Рівняння та нерівності з параметром одні з найскладніших завдань. Для їх розв’язування необхідно знати доволі багато матеріалу. Вам обов’язково потрібно знати як розв’язувати лінійні рівняння, лінійні нерівності, квадратні рівняння, квадратні нерівності, системи рівнянь, системи нерівностей.

Зараз ми розглянемо зараз найпростіші рівняння з параметром, а саме «лінійні рівняння з параметром» та «квадратні рівняння з параметром».

Лінійні рівняння з параметром

В першу чергу варто розглянути загальний вигляд лінійного рівняння:

ax = b

Де «x» - змінна, «a» і «b» - числа.

Саме замість чисел «a» і «b» може знаходитися параметр. А, тип рівняння визначається по максимальному степені змінної «x», а не параметра!

Лінійне рівняння може мати три варіанти розв’язків в залежності від значень «a» та «b».

1. Лінійне рівняння має безліч розв’язків (коренів), якщо виконується умова:

a = 0; b = 0

Приклад: вказати при якому значенні параметра «a» рівняння «a²x - a² = x + 5a - 6» має безліч розв’язків.

Зауважимо, що в даному рівнянні найбільшим степенем «x» є «1», тому, ми маємо лінійне рівняння. В першу чергу нам варто звести його до стандартного вигляду «ax = b». Тобто, нам необхідно всі числа «з Х» перенести в одну частину, а «без Х» в іншу. Пам’ятаємо, що при перенесені варто змінити знак на протилежний.

Матимемо:

a²x - x = a² + 5a - 6

Винесемо в лівій частині «x» за дужки як спільний множник.

(a² - 1)x = a² + 5a - 6

Тепер ми маємо чіткий вигляд лінійного рівняння. Для того, щоб воно мало безліч розв’язків має виконуватися умова: одночасно число «з Х» та «без Х» має бути рівна нулеві. Тому, ми будемо мати два рівняння.

Перше:

a² - 1 = 0

Друге:

a² + 5a - 6 = 0

Потрібно розв’язати обидва рівняння та знайти їх спільний розв’язок. Ці рівняння є квадратними, тому ми скористаємося правилами розв’язування квадратних рівнянь.

Розв’язки першого рівняння будуть:

a² - 1 = 0

a = ±1

Другого:

a² + 5a - 6 = 0

a = 1; a = -6

Враховуючи, що спільним розв’язком обох рівнянь є «1», то ми робимо висновок, що при «a = 1» початкове рівняння буде мати безліч розв’язків.

2. Лінійне рівняння не має розв’язків (коренів), якщо виконується умова:

a = 0; b ≠ 0

Приклад: вказати при якому значенні параметра «c» рівняння «(c² + 2)x = c(2 - 3x) + 2» не має розв’язків.

Знову варто розпочати розв’язування рівняння з визначення типу даного рівняння. Максимальний степінь змінної є «1», тому рівняння є лінійним. Потрібно звести його до базового вигляду. Зауважимо, що в правій частинні «x» є в середині дужок. Щоб його «звільнити» необхідно ці дужки відкрити. Зауважте, що в лівій частині не має потреби відкривати дужки, бо «x» знаходиться за їх межами. Матимемо:

(c² + 2)x = c(2 - 3x) + 2

(c² + 2)x = 2c - 3cx + 2

Тепер, перенесемо все «з Х» в ліву частину:

(c² + 2)x + 3cx = 2c + 2

В лівій частині винесемо «x» за дужки, для того, щоб отримати базовий вигляд:

(c² + 3c + 2)x = 2c + 2

Пригадаємо, що лінійне рівняння не має розв’язків якщо виконується умова: число «з Х» має бути рівне нулеві, а «без Х» не має бути рівне нулеві.

Тобто, ми будемо мати одне рівняння та одне не рівняння.

Рівняння:

c² + 3c + 2 = 0

Не рівняння:

2c + 2 ≠ 0

Розв’яжемо рівняння:

c² + 3c + 2 = 0

c = -2; c = -1

Отримали розв’язки.

Розв’яжемо не рівняння:

2c + 2 ≠ 0

c ≠ -1

Отримали не розв’язки.

У відповідь нам необхідно обрати ті розв’язки які НЕ збігаються з не розв’язками.

Тобто, при «c = -2» початкове рівняння не буде мати розв’язків.

3. Лінійне рівняння має єдиний розв’язок (корінь), якщо виконується умова:

a ≠ 0

В такому випадку даний корінь можна знайти так:

x =/b/a

Приклад: за якого значення «a» рівняння «a²x - 2a² = 49x + 14a» має єдиний корінь?

Зауважимо, що максимальний степінь змінної є «1», то ми маємо лінійне рівняння.

Перенесемо всі числа «з Х» в ліву частину, «без Х» в праву частину.

a²x - 2a² = 49x + 14a

a²x - 49x = 2a² + 14a

Винесемо в лівій частині «x» за дужки:

(a² - 49)x = 2a² + 14a

Пригадаємо, що лінійне рівняння буде мати єдиний розв’язок, якщо виконується умова: число «з Х» не рівне нулеві.

Отже, матимемо не рівняння:

a² - 49 ≠ 0

Його розв’язками буде:

a ≠ ±7

Тому, ми можемо зробити висновок, що початкове рівняння буде мати єдиний розв’язок при будь-яких значеннях «a» крім «-7» та «7».

a ∈ (-∞; -7)∪(-7;7)∪(7; +∞)

Приклад: вказати при яких значеннях «a» рівняння «3x = 4a - 7» матиме розв’язок більший за «2», але менший за «9».

Враховуючи, що в даному рівнянні максимальний степінь змінної є «1», то ми маємо лінійне рівняння.

Лінійне рівняння «ax = b» має єдиний розв’язок при умові «a ≠ 0». Цей розв’язок буде «x =/b/a». Тобто, в нашому випадку, вираз «/b/a» має бути більшим за «2», але меншим «9».

Тому, ми будемо мати таку нерівність:

2 < /b/a < 9

Знайдемо значення виразу «/b/a» з нашого рівняння:

3x = 4a - 7

x = /4a - 7/3

Матимемо:

2 < /4a - 7/3 < 9

Це є подвійна нерівність. Розв’яжемо її:

2 < /4a - 7/3 < 9 | ∙ 3

6 < 4a - 7 < 27 | + 7

13 < 4a < 34 | ∶ 4

3,25 < a < 8,5

Тобто, при:

a ∈ (3,25; 8,5)

Наше початкове рівняння буде мати розв’язок більший за «2», але менший за «9».

Зауважимо, що коли є єдина умова (більше/менше), то ми будемо мати єдину нерівність. В такому випадку це стосується лінійних рівнянь.

Також, часто зустрічається ситуація коли необхідно сказати при яких значеннях параметра рівняння буде мати якийсь конкретний розв’язок.

Приклад: при якому значенні параметра «a» рівняння «a²x = 27» матимемо розв’язок «3».

Враховуючи, що нам відразу сказали, що розв’язок рівняння є «3» (тобто, «x = 3»), то ми можемо відразу замість змінної підставити даний розв’язок:

a² ∙ 3 = 27

Таким чином, ми отримаємо рівняння відносно «a» яке необхідно розв’язати.

a² ∙ 3 = 27 | ∶ 3

a² = 9

a = ±3

При значенні параметра «a = -3» або «a = 3» початкове рівняння буде мати розв’язок «3».

Квадратні рівняння з параметром

В першу чергу варто пригадати загальний вигляд квадратного рівняння:

ax² + bx + c = 0

Де «x» - змінна, «a», «b», «c» - числа. Відповідно замість будь-якого числа (або декількох) може знаходитися параметр.

Відразу зауважимо, що у випадках, коли число біля «x²» має параметр, то рівняння можу ставати лінійним.

Наприклад, розглянемо рівняння «ax² - 3x + 2 = 0». Воно буде мати два типи:

Тому, ми можемо зробити висновок, що рівняння «ax² + bx + c = 0» є квадратним, якщо «a ≠ 0».

При розв’язуванні квадратних рівнянь з параметром дуже часто доводиться користуватися формулою дискримінанта або теоремою Вієта.

Формулу дискримінанта зазвичай використовують, коли потрібно сказати при яких значеннях параметра рівняння:

Пригадаємо, що формула дискримінанта для рівняння «ax² + bx + c = 0» виглядає так:

D = b² - 4ac

1. Квадратне рівняння має два різні розв’язки (корені), якщо виконується умова:

D > 0

Приклад: вказати всі значення параметра «a» при яких квадратне рівняння «x² - (a - 1)x + 1 = 0» має два різні корені.

Врахуємо, що максимальний степінь змінної «x» є «2», тому ми будемо мати квадратне рівняння. Також, варто врахувати, що біля «x²» не має параметра, тому дане рівняння буде квадратним не залежно від значення параметра «a».

Пригадаємо, що квадратне рівняння буде мати два різні корені, якщо дискримінант даного рівняння є більшим за нуль:

D > 0

Врахуємо формулу дискримінанта:

D = b² - 4ac

І отримаємо нерівність:

b² - 4ac > 0

В нашому рівнянні ми маємо такі значення коефіцієнтів:

a = 1

b = -(a - 1) = -a + 1 = 1 - a

c = 1

Підставимо ці значення у нерівність:

(1 - a)² - 4∙1∙1 > 0

1 - 2a + a² - 4 > 0

a² - 2a - 3 > 0

Отримали квадратну нерівність. Її розв’язком буде:

a ∈ (-∞; -1)∪(3; +∞)

Зауважимо, якщо в початковому рівнянні біля «x²» знаходився б коефіцієнт, то в такому випадку необхідно врахувати, що цей вираз не рівний нулеві.

Тобто, в рівнянні «ax² + bx + c = 0» ми враховуємо, що «a ≠ 0», бо при «a = 0» ми отримаємо лінійне рівняння, а воно не може мати два різні розв’язки.

2. Квадратне рівняння має єдиний розв’язок (корінь) або два однакові розв’язки (корені), якщо виконується умова:

D = 0

Приклад: за якого значення параметра «k» квадратне рівняння «kx² - (1 - 2k)x + k - 2 = 0» має єдиний корінь.

Зауважте, що ми маємо «x²», тому рівняння є квадратним. Квадратне рівняння має єдиний розв’язок за умови, що його дискримінант рівний нулеві. Також, зверніть увагу, що біля «x²» є коефіцієнт «k». І при «k = 0» наше рівняння буде лінійним. А, лінійне рівняння також може мати один розв’язок.

Коли ви розв’язуєте такі рівняння, то варто дуже уважно читати умову. Наприклад, якби дане завдання звучало так: «за якого значення параметра «k» квадратне рівняння «…» має два корені, які збігаються», то нам потрібно було б розглянути лише умову, коли дискримінант рівний нулеві. Але, при цьому потрібно буде викинути всі значення коефіцієнта при яких рівняння перетворюється в лінійне.

Розглянемо наші випадки.

Квадратне рівняння має один розв’язок або два які збігаються, якщо виконується умова: дискримінант рівняння дорівнює нулеві.

D = 0

b² - 4ac = 0

Напишемо коефіцієнти рівняння:

a = k

b = -(1 - 2k) = -1 + 2k = 2k - 1

c = k - 2

Отже, матимемо:

(2k - 1)² - 4∙k∙(k - 2) = 0

4k² - 4k + 1 - 4k² + 8k = 0

4k + 1 = 0

4k = -1 | ∶ 4

k = -0,25

Тепер врахуємо, що «k = 0» і рівняння перетвориться в лінійне, бо зникне «x²».

Матимемо:

0∙x² - (1 - 2∙0)x + 0 - 2 = 0

-x - 2 = 0

x = -2

Зауважте, що коли ми підставили «0» замість «k», то й відповідно «k» зникло у всьому рівнянні. При цьому ми отримали лінійне рівняння яке має єдиний розв’язок. Тому, значення «k = 0» також буде розв’язком початкового рівняння. Звісно, якщо отримане рівняння мало б безліч розв’язків або не мало їх взагалі, то «k = 0» нам би не підходило.

Отже, початкове рівняння буде мати єдиний розв’язок при «k = -0,25» або «k = 0».

3. Квадратне рівняння не має розв’язків (коренів), якщо виконується умова:

D < 0

Приклад: за яких значень «m» рівняння «4x² + 2x - m = 0» не має розв’язків?

Враховуючи, що ми маємо квадратне рівняння, а квадратне рівняння не має розв’язків, якщо виконується умова: дискримінант рівняння є меншим за нуль.

D < 0

b² - 4ac < 0

Напишемо коефіцієнти рівняння:

a = 4

b = 2

c = -m

Матимемо:

2² - 4∙4∙(-m) < 0

4 + 16m < 0

Отримали лінійну нерівність. Розв’яжемо її.

16m < -4 | ∶ 16

m < -0,25

m ∈ (-∞; -0,25)

Отже, при «m ∈ (-∞; -0,25)» початкове рівняння не матиме розв’язків.

Часто бувають ситуації, коли вам необхідно знайти значення параметра при якому рівняння матиме якийсь розв’язок. В таких випадках можна відразу підставити цей розв’язок в початкове рівняння. Після чого розв’язати отримане рівняння відносно параметра.

Приклад: знайти всі значення «a», за яких один з коренів рівняння «x² + 2ax + a² = 0» дорівнює «2».

Отже, за умовою завдання одним із розв’язків початкового рівняння є «2». Відповідно, підставимо даний розв’язок замість змінної (замість «x»). Матимемо:

2² + 2∙2∙a + a² = 0

4 + 4a + a² = 0

Отримали квадратне рівняння відносно «a». Розв’язуємо його й отримаємо розв’язок:

a = -2

Доволі часто при розв’язуванні квадратних рівнянь з параметрами доводиться користуватися теоремою Вієта. Зазвичай нею користуються, коли жоден із попередніх методів не підходить.

Також, ознакою того, що потрібно скористатися теоремою Вієта є не конкретне значення розв’язку (-ів) рівняння. Наприклад: «один з розв’язків є на «3» більший за інший», «сума розв’язків на «1» менша за їх добуток» тощо.

Пригадаємо вигляд теореми Вієта, для квадратного рівняння «ax² + bx + c = 0»:

{ x₁ ∙ x₂ = c ∶ a x₁ + x₂ = -b ∶ a

Де «x₁», «x₂» - розв’язки квадратного рівняння.

Наприклад: за якого значення «a» сума коренів рівняння «x² + (a - 2)x + 28 - 4a = 0» на «1» більша від їхнього добуту?

Давайте припустимо, що «x₁» та «x₂» це є розв’язки нашого рівняння. За умовою задачі нам сказано, що їх сума має бути більша за добуток на «1». Тому, ми матимемо таке рівняння:

x₁ + x₂ = x₁ ∙ x₂ + 1

Також, для нашої зручності напишемо коефіцієнти нашого рівняння:

a = 1

b = a - 2

c = 28 - 4a

Для нашого рівняння система Вієта матиме вигляд:

{ x₁ ∙ x₂ = (28 - 4a) ∶ 1 x₁ + x₂ = -(a - 2) ∶ 1

{ x₁ ∙ x₂ = 28 - 4a x₁ + x₂ = 2 - a

Як бачите, ми отримали вирази «x₁ ∙ x₂» та «x₁ + x₂» написані за допомогою параметра «a».

Підставимо дану інформацію в рівняння «x₁ + x₂ = x₁ ∙ x₂ + 1». Отримаємо:

2 - a = 28 - 4a + 1

Отримали лінійне рівняння. Залишається його розв’язати.

4a - a = 28 + 1 - 2

3a = 27 | ∶ 3

a = 9

Щоб переконатися чи ми розв’язали все правильно можна підставити отримане значення.

x₁ ∙ x₂ = 28 - 4a = 28 - 36 = -8

x₁ + x₂ = 2 - a = 2 - 9 = -7

Перевіряємо:

x₁ + x₂ = x₁ ∙ x₂ + 1

-7 = -8 + 1

-7 = -7

Числа вийшли однакові, тому рівняння розв’язали правильно.

Приклад: за якого значення параметра «c» добуток коренів рівняння «(c + 1)x² + 3x - c = 0» дорівнює «4»?

Припустимо, що «x₁» та «x₂» це розвитки нашого рівняння. Тому, ми будемо мати:

x₁ ∙ x₂ = 4

Враховуючи, що цих розв’язків має бути два, то наше рівняння не може стати лінійним. Отже, «x²» не має зникнути. Тому:

c + 1 ≠ 0

c ≠ -1

З теореми Вієта ми знаємо, що:

x₁ ∙ x₂ = /c/a

x₁ ∙ x₂ = /-c/c + 1

Об’єднаємо два рівняння з «x₁ ∙ x₂» і отримаємо:

4 = /-c/c + 1

Отримали дробово-раціональне рівняння. Розв’яжемо його:

4(c + 1) = -c

4c + 4 + c = 0

5c = -4 | ∶ 5

c = -/4/5 = -0,8

Отже, при «c = -0,8» добуток коренів початкового рівняння буде рівний «4».