Практика. Квадратні рівняння
Для того щоб успішно розв’язувати практичні завдання вам варто ознайомитися з теоретичним матеріалом. Це можна зробити тут.
1. Розв’язати:
В даному прикладі ми маємо лише числа з Тому, ми маємо неповне квадратне рівняння вигляду Такий тип рівняння має єдиний розв’язок, коли змінна буде рівна нулеві:
Тому розв’язком початкового рівняння буде:
Відповідь: 0.
2. Розв’язати:
У нашому рівнянні є лише числа з але вони знаходяться в обох частинах рівняння. Перенесемо все в одну сторону (не забуваємо змінити знак на протилежний):
Після чого варто виконати дії:
Як помітно змінна зникла, а рівняння залишилося правильним (схожі ситуації можна зустріти у лінійних рівняннях). У такому випадку наше рівняння має безліч розв’язків:
Відповідь:
3. Розв’язати:
В даному прикладі ми маємо числа з та з Отже, ми маємо неповне квадратне рівняння такого типу:
Такий тип прикладів розв’язується методом винесення спільного множника за дужки (в нашому випадку достатньо винести
Після чого ми отримаємо два рівняння:
То наше рівняння ми можемо розв’язати так:
То наше рівняння буде мати такі розв’язки:
Відповідь: 0; 5.
4. Розв’язати:
В даному прикладі в обох частинах рівняння є вирази. Для того щоб правильно визначити тип рівняння нам варто перенести все в одну сторону та при необхідності виконати дії. Перенесемо з правої частини у ліву частину, при цьому не забуваємо змінити знак на протилежний. Матимемо:
В даному прикладі ми маємо числа з та з Отже, ми маємо неповне квадратне рівняння такого типу:
Такий тип прикладів розв’язується методом винесення спільного множника за дужки (в нашому випадку достатньо винести
Після чого ми отримаємо два рівняння:
То наше рівняння ми можемо розв’язати так:
Після чого отримаємо два рівняння:
Перше рівняння є вже розв’язаним тому залишилося розв’язати лише друге рівняння:
Отже, розв’язки початкового рівняння будуть:
Відповідь: 0; 8.
5. Розв’язати:
В даному прикладі ми маємо числа з та з Отже, ми маємо неповне квадратне рівняння такого типу:
Такий тип прикладів розв’язується методом винесення спільного множника за дужки (в нашому випадку достатньо винести
Після чого ми отримаємо два рівняння:
То наше рівняння ми можемо розв’язати так:
Після чого отримаємо два рівняння:
Перше рівняння є вже розв’язаним тому залишилося розв’язати лише друге рівняння:
Отже, розв’язки початкового рівняння будуть:
Відповідь: -16; 0.
6. Розв’язати:
В даному прикладі ми маємо числа з та без Отже, ми маємо неповне квадратне рівняння такого типу:
Щоб розв’язати даний тип прикладу нам необхідно перенести число без у протилежну сторону не забуваємо при цьому змінити знак на протилежний:
Після чого необхідно звільнити від чисел (якщо це необхідно):
Такий тип прикладу матиме розв’язки лише тоді, коли вираз є більшим-рівним нулеві тобто є додатним.
Розв’язок знайдемо так:
При
При
Отже, розв’яжемо наший приклад:
Перенесемо у протилежну сторону при цьому змінимо знак на протилежний:
Звільнимо поділивши все рівняння на
Як помітно дорівнює від’ємному числу. Тому таке рівняння дійсних розв’язків не матиме:
Відповідь: ∅.
7. Розв’язати:
В даному прикладі ми маємо числа з та Отже, ми маємо неповне квадратне рівняння такого типу:
Щоб розв’язати даний тип прикладу нам необхідно перенести число у протилежну сторону не забуваємо при цьому змінити знак на протилежний:
Після чого необхідно звільнити від чисел (якщо це необхідно):
Такий тип прикладу матиме розв’язки лише тоді, коли вираз є більшим-рівним нулеві тобто є додатним.
Розв’язок знайдемо так:
При « ≥ 0»:
При
При
Отже, розв’яжемо наший приклад:
Перенесемо у протилежну сторону при цьому змінимо знак на протилежний:
Звільнимо поділивши все рівняння на
Оскільки, дорівнює додатному числу, то ми будемо мати такі розв’язки:
Ми можемо добути корінь квадратний як з так і з тому остаточний розв’язок буде таким:
Або:
Тобто маємо два розв’язки:
Відповідь:
8. Розв’язати:
В даному прикладі ми маємо числа з та Отже, ми маємо неповне квадратне рівняння такого типу:
Щоб розв’язати даний тип прикладу нам необхідно перенести число у протилежну сторону не забуваємо при цьому змінити знак на протилежний:
Після чого необхідно звільнити від чисел (якщо це необхідно):
Такий тип прикладу матиме розв’язки лише тоді, коли вираз є більшим-рівним нулеві тобто є додатним.
Розв’язок знайдемо так:
При
При
Оскільки в нашому прикладі ми відразу маємо ситуацію:
Тобто, що дорівнює числу, то ми маємо вже кінцевий етап.
Враховуючи, що дорівнює додатному числу то будемо мати розв’язок:
Враховуючи, що корінь з не добувається, то ми його так і залишаємо.
Отже, будемо мати такі розв’язки початкового рівняння:
;
Відповідь:
9. Розв’язати:
В даному типу прикладі ми маємо та число . Отже, ми маємо повне квадратне рівняння:
Для своєї зручності ми можемо виписати коефіцієнти
Для його розв’язання знайдемо дискримінант використавши формулу:
Матимемо:
Оскільки, дискримінант вийшов від’ємним, то дане рівняння не має розв’язків:
Відповідь: ∅.
10. Розв’язати:
В даному типу прикладі ми маємо та число . Отже, ми маємо повне квадратне рівняння:
Для своєї зручності ми можемо виписати коефіцієнти
Для його розв’язання знайдемо дискримінант використавши формулу:
Матимемо:
Враховуючи, що дискримінант рівний нулеві то таке рівняння буде мати один розв’язок (кажуть також, що два розв’язки які збігаються).
Знайдемо розв’язок так:
Матимемо:
Відповідь: 6.
11. Розв’язати:
В даному типу прикладі ми маємо та число . Отже, ми маємо повне квадратне рівняння:
Для своєї зручності ми можемо виписати коефіцієнти
Для його розв’язання знайдемо дискримінант використавши формулу:
Матимемо:
Враховуючи, що дискримінант є більшим за нуль (додатнім), то наше рівняння буде мати два розв’язки які можна знайти так:
Матимемо:
= =
= =
Відповідь:
12. Розв’язати:
В даному типу прикладі ми маємо та число . Отже, ми маємо повне квадратне рівняння:
Для своєї зручності ми можемо виписати коефіцієнти
Для його розв’язання знайдемо дискримінант використавши формулу:
Матимемо:
Враховуючи, що дискримінант є більшим за нуль (додатнім), то наше рівняння буде мати два розв’язки які можна знайти так:
Матимемо:
= =
= =
Відповідь: -0,5; 4.
13. За яких значень рівняння має тільки один корінь?
В даному типу прикладі ми маємо та число . Отже, ми маємо повне квадратне рівняння: .
Для своєї зручності ми можемо виписати коефіцієнти
Повне квадратне рівняння буде мати єдиний розв’язок у випадку коли дискримінант буде рівний нулеві
Враховуючи, що дискримінант можна знайти за формулою:
То нам необхідно прирівняти вираз до нуля:
У нашому випадку будемо мати:
Отримали лінійне рівняння відносно змінної Розв’яжемо його:
Отже, при рівняння матиме один розв’язок.
Відповідь: -0,25.
14. та - корені рівняння Не розв’язуючи рівняння, знайти
В даному типу прикладі ми маємо та число . Отже, ми маємо повне квадратне рівняння: .
Для своєї зручності ми можемо виписати коефіцієнти
Ми можемо скористатися теоремою Вієта:
Отже, будемо мати:
Тобто:
Враховуючи, що нам необхідно знайти то необхідно підняти перше рівняння до квадрату:
Звідси ми виразимо
Значення виразу ми можемо підставити з другого рівняння Після чого отримаємо:
Відповідь: 19.