Практика. Тригонометричні рівняння
Для того щоб успішно розв’язувати практичні завдання вам варто ознайомитися з теоретичним матеріалом. Це можна зробити тут i тут.
1.
Це є найпростіший тип тригонометричного рівняння (оскільки є лише одна тригонометрична функція). Для того щоб розв’язати дане рівняння необхідно звести його до загального вигляду. Для цього перенесемо в протилежну сторону:
2 sin 2x = -1
Та поділимо на
sin 2x = -/1/2
Оскільки, то дане рівняння буде мати розв’язки:
Після чого залишається поділити на
2.
Оскільки, то дане рівняння розв’язків не має.
3.
Зведемо наше рівняння до стандартного вигляду. Для цього поділимо наше рівняння на
cos(/x/2 - /π/6) = /1/2
Оскільки, то дане рівняння буде мати розв’язки:
Для того щоб знайти «х» необхідно перенесемо у протилежну сторону:
Залишається помножити весь вираз на
4.
Це є найпростіший тип. Розв’яжемо його:
Та поділимо весь наший вираз на
5.
Оскільки, ми маємо дві функції (синуса та косинуса) одного аргументу які рівні нулеві, то це є однорідне рівняння першого роду. Щоб його розв’язати варто весь приклад поділити на одну з функцій чи Поділимо весь приклад на
Врахуємо, що і отримаємо:
tg/x/2 - √3 = 0
Після чого, отримаємо найпростіше тригонометричне рівняння. Зведемо до стандартного вигляду. Перенесемо у протилежну сторону.
tg/x/2 = √3
Для того щоб знайти нам необхідно весь приклад помножити на
6.
Оскільки в нашому прикладі є лише одна функція одного аргументу але у різному степені, то такий приклад зручно розв’язувати за допомогою заміни змінної. Замінимо на Отримаємо:
t2 + 5t + 4 = 0
Після чого ми отримаємо квадратне рівняння. Розв’яжемо його:
t1 = /-5 + √9/2 ∙ 1 = -1
t2 = /-5 - √9/2 ∙ 1 = -4
Повернемося до старої змінної:
При отримаємо:
cos x = -4
Оскільки, то дане рівняння розв’язків не має:
x = ∅
При отримаємо:
cos x = -1
7.
Оскільки в нашому прикладі є лише одна функція одного аргументу але у різному степені, то такий приклад зручно розв’язувати за допомогою заміни змінної. Замінимо на Отримаємо:
t2 - 4t + 3 = 0
Після чого ми отримаємо квадратне рівняння. Розв’яжемо його:
t1 = /-(-4) + √4/2 ∙ 1 = 3
t2 = /-(-4) - √4/2 ∙ 1 = 1
8.
В даному прикладі ми маємо функції синуса та косинуса одного аргументу та в різних степенях і не має чисел без тригонометричних функцій. Це у нас є однорідне рівняння другого роду. Для того щоб розв’язати дане рівняння варто поділити весь приклад на або Поділимо на
Врахуємо, що то будемо мати:
3tg2x - 4tg x + 1 = 0
Після чого ми можемо скористатися заміною змінної
3t2 - 4t + 1 = 0
t1 = /-(-4) + √4/2 ∙ 3 = 1
t2 = /-(-4) - √4/2 ∙ 3 = /1/3
Повернемося до старої змінної:
При отримаємо:
tg x = 1
При отримаємо:
tg x = /1/3
9.
В даному прикладі ми маємо дві різні функції одного аргументу. Для того щоб розв’язати цей приклад нам варто зробити одну єдину функцію. Для цього скористаємося формулою:
sin2x + cos2x = 1
Звідси ми можемо виразити
cos2x = 1 - sin2x
Та замінимо в нашому прикладі на і отримаємо:
Оскільки в нашому прикладі є лише одна функція одного аргументу але у різному степені, то такий приклад зручно розв’язувати за допомогою заміни змінної. Замінимо на Отримаємо:
2t2 + 3t + 1 = 0
t1 = /-3 + √1/2 ∙ 2 = -/1/2
t2 = /-3 - √1/2 ∙ 2 = -1
Повернемося до старої змінної:
При отримаємо:
sin x = -/1/2
При отримаємо:
sin x = 1
10.
2sin x - 3cos x = 2 ∙ 1
В нашому прикладі є функції синуса та косинуса одного аргументу та є число без тригонометричної функції, то це є не однорідне тригонометричне рівняння. Для того щоб розв’язати дане рівняння скористаємося замінами:
Отже, будемо мати:
Перенесемо все в одну сторону та розкриємо дужки:
Після всіх дій ми отримали однорідне тригонометричне рівняння другого роду. Поділимо весь приклад на
Враховуючи, що будемо мати:
Скористаємося заміною змінної та отримаємо:
t2 + 4t - 5 = 0
t1 = /-4 + √36/2 ∙ 1 = 1
t2 = /-4 - √36/2 ∙ 1 = -5
Повернемося до старої змінної.
При «t=1», матимемо:
tg/x/2 = 1
При матимемо:
tg/x/2 = -5