Раціональний вираз вигляду «/a/b», де a, b – вирази, що містять числа або змінні, називають дробом, де «a» - чисельник, «b» - знаменник. Якщо чисельник і знаменник дробу – многочлени, то такий дріб називають алгебраїчним або раціональним дробом.

Приклади алгебраїчних дробів:

Основна властивість дробу:

Якщо чисельник та знаменник помножити або поділити на одне і теж число або вираз, то утвориться дріб, який дорівнює початковому дробу.

Скоротити дріб – означає розділити чисельник та знаменник на їх спільний дільник.

Приклад:

/2(x - 1)/4 - скоротивши на «2» отримаємо: /x - 1/2

Часто для скорочення необхідно розкладати на множники. Оскільки виконувати дії скорочення (ділення) лише на певні доданки:

/2x - 3/4 – хоча тут біля «х» стоїть «2», а в знаменнику «4» скорочення на «2» не відбувається оскільки необхідно ще розділити «3» також на «2», але це не дасть цілий вираз (отримаємо «/3/2»). Тому варто з першу розкласти на множники, якщо це можливо і тоді скорочувати.

/ac/bc = /a/b

Приклади:

16x²12x = /4x · 4x/4x · 3 = /4x/3;

9 - x²6 + 2x = /(3 - x)(3 + x)/2(3 + x) = /3 - x/2;

Зведення дробу до нового знаменника – це можна сказати зворотна дія до скорочення дробу. Тут ми домножуємо чисельник та знаменник на одне і теж число або вираз.

/a/b = /ac/bc

Приклад. Звести дріб до знаменника «2х - 2»

/3a/2 = /3a/2 · /x - 1/x - 1 = /3a ∙ (x - 1)/2 ∙ (x - 1) = /3ax - 3a/2x - 2

Арифметичні дії з алгебраїчними дробами:

Якщо є змішаний дріб (ціла та дробова частина), то необхідно дріб перетворити у неправильний. Після чого виконувати дії над дробами.

Перетворення мішаного дробу у не правильний:

c/a/b = /a + bc/b

2/3/7 = /2 · 7 + 3/7 = /17/7

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками:

/a/c ± /b/c = /a ± b/c

/3x - 5/3a - /2x + 2/3a = /(3x - 5) - (2x + 2)/3a = /3x - 5 - 2x - 2/3a = /x - 7/3a

Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками:

Схема:

/a/b ± /c/d = /ad ± bc/bd

Приклад:

Множення та ділення дробів

Множення дробів:

Дроби множаться за такою схемою: Чисельник на чисельник, знаменник на знаменник. Якщо в якогось із дробів не має чисельника або знаменника, то дії виконуються ті ж.

Тобто:

/a/b · c = /a · c/b

/a/b · /c/d = /a · c/b · d

Наприклад:

/2x/3y · /5a/6b = /2x · 5a/3y · 6b = /10ax/18by

/x - a/y + b · /z + c/i - d = /(x - a) · (z + c)/(y + b) · (i - d)

2 · /a/b = /2a/b

/1/b · a = /a/b

Ділення дробів:

Дроби діляться за такою схемою:

Дріб який знаходиться справа від знаку ділення обертається (чисельник та знаменник міняються місцями), а знак ділення змінюється на знак множення.

/a/b : c = /a/b · /1/c = /a/b · c

/a/b : /c/d = /a/b · /d/c = /a · d/b · c

Наприклад:

/21m/8 : /3a/16 = /21m/8 · /16/3a = /21m · 16/8 · 3a = /14m/a

Піднесення дробу до степеня:

(/a/b)ⁿ = aⁿbⁿ

(-/a/b)ⁿ = (-1)ⁿ aⁿbⁿ

Приклади: