умовою задачі. Оскільки нам не відомий жодний з членів прогресії, а відомий лише добуток цих елементів, то варто скористатися формулою знаходження довільного члена прогресії за рівновіддаленими членами прогресії:

b/n/2 = b_{n - k}⁡⁡b_{n + k}⁡⁡

Де замість «n» у нас буде «9» (бо дев’ятий член прогресії необхідно знайти), а замість «k» буде число на яке віддалені наші члени прогресії.

Наприклад, «10» та «8» член прогресії віддалені від «9» на «1». Тобто: «10 – 9 = 1», «9 – 8 = 1». Тому, замість «b^{n + k}» ми візьмемо «b^{9 + 1}», а замість «b^{n - k}» ми візьмемо «b^{9 - 1}». Отримаємо:

bb/9/2 = b^9-1b⁹⁺¹ = b⁸b¹⁰

За тією ж логікою візьмемо «4» та «14» члени прогресії. Матимемо: «14 – 9 = 5», «9 – 4 = 5». Як помітно вони є рівновіддаленими. Тому, замість «b^{n + k}» ми візьмемо «b^{9 + 5}», а замість «b^{n - k}» ми візьмемо «b^{9 - 5}». Отримаємо:

bb/9/2 = b^9-5 b⁹⁺⁵ = b⁴b¹⁴

Отже, врахувавши це, ми отримаємо таке рівняння:

bb/9/2 ∙ bb/9/2 = 625

bb/9/4 = 625

b⁹ = ± 4/625

b⁹ = ±5

|b⁹| = |±5| = 5

Відповідь: 5.

17. Обчислити номер члена геометричної прогресії «1,5»; «2,1»; «2,94»; «…» який дорівнює «4,116».

Прогресія задана набором чисел, тому будемо мати: «b₁⁡⁡ = 1,5», «b₂⁡⁡ = 2,1», «…», «b_n⁡⁡ = 4,116». Нам необхідно знайти «n». Скористаємося формулою знаходження довільного члену прогресії:

b_n ⁡⁡= b_k⁡⁡q^{n - k}⁡⁡, n > k

Нам не відомий знаменник прогресії. Оскільки нам відомі два послідовних члени прогресії, то знайдемо знаменник за формулою:

q = b_{n + 1}b_n⁡⁡

Візьмемо «b₂⁡⁡» в якості «b_{n + 1}⁡⁡», де «n + 1 = 2»; замість «b_n⁡⁡» візьмемо «b₁⁡⁡», де «n = 1». Будемо мати:

q = b₂b₁⁡⁡

q = /2,1/1,5

q = 1,4

Підставимо наші данні у формулу знаходження довільного члена прогресії.

b_n ⁡⁡= b₁⁡⁡q^{n - 1}⁡⁡

4,116 = 1,5 ∙ 1,4^{n - 1}⁡⁡

1,4^{n - 1} ⁡⁡= /4,116/1,5

1,4^{n - 1} ⁡⁡= 2,744

Спробуємо подати число «2,744» в якості степеня числа «1,4».

2,744 = 1,4³⁡⁡

Якщо ми напишемо число «2,744» у вигляді «1,4³⁡⁡», то наший приклад набуде такого вигляду:

1,4^{n - 1}⁡⁡ = 1,4³⁡⁡

Це є показникове рівняння. Детальніше ви можете прочитати тут. У нас основи «1,4» є однаковими, а це означає, що степені «n - 1» та «3» теж мають бути однакові. Отже, будемо мати:

n - 1 = 3

n = 4

Відповідь: 4.

18. Знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії «3»; «-/3/2»; «/3/4»; «-/3/8»; «…».

Для нескінченно спадної геометричної прогресії використовується формула:

S = b₁1 - q⁡⁡

Тобто, нам необхідно знати перший елемент та знаменник прогресії. Прогресія задана послідовністю чисел. В тому випадку будемо мати: «b₁ ⁡⁡= 3», «b₂ ⁡⁡= -/3/2», «b₃ ⁡⁡= /3/4» і так далі.

Нам ще не відомий знаменник прогресії. Оскільки нам відомі два послідовних члени прогресії, то знайдемо знаменник за формулою:

q = b_{n + 1}b_n⁡⁡

Візьмемо «b₂⁡⁡» в якості «b_{n + 1}⁡⁡», де «n + 1 = 2»; замість «b_n⁡⁡» візьмемо «b₁⁡⁡», де «n = 1». Будемо мати:

q = b₂⁡⁡/b₁⁡⁡

q = -/3/2 ∶ 3

q = -/3/2 ∙ /1/3

q = /-1/2 = -0,5

Підставимо наші данні у формулу та знайдемо суму:

S = /3/1 - (-0,5)

S = /3/1,5

S = 2

Відповідь: 2.

19. Знайти суму перших десяти членів арифметичної прогресії, якщо «b₁⁡⁡ = /1/2», «b₅ ⁡⁡= 8».

Для знаходження суми довільної кількості перших членів прогресії ми можемо скористатися формулою:

S_n ⁡⁡= b₁⁡⁡(qⁿ⁡ ⁡- 1)q - 1

Але нам не відомий знаменник прогресії. Оскільки нам відомі два не послідовні члени прогресії, то знаменник ми зможемо знайти з формули довільного члена прогресії:

b_n⁡⁡ = b_k⁡⁡q^{n - k}⁡⁡, n > k

Візьмемо відомі нам члени прогресії та підставимо у формулу. Отримаємо:

b₅⁡⁡ = b₁q^{5 - 1}

q⁴ = b₅⁡⁡ ∶ b₁⁡⁡

q = ± 4b₅⁡⁡ ∶ b₁⁡⁡

q = ± 48 ∶ /1/2

q = ± 48 ∙ /2/1

q = ± 4/16

q = ± 2

Отже, будемо мати два варіанти суми членів прогресії.

При «q = 2», отримаємо:

S₁₀⁡⁡ = 0,5(2¹⁰ - 1)2 - 1

S₁₀⁡⁡ = 511,5

При «q = -2», отримаємо:

S₁₀⁡⁡ = 0,5((-2)¹⁰ - 1)-2 - 1

S₁₀⁡⁡ = -170,5

Відповідь: -170,5 або 511,5.