Для цієї теми необхідно повторити лінійні рівняння, квадратні рівняння, все, що зводиться до лінійних або квадратних рівнянь, рівняння з модулем, Inequalities, квадратні нерівності.

Коли у нас є залежність чогось від чогось, то таку залежність називають функцією. Змінна від якої залежить щось називають не залежною змінною, а зміна яка залежить від чогось називається залежною змінною. Наприклад, уявіть таку ситуацію: ви хочете купити цукерки але сума яку ви заплатите буде залежати від вартості цукерків. Вартість цукерків від нас не залежить, тому це є «незалежна змінна», а сума яку ми заплатимо буде залежати від вартості, тому це буде «залежна змінна».

Функції часто позначають як «у» або як «f(x)», де в дужках записують незалежну змінну наприклад «х».

Ось декілька прикладів функції:

y = 2x - 3; «у» - функція (залежна змінна), «х» - не залежна змінна.

f(x) = x² - 8x; «f(x)» - функція (залежна змінна), «х» - не залежна змінна.

Область визначення функції.

Значення які може набувати незалежна змінна (аргумент) «х» називають областю визначення функції. Область визначення функції ще називають областю допустимих значень функції. Область визначення функції позначають «D(y)». Область визначення кожної функції відразу (за замовчуванням) є «(-∞; +∞)» але часто доводиться викидати ті значення при яких функція не має змісту, тобто, коли є якісь обмеження.

Найчастіше зустрічаються такі обмеження як: «ділення на нуль» та «під коренем парного степеня не може бути від’ємного числа».

Наприклад: Знайдіть область визначення функції: y = /x/|x| - 7

У нашому прикладі є в знаменнику змінна «х» і нам необхідно з області визначення викинути значення при яких знаменник перетвориться у нуль. Тобто, необхідно розв’язати таке «не рівняння»:

|x| - 7 ≠ 0

|x| ≠ 7

x ≠ 7 або x ≠ -7

Тому нам необхідно викинути числа «-7» та «7» з області визначення. Остаточно наша область визначення виглядатиме так:

D(y) = (-∞; -7)∪(-7; 7)∪(7; +∞)

Знайдіть область визначення функції: y = x-4x + 2 + 4x - 3x² - 7x + 6

В цьому прикладі ми маємо такі обмеження: «під коренем парного степеня не може бути від’ємного числа» і «знаменник не може бути рівний нулеві».

Отже, з виразу «x - 4» будемо мати обмеження «x - 4 ≥ 0», бо під коренем парного степеня може бути додатне число або нуль. З виразу «x + 2» обмеження буде «x + 2 > 0», бо під коренем парного степеня може бути додатне число, а враховуючи, що цей вираз є у знаменнику, то має ще не дорівнювати нулеві. З виразу «4x - 3x² - 7x + 6» маємо обмеження «x² - 7x + 6 ≠ 0», бо знаменник не може бути рівний нулю (на нуль ділити не можна).

{ x - 4 ≥ 0 x + 2 > 0 x² - 7x + 6 ≠ 0

Розв’яжемо не рівняння «x² - 7x + 6 ≠ 0»:

D = (-7)² - 4∙1∙6 = 49 - 24 = 25

x₁ = /-(-7) + √25/2 ∙ 1 = 6

x₂ = /-(-7) - √25/2 ∙ 1 = 1

x ≠ 1; x ≠ 6

Розв’яжемо нерівність:

x - 4 ≥ 0

x ≥ 4

x + 2 > 0

x > -2

Нанесемо наші розв’язки на координатну пряму. Обмеження «x ≥ 4» - позначимо червоним кольором; «x > -2» - синім; не розв’язки «x ≠ 1; x ≠ 6» позначимо як «×». Спільну частину виділимо зеленим кольором.

Отже, область визначення у цьому прикладі буде така:

D(y) ∈ [4; 6)∪(6; +∞)

Область значень функції.

Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція: «y» чи «f(x)»), утворюють область значень функції. Область значення функції позначають «Е(у)».

Для того щоб знайти область значення функції використовують дослідження функції або використовують графік функції (достатньо ескізу).

Приклад: Знайти область значення функції «y = 2|x| + 3»:

Врахуємо, що вираз «|x|» є не від’ємним, тобто: «|x| ≥ 0».

Після чого нам необхідно у нерівності «|x| ≥ 0» перетворити вираз «|x|» у «2|x| + 3».

В першу чергу помножимо все на «2»:

|x| ≥ 0 | ∙ 2

2|x| ≥ 0

Тепер необхідно додати «3»:

2|x| ≥ 0 | + 3

2|x| + 3 ≥ 3

Отже, область значення функції буде:

y ≥ 3

Тобто:

E(y) ∈ [3; +∞)

Розглянемо графічний метод. Для цього намалюємо ескіз графіка функції. Ми вже знаємо, що мінімальне значення яке набуває вираз «|x|» буде «0». А при «|x| = 0» матимемо:

y = 2∙0 + 3

y = 3

Тому ескіз нашої функції буде таким:

Ознайомитися з графіками функцій ви можете тут.

Як видно з ескізу графіка наша функція набуває всіх значень від «3» включно та більше.

E(y) ∈ [3; +∞)

Приклад 2: Знайти область значення функції «y = -x² + 4x - 5»:

Для того щоб знайти область значення ми можемо прирівняти нашу функцію до параметру «а», де «а» - довільне число. Матимемо:

-x² + 4x - 5 = a

Якщо ми перенесемо параметр «а» до всієї функції, то отримаємо квадратне рівняння.

-x² + 4x - 5 - a = 0

А квадратне рівняння буде мати розв’язки лише за умови:

D ≥ 0

Тобто:

4² - 4∙(-1)∙(-5 - a) ≥ 0

Розв’яжемо цю нерівність:

16 - 20 - 4a ≥ 0

-4 - 4a ≥ 0

-4a ≥ 4 | ∶ (-4)

a ≤ -1

Виходить, що функція набуватиме значень:

y ≤ -1

Отже, область значення функції буде:

E(y) ∈ (-∞; -1]

Для того щоб знайти область значення функції необхідно знайти вершину параболи. Координати вершини параболи можна знайти так:

x₀ = /-b/2a; y₀ = f(x₀)

Детальніше читайте тут.

x₀ = /-4/2 ∙ (-1) = 2

y₀ = -2² + 4∙2 - 5 = -1

Також врахуємо, що біля «x²» знаходиться знак «-», тому парабола буде вітками донизу.

Ескіз графіка функції буде такий:

Тобто, наша функція набуває таких значень:

E(y) ∈ (-∞; -1]

Точки перетину з осями координат.

Для того щоб знайти точку перетину з віссю «Ох», то нам необхідно прирівняти до нуля «y» або «f(x)» (залежить як позначена функція). Після чого розв’язати отримане рівняння та знайти координату перетину по «х», а координата по «у» буде рівна нулю (оскільки ми відразу прирівняли її до нуля).

Для того щоб знайти точку перетину з віссю «Оу», то нам необхідно прирівняти до нуля «х». Після чого розв’язати отримане рівняння та знайти координату перетину по «у», а координата по «х» буде рівна нулю (оскільки ми відразу прирівняли її до нуля).

Приклад: Знайти точки перетину функції «y = -x² + 4x - 8» з осями координат.

Знайдемо точки перетину з віссю «Ох». Для цього прирівняємо «у» до нуля. Будемо мати:

0 = -x² + 4x - 8

Розв’яжемо отримане рівняння:

-x² + 4x - 8 = 0

D = 4² - 4∙(-1)∙(-8) = 16 - 32 = -16

Дискримінант менший за нуль, тому рівняння розв’язків не має. Це означає, що точок перетину з віссю «Ох» не має.

Знайдемо точки перетину з віссю «Оу». Для цього прирівняємо «х» до нуля. Будемо мати:

y = -0² + 4∙0 - 8

y = -8

Отже, точка перетину з віссю «Оу» буде мати координати:

(0; -8)

Приклад 2: Знайти точки перетину функції «y = x² - 6x + 8» з осями координат.

Знайдемо точки перетину з віссю «Ох». Для цього прирівняємо «у» до нуля. Будемо мати:

0 = x² - 6x + 8

D = (-6)² - 4∙1∙8 = 36 - 32 = 4

x₁ = /-(-6) + √4/2 ∙ 1 = /8/2 = 4

x₂ = /-(-6) - √4/2 ∙ 1 = /4/2 = 2

Точка перетину з віссю «Ох» будуть мати координати:

(2; 0) i (4; 0)

Знайдемо точки перетину з віссю «Оy». Для цього прирівняємо «x» до нуля. Будемо мати:

y = 0² - 6∙0 + 8

y = 8

Точка перетину з віссю «Оy» будуть мати координати:

(0; 8)

Відповідь: Ох: (2; 0) i (4; 0); Оу: (0; 8).

Нулі функції.

Нуль функції це значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю.

Для того щоб знайти нулі функції нам необхідно прирівняти функцію до нуля (тобто, замінити «у» чи «f(x)» на нуль).

Приклад: Знайти нулі функції «y = 12 - x - x²».

Для того щоб знайти нуль функції необхідно прирівняти функцію до нуля (у = 0). Матимемо:

12 - x - x² = 0

D = (-1)² - 4∙(-1)∙12 = 1 + 48 = 49

x₁ = /-(-1) + √49/2 ∙ (-1) = /1 + 7/-2 = -4

x₂ = /-(-1) - √49/2 ∙ (-1) = /1 - 7/-2 = 3

Отже, «х = -4», «х = 3» - нулі функції.

Якщо функція задана графічно, то нулями функції буде абсциса координат точки перетину.

Ми маємо три точки перетину графіка функції з віссю «Ох». Отже: «x = -5», «x = 1», «x = 6» - нулі функції.

Проміжки зростання та спадання функції. Точки максимуму та мінімуму функції. Максимуми та мінімуми функції.

Функція може бути зростаючою або спадною на всій області визначення або на певному проміжку.

Функцію «f(x)» називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу функції з цього проміжку відповідає більше значення функції. Тобто, коли ми маємо деякий проміжок «[a; b]» (a < b) і маємо деякі аргументи «x₁», «x₂» які належать цьому проміжку («x₁ ∈ [a; b]», «x₂ ∈ [a; b]»), де «x₁ < x₂» та виконується умова: «f(x₁) < f(x₂)». То така функція є зростаючою на цьому проміжку.

Функцію «f(x)» називають спадаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу функції з цього проміжку відповідає менше значення функції. Тобто, коли ми маємо деякий проміжок «[a; b]» (a < b) і маємо деякі аргументи «x₁», «x₂» які належать цьому проміжку («x₁ ∈ [a; b]», «x₂ ∈ [a; b]»), де «x₁ < x₂» та виконується умова: «f(x₁) > f(x₂)». То така функція є спадаючою на цьому проміжку.

Завдання такого типу можна розв’язувати декількома способами:

Розглянемо як визначати проміжки зростання та спадання функції за допомогою графіка.

Як помітно з графіку функції на проміжку «(-7; -4)» та «(2; 6)» функція зростає, а на проміжку «(-4; 2)» спадає. Це можна уявити як автомобіль, що їде з ліва на право. Якщо він буде підніматися у гору, то функція зростає, а якщо спускається до низу, то функція спадає.

Координати по «х» точок які знаходяться на межі зростання та спадання функції є точками максимуму або мінімуму функції (Важливо! Координати «х» це є ТОЧКИ максимуму або мінімуму функції). Точка, що знаходиться на переході від зростання до спадання є точкою максимуму і у нашому прикладі це: «x_max = -4»; а точка, що знаходиться на межі від спадання до зростання є точкою мінімуму і у нашому прикладі це: «x_min = 2».

Значення функції в цих точках (координати по «у») є максимум або мінімум функції (Важливо! Це є мінімум або максимум функції не плутайте з ТОЧКАМИ максимуму або мінімуму функції). Відповідно значення функції в «точці максимуму функціє» буде максимум функції в нашому прикладі: «y_max = 5». Відповідно значення функції в «точці мінімуму функціє» буде мінімумом функції в нашому прикладі: «y_min = -3».

Обернена функція.

Функція, що набуває своє значення лише один раз на всій області визначення, називають оборотною.

Наприклад, функція «y = 2x - 3» є оборотною, бо кожне значення функції набувається лише раз. А функція «y = |x|» не є оборотною, бо наприклад значення функції «2» набувається при двох значеннях параметру «-2» і «2».

Якщо функція є оборотною, то ми можемо поміняти місцями залежну та незалежну змінну. Тобто, якщо функція «y = f(x)» - оборотна, то функція «x = g(y)» - обернена до функції «f(x)».

Оскільки функцію прийнято позначати через «у», а аргумент через «х», то після того як знайшли обернену функцію «x = g(y)» її переписують як «y = g(x)».

Приклад: Знайти функцію, обернену до функції «y = /2x - 1/6x - 7».

Для цього нам необхідно виразити «х» з функції:

y = /2x - 1/6x - 7

(6x - 7)y = 2x - 1

6xy - 7y = 2x - 1

6xy - 2x = 7y - 1

x(6y - 2) = 7y - 1

x = /7y - 1/6y - 2

Ми отримали обернену функцію. Тепер необхідно перевизначити обернену функцію. Після чого остаточний запис буде такий:

y = /7x - 1/6x - 2

Парність і непарність функції.

Функція може бути: «парною», «непарною» або «ні парною ні не парною».

Функція є парною тоді, коли виконується умова:

f(x) = f(-x)

Область визначення парної функції є симетричним відносно нуля. Графік парної функції є симетричним відносно осі «Оу».

Якщо не виконалася умова «f(x) = f(-x)», то необхідно перевірити чи функція є непарною.

Функція є непарною тоді, виконується умова:

{/f(x) ≠ f(-x)/f(-x) = -f(x)

Часто перевіряють лише умову:

f(-x) = -f(x)

Якщо вона виконується, то кажуть, що функція є непарною.

Область визначення непарної функції є симетричним відносно нуля. Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Якщо не виконується жодна з цих умов, тобто:

{/f(x) ≠ f(-x)/f(-x) ≠ -f(x)

То функція є ні парна ні непарна. Таку функцію ще називають функцією загального виду.

Також варто зауважити, що є функції які одночасно і парні, і непарні. До таких функцій можна віднести функцію:

y = 0

Приклад: Дослідити на парність функцію «f(x) = x³ + x».

Перевіримо функцію на парність. Для цього має виконуватися умова: «f(x) = f(-x)».

Для того щоб знайти «f(-x)» нам необхідно замінити «х» на «-х»:

f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x

Як помітно у нас не виконалася умова парності функції, бо «f(x) ≠ f(-x)». Перевіримо на непарність функції. Для цього має виконатися умова: «f(-x) = -f(x)».

Для того щоб знайти «f(-x)» нам необхідно функцію «f(x)» помножити на «-1» або просто написати перед всією функцією знак «-».

-f(x) = -(x³ + x) = -x³ - x

Як помітно умова «f(-x) = -f(x)» виконалася, тому функція «f(x) = x³ + x» є непарною.

Приклад 2: Дослідити на парність функцію «f(x) = x² + |x|».

Перевіримо функцію на парність. Для цього має виконуватися умова: «f(x) = f(-x)».

Для того щоб знайти «f(-x)» нам необхідно замінити «х» на «-х»:

f(-x) = (-x)² + |-x| = x² + |x|

Як помітно умова «f(x) = f(-x)» виконалася, тому функція «f(x) = x² + |x|» є парною.

Знаходження значення функції та аргументу функції.

Часто доводиться зустрічати завдання такого типу:

Кожне з цих завдань може розв’язуватися декількома способами які відрізняються методом задання функції.

Функція може бути задана:

Розглянемо на прикладах випадки, коли функція задана виразом.

Приклад: Знайти значення функції «y = 3x² - 4», якщо значення аргументу «х = -2».

Для того щоб знайти значення функції маючи значення аргументу нам необхідно підставити це число у сам вираз функції та знайти її значення. Тобто, необхідно замість «х» у виразі «y = 3x² - 4» поставити «-2». Будемо мати:

y = 3∙(-2)² - 4 = 3∙4 - 4 = 12 - 4 = 8

Тобто значення функції буде рівне «8», коли значення аргументу дорівнює «-2».

Приклад 2: Знайти «f(5)» функції «f(x) = 3 + x - 4».

Щоб обчислити значення «f(5)» нам необхідно у функції «f(x) = 3 + x - 4» замість «х» підставити «5». Будемо мати:

f(5) = 3 + 5 - 4 = 3 + √1 = 3 + 1 = 4

Тобто будемо мати: «f(5) = 4».

Важливо! Коли ми шукаємо значення функції, то може бути лише одне значення.

Приклад 3: Знайти значення аргументу при якому значення функції «y = x² + x» (в таких завданнях може бути написано «f(x) = x² + x») буде рівне «6». В таких прикладах необхідно знайти «х». Для цього замість «у» (або замість «f(x)») необхідно підставити «6».

Отримаємо:

x² + x = 6

x² + x - 6 = 0

D = 1² - 4∙1∙(-6) = 1 + 24 = 25

x₁ = /-1 + √25/2 ∙ 1 = 2

x₂ = /-1 - √25/2 ∙ 1 = -3

Тобто, при «х = -3» та «х = 2» функція буде мати значення «6».

Розглянемо на прикладах випадки, коли функція задана графічно.

Розглянемо графік:

Приклад: Знайти значення функції, якщо значення аргументу буде рівне «3».

Для того щоб знайти значення функції графічно, то нам необхідно провести перпендикулярний відрізок до осі «Ох» через точку «3» і знайти координату перетину «у» графіку функції та перпендикуляру.

Будемо мати, що при значенні аргументу «3» наша функція буде мати значення «5».

Приклад 2: Знайти значення аргументу, якщо значення функції буде рівне «-2».

Для того щоб знайти значення аргументу, потрібно провести перпендикуляр до осі «Оу» через координату «у = -2» і знайти всі точки перетину з графіком функції.

Будемо мати, що при значенні функції «-2» значення аргументу будуть такими: «-4», «-2», «6».

Розглянемо на прикладах випадки, коли функція задана виразом.

Нехай функцію задано таблицею:

Розмір взуття	36	37	38	39	40	41	42	43	44
Кількість пар	12	14	17	19	15	21	20	16	4

Оскільки розмір взуття має відлік, то він буде виступати як незалежна змінна (як «х»), а кількість пар залежить від розміру взуття, то це буде залежна змінна (тобто «у»). Відповідно, якщо ми хочемо щось знайти, то необхідно обрати відповідну колонку.